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第1章立体几何初步滚动训练二
6.1~
6.2
一、选择题1.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是 考点 直线与平面垂直的性质题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 A2.关于直线m,n与平面α,β,有下列四个命题
①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;
④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n.其中真命题的序号是 A.
①②B.
③④C.
①④D.
②③考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析
①m,n可能异面、相交或平行,
④m,n可能平行、异面或相交,所以
①④错误.3.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出如下命题
①若α⊥β,α∩β=m,nα,n⊥m,则n⊥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若α⊥β,m⊥β,m⃘α,则m∥α;
④若α⊥β,m∥α,则m⊥β;其中正确命题的个数为 A.1B.2C.3D.4考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 B解析 根据平面与平面垂直的性质知
①正确;
②中,α,β可能平行,也可能相交,不正确;
③中,α⊥β,m⊥β,m⃘α时,只可能有m∥α,正确;
④中,m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交,不正确.综上,可知正确命题的个数为2,故选B.
4.如图所示,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数为 A.4B.3C.2D.1考点 直线与平面垂直的性质题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 A解析 ∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,∴△ABC是直角三角形.又∵PA⊥平面ABC,∴△PAC,△PAB是直角三角形.又BC平面ABC,∴PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA,AC平面PAC,∴BC⊥平面PAC,又PC平面PAC,∴BC⊥PC,∴△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC都是直角三角形,故选A.5.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=AC,AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点,给出下列结论
①C1M⊥平面A1ABB1;
②A1B⊥NB1;
③平面AMC1∥平面CNB
1.其中正确结论的个数为 A.0B.1C.2D.3考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M.由A1C1=B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1,∵AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1平面A1ABB1,∴C1M⊥平面A1ABB1,∴
①正确;由C1M⊥平面A1ABB1,可得C1M⊥A1B,又已知AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,∴A1B⊥平面AMC1,从而可得A1B⊥AM,又易证得AM∥NB1,∴A1B⊥NB1,∴
②正确;易证得AM∥NB1,MC1∥CN,从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC1∥平面CNB1,∴
③正确,故选D.6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A-BCD,则在几何体A-BCD中,下列结论正确的是 A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC考点 平面与平面垂直的判定题点 判定两平面垂直答案 D解析 由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,∴CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC.
7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,则下列结论中正确的是 A.BD1∥B1CB.A1D1∥平面AB1CC.BD1⊥ACD.BD1⊥平面AB1C考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 C解析 连接BD.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,∴AC⊥BD.又AC⊥DD1,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD
1.∵BD1⊂平面BDD1,∴AC⊥BD
1.故选C.8.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,A1B1的中点,点P在正方体的表面上运动,则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是 A.4B.2+C.3+D.2+考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题答案 D解析 如图,取CC1的中点G,连接DG,MG,则MG∥BC.设BN交AM于点E.∵BC⊥平面ABB1A1,NB平面ABB1A1,∴NB⊥MG.∵正方体的棱长为1,M,N分别是BB1,A1B1的中点,∴△ABM≌△BB1N,∴∠MAB=∠NBB1,∴∠MBE+∠BME=90°,∴∠MEB=90°,即BN⊥AM,又MG∩AM=M,MG,AM平面ADGM,∴NB⊥平面ADGM,∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM不包括M点.∵正方体的棱长为1,∴矩形ADGM的周长等于2+.故选D.
二、填空题9.下列四个命题中,真命题的个数为________.
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若点M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.考点 平面的基本性质题点 确定平面问题答案 1解析 只有
③正确.10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1,BC=,则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 60°解析 因为几何体是棱柱,BC∥B1C1,则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=1,BC=,BA1==,则CA1==,所以△BCA1是正三角形,故异面直线所成角为60°.
11.如图,已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________.考点 二面角题点 知题作角答案 解析在平面BC1内延长FE,CB,相交于点G,连接AG,过点B作BH垂直AG于点H,连接EH.∵BE⊥平面ABCD,AG平面ABCD,∴BE⊥AG.∵BH⊥AG,BH∩EB=B,BH,EB平面BEH,∴AG⊥平面BEH,∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角.设正方体的棱长为a,则BE=,CF=a,∴GB∶GC=BE∶CF=1∶2,∴BG=a,∴BH=a,故tan∠BHE===.
三、解答题12.已知△ABC是边长为1的等边三角形,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到三棱锥A-BCF,其中BC=.1证明DE∥平面BCF;2证明CF⊥平面ABF.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明证明 1在等边三角形ABC中,AD=AE,∴=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,∴DE∥BC.∵DE⊈平面BCF,BC平面BCF,∴DE∥平面BCF.2在等边三角形ABC中,F是BC的中点,∴AF⊥BC,折叠后,AF⊥CF.∵在△BFC中,BC=,BF=CF=,∴BC2=BF2+CF2,因此CF⊥BF.又AF∩BF=F,AF,BF平面ABF,∴CF⊥平面ABF.
13.如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,FE与A,D不重合分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证1EF∥平面ABC;2AD⊥AC.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定证明 1在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,则AB∥EF.又因为EF⊈平面ABC,AB平面ABC,所以EF∥平面ABC.2因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC平面ABC,所以AD⊥AC.
四、探究与拓展14.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,P到β的距离为,Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为 A.B.2C.2D.4考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 垂直的计算与探索性问题答案 C解析 如图,分别作QA⊥α于点A,AC⊥l于点C,PB⊥β于点B,PD⊥l于点D,连接CQ,BD,则∠ACQ=∠PDB=60°,AQ=2,BP=,∴AC=PD=
2.又∵PQ==≥2,当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故选C.15.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,点M为A1B的中点.1证明A1M⊥平面MAC;2在棱B1C1上是否存在点N,使MN∥平面A1ACC1?若存在,试确定点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 垂直的计算与探索性问题1证明 在Rt△BAC中,BC===
2.在Rt△A1AC中,A1C===
2.∴BC=A1C,即△A1CB为等腰三角形.又点M为A1B的中点,∴A1M⊥MC.又∵四边形AA1B1B为正方形,M为A1B的中点,∴A1M⊥MA.又MC∩MA=M,MC平面MAC,MA平面MAC,∴A1M⊥平面MAC.2解 当N为B1C1的中点时,满足MN∥平面A1ACC1,证明如下取A1B1的中点P,连接MP,NP.∵M,P分别为A1B与A1B1的中点,∴MP∥BB1∥AA
1.又MP⊈平面A1ACC1,AA1平面A1ACC1,∴MP∥平面A1ACC1,同理可证NP∥平面A1ACC
1.又MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面A1ACC
1.∵MN平面MNP,∴MN∥平面A1ACC
1.。