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第1章立体几何初步滚动训练一
5.1~
5.2
一、选择题1.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面B.平行C.相交D.不能确定考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 B解析 设α∩β=l,a∥α,a∥β,则过直线a作与平面α,β都相交的平面γ,记α∩γ=b,β∩γ=c,则a∥b且a∥c,∴b∥c.又b⃘β,cβ,∴b∥β.又bα,α∩β=l,∴b∥l,∴a∥l.2.下列说法正确的是
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.A.
①③B.
②④C.
②③④D.
③④考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 D解析 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABCD内,在AB上任取一点E,过点E作EF∥AD,交CD于点F,则由线面平行的判定定理,知EF,BC都平行于平面ADD1A1,用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行,但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行,因此
①②都错;
③正确,事实上,因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,所以这两个平面必无公共点要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别;
④是平面与平面平行的判定定理,正确.3.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列说法正确的是 A.若l1⊥l2,l2⊥l3,则l1∥l3B.若l1⊥l2,l2∥l3,则l1⊥l3C.若l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3共面D.若l1,l2,l3共点,则l1,l2,l3共面考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案 B解析 A中,l1⊥l2,l2⊥l3,则l1与l3可以平行,也可以相交或异面,借助正方体的棱很容易理解;B中,l1⊥l2,l2∥l3,则l1⊥l3;C中,l1∥l2∥l3,则三直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱互相平行但不共面;D中,共点的三条直线不一定共面,如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.4.点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点,若AC=BD,且AC与BD所成角的大小为90°,则四边形EFGH是 A.菱形B.梯形C.正方形D.空间四边形考点 平行公理题点 判断、证明线线平行答案 C解析 由题意得EH∥BD且EH=BD,FG∥BD且FG=BD,∴EH∥FG且EH=FG,∴四边形EFGH为平行四边形,又EF=AC,AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH为菱形.又∵AC与BD所成角的大小为90°,∴EF⊥EH,即四边形EFGH为正方形.5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 A解析 A中,作如图
①所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD与平面MNQ相交,∴直线AB与平面MNQ相交;B中,作如图
②所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB⃘平面MNQ,MQ平面MNQ,∴AB∥平面MNQ;C中,作如图
③所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB⃘平面MNQ,MQ平面MNQ,∴AB∥平面MNQ;D中,作如图
④所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,∴AB∥NQ,又AB⊈平面MNQ,NQ平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.故选A.6.若不在同一直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A∉α,则 A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一边与α相交考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 B解析 若三点在平面α的同侧,则α∥平面ABC,有三边平行于α.若一点在平面α的一侧,另两点在平面α的另一侧,则有两边与平面α相交,有一边平行于α,故△ABC中至少有一边平行于α.
7.如图,在四棱锥PABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则 A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能考点 直线与平面平行的性质题点 利用性质证明平行问题答案 B解析 ∵MN∥平面PAD,MN平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.8.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,AC交BD于点O,E为AD的中点,F在PA上,AP=λAF,PC∥平面BEF,则λ的值为 A.1B.C.3D.2考点 直线与平面平行的性质题点 与线面平行性质有关的计算答案 C解析 设AO交BE于点G,连接FG.∵O,E分别是BD,AD的中点,∴=,=.∵PC∥平面BEF,平面PAC∩平面BEF=GF,PC平面PAC,∴GF∥PC,∴==,则AP=3AF,∴λ=
3.
二、填空题9.已知l,m,n是互不相同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列说法
①若l与m为异面直线,lα,mβ,则α∥β;
②若α∥β,lα,mβ,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中说法正确的为________.考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案
③解析
①中α可能与β相交;
②中直线l与m可能异面;
③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.10.如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=______.考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案 8解析 直线CE在下底面内,且与上底面平行,与其他四个平面相交,直线EF与左、右两个平面平行,与其他四个平面相交,所以m=4,n=4,故m+n=
8.
11.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论
①平面EFGH∥平面ABCD;
②PA∥平面BDG;
③EF∥平面PBC;
④FH∥平面BDG;
⑤EF∥平面BDG;其中正确结论的序号是________.考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案
①②③④解析 把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.12.如图所示的正方体的棱长为4,E,F分别为A1D1,AA1的中点,过C1,E,F的截面的周长为________.考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案 4+6解析 由EF∥平面BCC1B1,知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1,平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF,所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+
6.
三、解答题
13.如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.考点 平面与平面平行的性质题点 与面面平行性质有关的计算解 如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD
1.由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.因为平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,所以BC1∥D1O,所以D1为线段A1C1的中点,所以D1C1=A1C
1.因为平面BC1D∥平面AB1D1,且平面AA1C1C∩平面BDC1=DC1,平面AA1C1C∩平面AB1D1=AD1,所以AD1∥DC
1.又因为AD∥D1C1,所以四边形ADC1D1是平行四边形,所以AD=C1D1=A1C1=AC,所以=
1.
四、探究与拓展14.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90°,AB=AD=AA1=2DC,Q为棱CC1上一动点,过直线AQ的平面分别与棱BB1,DD1交于点P,R,则下列结论错误的是 A.对于任意的点Q,都有AP∥QRB.对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形C.存在点Q,使得△ARP为等腰直角三角形D.存在点Q,使得直线BC∥平面APQR考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 C解析 ∵AB∥CD,AA1∥DD1,AB∩AA1=A,CD∩DD1=D,∴平面ABB1A1∥平面CDD1C
1.又∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=QR,∴AP∥QR.故A正确;∵四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行.由AP∥QR可知,AP≠QR,即四边形APQR不可能为平行四边形,故B正确;延长CD至M,使得DM=CD,则四边形ABCM是矩形,∴BC∥AM.当R,Q,M三点共线时,AM平面APQR,∴BC∥平面APQR,故D正确;易得C不正确.15.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AB的中点,点N在侧面AA1D1D上运动,点N满足什么条件时,MN∥平面BB1D1D考点 平行的综合应用题点 平行中的探索性问题解 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,分别取棱A1B1,A1D1,AD的中点E,F,G,连接ME,EF,FG,GM.因为M是AB的中点,所以ME∥AA1∥FG,且ME=AA1=FG,所以四边形MEFG是平行四边形.因为ME∥BB1,BB1平面BB1D1D,ME⊈平面BB1D1D,所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中,因为EF∥B1D1,B1D1平面BB1D1D,EF⊈平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF=E,且ME平面MEFG,EF平面MEFG,所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N,连接MN,所以MN平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN∥平面BB1D1D.总之,当点N在平面AA1D1D内的直线FG上任意位置时,都有MN∥平面BB1D1D,即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时,都有MN∥平面BB1D1D.。