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第1章立体几何初步滚动训练一
5.1～
5.2
一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A．异面B．平行C．相交D．不能确定考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 B解析 设α∩β＝l，a∥α，a∥β，则过直线a作与平面α，β都相交的平面γ，记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又b⃘β，cβ，∴b∥β.又bα，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.2．下列说法正确的是
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．
①③B．
②④C．
②③④D．
③④考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 D解析 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此
①②都错；
③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别；
④是平面与平面平行的判定定理，正确．3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是 A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案 B解析 A中，l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3可以平行，也可以相交或异面，借助正方体的棱很容易理解；B中，l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3；C中，l1∥l2∥l3，则三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱互相平行但不共面；D中，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．4．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是 A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形考点 平行公理题点 判断、证明线线平行答案 C解析 由题意得EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，又EF＝AC，AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．又∵AC与BD所成角的大小为90°，∴EF⊥EH，即四边形EFGH为正方形．5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是 考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 A解析 A中，作如图
①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；B中，作如图
②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⃘平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C中，作如图
③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⃘平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D中，作如图
④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊈平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.6．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则 A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 B解析 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.
7.如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则 A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质证明平行问题答案 B解析 ∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.8．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为 A．1B.C．3D．2考点 直线与平面平行的性质题点 与线面平行性质有关的计算答案 C解析 设AO交BE于点G，连接FG.∵O，E分别是BD，AD的中点，∴＝，＝.∵PC∥平面BEF，平面PAC∩平面BEF＝GF，PC平面PAC，∴GF∥PC，∴＝＝，则AP＝3AF，∴λ＝
3.
二、填空题9．已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列说法
①若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β；
②若α∥β，lα，mβ，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中说法正确的为________．考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案
③解析
①中α可能与β相交；
②中直线l与m可能异面；
③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.10．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝______.考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案 8解析 直线CE在下底面内，且与上底面平行，与其他四个平面相交，直线EF与左、右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m＝4，n＝4，故m＋n＝
8.
11.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG；其中正确结论的序号是________．考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案
①②③④解析 把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可．12．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________．考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案 4＋6解析 由EF∥平面BCC1B1，知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋
6.
三、解答题
13.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．考点 平面与平面平行的性质题点 与面面平行性质有关的计算解 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD
1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O，所以D1为线段A1C1的中点，所以D1C1＝A1C
1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC
1.又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，所以＝
1.
四、探究与拓展14．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝AD＝AA1＝2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论错误的是 A．对于任意的点Q，都有AP∥QRB．对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形C．存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形D．存在点Q，使得直线BC∥平面APQR考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 C解析 ∵AB∥CD，AA1∥DD1，AB∩AA1＝A，CD∩DD1＝D，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C
1.又∵平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面CDD1C1＝QR，∴AP∥QR.故A正确；∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行．由AP∥QR可知，AP≠QR，即四边形APQR不可能为平行四边形，故B正确；延长CD至M，使得DM＝CD，则四边形ABCM是矩形，∴BC∥AM.当R，Q，M三点共线时，AM平面APQR，∴BC∥平面APQR，故D正确；易得C不正确．15．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D考点 平行的综合应用题点 平行中的探索性问题解 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG，所以四边形MEFG是平行四边形．因为ME∥BB1，BB1平面BB1D1D，ME⊈平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1平面BB1D1D，EF⊈平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME平面MEFG，EF平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点．所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上任意位置时，都有MN∥平面BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。
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