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第三章三角恒等变换检测B时间:90分钟 满分:120分
一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1.cos76°cos16°+cos14°cos74°-2cos75°cos15°等于 A.0B.C.1D.-解析:原式=cos76°cos16°+sin76°sin16°-2sin15°cos15°=cos76°-16°-sin30°=cos60°-sin30°==
0.答案:A
2.函数fx=cos-cos是 A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数解析:fx=cosxcos-sinxsin-cosxcos-sinxsin=-sinx它是周期为2π的奇函数.答案:D
3.已知tanθ+0θ则tan2θ的值等于 A.B.C.-D.-解析:由tanθ+可解得tanθ=2或但由于0θ所以tanθ∈01故tanθ=因此tan2θ=.答案:B
4.在△ABC中若cosAcosB=-cos2+1则△ABC一定是 A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:由已知得[cosA+B+cosA-B]=1-1+cosC即cosA-B=于是A-B=0A=B即△ABC是等腰三角形.答案:C
5.函数fx=1+tanxcosx的最小正周期为 A.2πB.C.πD.解析:依题意得fx=cosx+sinx=2sin因此其最小正周期是2π.答案:A
6.已知cos+sinα=则sin等于 A.-B.C.-D.解析:由cos+sinα=cosα+sinα=得sin所以sin=-sin=-.答案:C
7.已知sinα+sinβ=cosβ-cosα且α∈0πβ∈0π则α-β等于 A.-B.-C.D.解析:∵sinα+sinβ=2sincoscosβ-cosα=-2sinsin∴cossin∴tan.∵α∈0πβ∈0π∴-∴α-β=.答案:D
8.已知=tanβ且β-α=则m等于 A.1B.-1C.D.-解析:由于=tanβ=tan因此m=
1.答案:A
9.若函数fx=sincos+cos·sinω0的最小正周期为24π则fπ等于 A.B.C.D.解析:∵fx=sin=sin2ωx的最小正周期为24π∴T==24π∴ω=则fπ=sin=sin=sincos-cossin.答案:A
10.已知向量a=b=且x∈.若|a+b|=2a·b则sin2x+tanx等于 A.-1B.0C.2D.-2解析:|a+b|==2cosx.又a·b=cos2x由|a+b|=2a·b得2cosx=2cos2x所以2cos2x-cosx-1=0解得cosx=1或cosx=-舍去.当cosx=1时sinx=0tanx=0所以sin2x+tanx=0故选B.答案:B
二、填空题本大题共5小题每小题5分共25分.把答案填在题中的横线上
11.若sin则sin= . 解析:由已知得cosα=于是sin=-cos2α=1-2cos2α=1-2×.答案:
12.已知α是第二象限的角tanπ+2α=-则tanα= . 解析:由已知得tan2α=-即=-解得tanα=2或-.又α是第二象限的角tanα0故tanα=-.答案:-
13.函数fx=1+cos2xsin2x的最小正周期为 . 解析:fx=1+cos2xsin2x=1+cos2x·1-cos22x=cos4x其最小正周期T=.答案:
14.函数fx=2sin2cos2x的最大值为 . 解析:fx=2·cos2x=1+sin2x-cos2x=2sin+
1.因为≤x≤所以≤2x-所以当2x-时fx取最大值
3.答案:
315.已知13sinα+5cosβ=913cosα+5sinβ=15则sinα+β的值为 . 解析:两式等号两边分别平方并相加得132+130sinαcosβ+cosαsinβ+52=92+152即130sinα+β=112故sinα+β=.答案:
三、解答题本大题共5小题共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.8分已知函数fx=.1求函数fx的定义域;2若f求cosα的值.解:1由cosx≠0得x≠+kπk∈Z所以函数fx的定义域为.2fx==sinx+cosx=sinfsincosα=所以cosα=.
17.8分求证:.证明左边=====右边.故原等式成立.
18.9分已知函数fx=2cos其中ω0x∈R的最小正周期为10π.1求ω的值;2设αβ∈f=-f求cosα+β的值.解:1由=10π得ω=.2∵f=2cos=2cos=-2sinα=-∴sinα=.∵f=2cos=2cosβ=∴cosβ=.∵αβ∈∴cosα=sinβ=.故cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ==-.
19.10分已知cosα=cosα+β=-且α∈α+β∈求tan及β的值.解:∵α∈cosα=∴sinα=.tan=.又α+β∈cosα+β=-∴sinα+β=∴cosβ=cos[α+β-α]=cosα+βcosα+sinα+βsinα=-.又α∈α+β∈∴--α0则0βπ∴β=.
20.10分设函数fx=sinωx+cosωx2+2cos2ωxω0的最小正周期为.1求ω的值;2若函数y=gx的图象是由y=fx的图象向右平移个单位长度得到的求y=gx的单调递增区间.解:1fx=sinωx+cosωx2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=sin+
2.依题意得故ω=.2依题意得gx=sin+2=sin+
2.由2kπ-≤3x-≤2kπ+k∈Z解得kπ+≤x≤kπ+k∈Z故y=gx的单调递增区间为k∈Z.。