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第62练高考大题突破练—立体几何[基础保分练]
1.2019·杭州二中模拟如图,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,D为线段BC上一点,且DC=BC,让△ADC绕直线AD翻折到△ADC′且使AC′⊥BC.1在线段BC上是否存在一点E,使平面AEC′⊥平面ABC?请证明你的结论;2求直线C′D与平面ABC所成的角.
2.2019·衢州模拟已知三棱台ABC—A1B1C1的下底面△ABC是边长2的正三角形,上底面△A1B1C1是边长为1的正三角形.A1在下底面的射影为△ABC的重心,且A1B⊥A1C.1证明A1B⊥平面ACC1A1;2求直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值.
3.2019·萧山中学模拟如图,已知直角梯形ABCD和正方形BCEF,二面角A—BC—E的大小为120°,且满足AB∥CD,AD⊥AB,AD=DC=AB=2,点M,H分别是线段EF,AE的中点,点N是线段AF上异于A,F的点.1求证CH⊥平面AEF;2求直线MN与平面BCEF所成角的最大值.[能力提升练]
4.如图,已知四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.1求证FG∥平面PDE;2求证平面FGH⊥平面ABE;3在线段PC上是否存在一点M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.答案精析基础保分练1.解 1存在BC的中点E,使平面AEC′⊥平面ABC,取BC的中点E,由题意知AE⊥BC,又因为AC′⊥BC,AE∩AC′=A,所以BC⊥平面AEC′,因为BC⊂平面ABC,所以平面AEC′⊥平面ABC.2在平面AC′E中,过点C′作C′H⊥AE交AE的延长线于点H,连接HD.由1知,C′H⊥平面ABC,所以∠C′DH即为直线C′D与平面ABC所成的角.由AB=AC=2,∠BAC=120°,得BC=2,DC=,ED=,EC′=,在△AEC′中,由余弦定理得cos∠AEC′=-,所以cos∠HEC′=,sin∠HEC′=,所以HC′=EC′·sin∠HEC′=,所以sin∠HDC′==,所以直线C′D与平面ABC所成的角为60°.2.1证明 记△ABC的重心为G,连接BG并延长交AC于点M.因为底面△ABC为正三角形,所以BG⊥AC,又点A1在底面上的射影为G,所以A1G⊥平面ABC,所以A1G⊥AC,因为A1G∩BG=G,A1G⊂平面A1BG,BG⊂平面A1BG,所以AC⊥平面A1BG,又A1B⊂平面A1BG,所以AC⊥A1B.又A1B⊥A1C,且A1C∩AC=C,A1C⊂平面A1AC,AC⊂平面A1AC,所以A1B⊥平面A1AC,因此,A1B⊥平面ACC1A
1.2解 由于ABC—A1B1C1为棱台,设三侧棱延长交于一点D.因为AB=2A1B1=2,则A1,B1分别为棱AD,BD的中点.又G为正△ABC的重心,则BM=,CG=BG=BM=,GM=BM=.因为A1B⊥平面ACC1A1,所以A1B⊥A1M,故在Rt△A1BM中,A1G⊥BM,由三角形相似,得A1G2=BG·GM=,A1B2=BG·BM=
2.取A1D的中点H,连接B1H,CH,则B1H∥A1B,且B1H=A1B=,故B1H⊥平面ACC1A1,即∠B1CH即为直线CB1与平面ACC1A1所成的角.又=++,且GC⊥BA,A1G⊥BA,B1A1∥BA,所以⊥,⊥,又⊥,所以2=2+2+2=3,即B1C=,所以sin∠B1CH==,即直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为.3.1证明 由题可得AC==2,CE=BC==2,∴AC=CE.又H是AE的中点,∴CH⊥AE.∵AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,∴AC⊥EF.∵CE⊥EF,AC⊥EF,AC∩CE=C,∴EF⊥平面ACE.∵HC⊂平面ACE,∴EF⊥HC,又EF∩AE=E,∴CH⊥平面AEF.2解 方法一 过点A作AK⊥CE,垂足为K,连接KF,过点N作NL∥AK,交KF为L,连接ML,∵EF⊥平面ACE,∴平面EFK⊥平面ACE,又∵平面EFK∩平面ACE=CE,AK⊂平面ACE,∴AK⊥平面EFK,∴NL⊥平面EFK,∴∠NML就是直线MN与平面BCEF所成的角.设FL=x,∵AK=,KF=,则NL=x,ML2=FL2+FM2-2FM×FL×cos∠MFL=x2-x+2,∴tan∠NML===,∵x∈0,,∴∈,∴当=时,tan∠NMLmax=,∴直线MN与平面BCEF所成角的最大值是.方法二 以点C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,过点C垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系,∴C000,A2,00,B02,0,E-,0,,∴=+=+=-,0,+02,0=-,2,,∴F-,2,,M-,,.设n=x,y,z是平面BCEF的法向量,由即令z=1,得n=,01.设||=λ||0λ1,=+=+λ=2,00+λ-3,2,=2-3λ,2λ,λ,=-=3-3λ,2λ-,λ-,∴sinθ===,令x=1-λ,x∈01,则sinθ==≤,当=2,即x=,λ=时取等号.∴θ的最大值是.能力提升练4.1证明 因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥PE.又FG⊄平面PDE,PE⊂平面PDE,所以FG∥平面PDE.2证明 因为EA⊥平面ABCD,CB⊂平面ABCD,所以EA⊥CB.又CB⊥AB,AB∩AE=A,所以CB⊥平面ABE.由已知F,H分别为线段PB,PC的中点,所以FH∥BC,则FH⊥平面ABE.又FH⊂平面FGH,所以平面FGH⊥平面ABE.3解 在线段PC上存在一点M,使PB⊥平面EFM.证明如下如图,在PC上取一点M,连接EF,EM,FM.在Rt△AEB中,因为AE=1,AB=2,所以BE=.在直角梯形EADP中,因为AE=1,AD=PD=2,所以PE=,所以PE=BE.又F为PB的中点,所以EF⊥PB.要使PB⊥平面EFM,只需使PB⊥FM.因为EA⊥CB,PD∥AE,所以PD⊥CB,又CB⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,所以CB⊥平面PCD,而PC⊂平面PCD,所以CB⊥PC.若PB⊥FM,则△PFM∽△PCB,可得=.由已知可求得PB=2,PF=,PC=2,所以PM=.故在线段PC上存在一点M,当PM=时,使得PB⊥平面EFM.。