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第二章平面向量检测A时间:90分钟 满分:120分
一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1.下列说法中正确的是 A.两个单位向量的数量积为1B.若a·b=a·c且a≠0则b=cC.D.若b⊥c则a+c·b=a·b解析:由于b⊥c所以b·c=0因此a+c·b=a·b+c·b=a·b故D项正确.答案:D
2.设e是单位向量=2e=-2e||=2则四边形ABCD一定是 A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由=2e=-2e知所以四边形ABCD为平行四边形.又||=||=||=2所以四边形ABCD为菱形.答案:B
3.已知a=-6yb=-21且a与b共线则y等于 A.-6B.6C.3D.-3解析:由于a∥b所以-6×1=-2yy=
3.答案:C
4.已知|a|=|b|=1a与b的夹角为90°且c=2a+3bd=ka-4b若c⊥d则实数k的值为 A.6B.-6C.3D.-3解析:因为c⊥d所以c·d=0即2a+3b·ka-4b=2k-12=0解得k=
6.答案:A
5.已知|a|=1|b|=且a⊥a-b则向量a与向量b的夹角是 A.30°B.45°C.90°D.135°解析:因为a⊥a-b所以a·a-b=0即|a|2-a·b=0于是1-1××cosab=0cosab=故ab=45°.答案:B
6.已知一物体在共点力F1=lg5lg2F2=lg2lg2的作用下产生位移s=2lg51则此物体在共点力的作用下所做的功为 A.lg2B.lg5C.2D.3解析:所做的功W=F1+F2·s=lg5+lg22lg2·2lg51=12lg2·2lg51=2lg5+2lg2=
2.答案:C
7.在△ABC中若·=||2则△ABC的形状一定是 A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:·=·=||2-||2于是||2-||2=||2所以||2=||2+||2故△ABC是直角三角形.答案:C
8.在△ABC中M是BC的中点AM=1若点P在AM上且满足=2则·等于 A.-B.-C.D.解析:因为AM=1=2所以||=.于是·=·2==-||2=-.答案:A
9.在△ABC中AB边的高为CD若=a=ba·b=0|a|=1|b|=2则等于 A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b解析:因为a·b=0所以∠ACB=90°于是AB=CD=所以BD=AD=即AD∶BD=4∶1所以=a-b.答案:D
10.定义:|a※b|=|a||b|sinθ其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2|b|=5a·b=-6则|a※b|等于 A.-8B.8C.8或-8D.6解析:因为a·b=-6所以-6=2×5×cosθ于是cosθ=-从而sinθ=故|a※b|=|a||b|sinθ=2×5×=
8.答案:B
二、填空题本大题共5小题每小题5分共25分.把答案填在题中的横线上
11.已知单位向量e1e2的夹角为60°则|2e1-e2|= . 解析:|2e1-e2|=.答案:
12.已知|a|=10|b|=8a与b的夹角为120°则向量b在向量a方向上的射影的数量等于 . 解析:b在a方向上的射影的数量为=|b|cosab=8×cos120°=-
4.答案:-
413.已知a=11b=10c满足a·c=0且|a|=|c|b·c0则c= . 解析:设c=xy.由a·c=0得x+y=
0.
①由|a|=|c|得x2+y2=
2.
②由
①②得∵b·c0∴x0∴c=1-
1.答案:1-
114.在菱形ABCD中若AC=2则= . 解析:设两对角线AC与BD交于点O则AO=OC=1于是=2·=2-2||2=0-2=-
2.答案:-
215.若a=sinθcosθ-2sinθb=12且|a|=|b|则钝角θ等于 . 解析:因为|a|=|b|所以即sin2θ+cos2θ+4sin2θ-4sinθcosθ=5于是sin2θ-sinθcosθ=1从而-sinθcosθ=cos2θ.因为θ是钝角所以cosθ≠0于是-sinθ=cosθtanθ=-1故θ=.答案:
三、解答题本大题共5小题共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.8分已知向量a=20b=
14.1求2a+3ba-2b;2若向量ka+b与a+2b平行求k的值.解:1∵a=20b=14∴2a+3b=220+314=40+312=712a-2b=20-214=20-28=0-
8.2依题意得ka+b=2k0+14=2k+14a+2b=20+28=
48.∵向量ka+b与a+2b平行∴82k+1-4×4=0解得k=.
17.8分已知向量a=sinθ-cosθ2cosθ+sinθb=
12.1若a∥b求tanθ的值;2若a⊥b求θ的值.解:1由a∥b得2sinθ-cosθ=2cosθ+sinθ即2sinθ-2cosθ=2cosθ+sinθ所以sinθ=4cosθ于是tanθ==
4.2由a⊥b得sinθ-cosθ+22cosθ+sinθ=0即3sinθ+3cosθ=0即sinθ+cosθ=0从而tanθ=-1故θ=kπ+k∈Z.
18.9分如图已知ACBD是梯形ABCD的对角线EF分别是BDAC的中点.求证:EF∥BC.证明设=a=b则=b-a.∵∴=λ=λbλ∈Rλ≠0且λ≠
1.∵E为BD的中点∴b-a.∵F为AC的中点∴====λb-a∴λb-a-b-a=b=.∴EF∥BC.
19.10分在平面直角坐标系xOy中已知点A-1-2B23C-2-
1.1求以线段ABAC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;2设实数t满足-t·=0求t的值.解:1由题设知=35=-11则=26=
44.所以||==2||==
4.故所求的两条对角线的长分别为
24.2由题设知=-2-1-t=3+2t5+t.由-t·=0得3+2t5+t·-2-1=0从而5t=-11所以t=-.
20.10分如图M是矩形ABCD的边CD上的一点AC与BM交于点NBN=BM.1求证:M是CD的中点;2若AB=2BC=1H是BM上异于点B的一动点求的最小值.1证明设=m=n由题意知=+m=.又+n+n=1-n+n∴∴=m即M是CD的中点.2解:以B为原点AB所在直线为x轴BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系则由题意可设点H-xx且0x≤1A-20B
00.=2-xx=x-x∴=2-xx-x2=2x-2x2=-
2.又0x≤1∴当x=1即H与M重合时取得最小值且最小值为
0.。