还剩7页未读,继续阅读
文本内容:
第1章立体几何初步滚动训练三§5~§6
一、选择题1.下列命题正确的是 A.两两相交的三条直线可确定一个平面B.两个平面与第三个平面所成的角都相等,则这两个平面一定平行C.过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D.和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 C解析 对于A,两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面,故A错误;对于B,两个平面与第三个平面所成的角都相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;对于C,过平面外一点的直线一定在平面外,且直线与这个平面相交或平行,故C正确;对于D,和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线,故D错误.故选C.2.设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是
①X,Y,Z是直线;
②X,Y是直线,Z是平面;
③Z是直线,X,Y是平面;
④X,Y,Z是平面.A.
①②B.
①③C.
③④D.
②③考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析 对于
①,X,Y,Z是直线,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题,如正方体共顶点的三条棱;对于
②,X,Y是直线,Z是平面,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题,根据线面垂直的性质定理可知正确;对于
③,Z是直线,X,Y是平面,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题,根据垂直于同一直线的两个平面平行,故正确;对于
④,X,Y,Z是平面,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题,如正方体共顶点的三个面.故选D.3.已知m,n表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,则下列说法正确的是 A.若mα,α⊥β,则m⊥βB.若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊥β,则m∥αD.若m⊥α,m∥β,则α⊥β考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析 由m,n表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面知,在A中,若mα,α⊥β,则m与β相交、平行或mβ,故A错误;在B中,若mα,nα,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故B错;在C中,若α⊥β,m⊥β,则m∥α或mα,故C错误;在D中,若m⊥α,m∥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故D正确.4.正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为 A.30°B.60°C.45°D.90°考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 B解析 过顶点作垂线,交底面于正方形对角线的交点O,连接OE,∵正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为,∴PO=,AB=,AC=,PA=,OB=,∵OE与PA在同一平面且是△PAC的中位线,∴OE∥PA且OE=PA,∴∠OEB即为PA与BE所成的角,OE=,在Rt△OEB中,tan∠OEB==,∴∠OEB=60°.故选B.5.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1;
④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为 A.4B.3C.2D.1考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 A解析 在
①中,由正方体的性质,得BD∥B1D1,又BD⃘平面CB1D1,B1D1平面CB1D1,∴BD∥平面CB1D1,故
①正确;在
②中,由正方体的性质得AC⊥BD,CC1⊥BD,又AC∩CC1=C,AC,CC1平面ACC1,∴BD⊥平面ACC1,∴AC1⊥BD,故
②正确;在
③中,由正方体的性质得BD∥B1D1,由
②知,AC1⊥BD,∴AC1⊥B1D1,同理可证AC1⊥CB1,∴AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线,∴AC1⊥平面CB1D1,故
③正确;在
④中,异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角,故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角,在等腰直角△BCD中,∠CBD=45°,故直线B1D1与BC所成的角为45°,故
④正确.故选A.6.如图所示,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是 A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析 ∵PA⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB,即tan∠ADP===1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°,故选D.7.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=2BC,E是CD上一点,若AE⊥平面PBD,则的值为 A.B.C.3D.4考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题答案 C解析 ∵PD⊥底面ABCD,AE底面ABCD,∴PD⊥AE,当AE⊥BD时,AE⊥平面PBD,此时△ABD∽△DAE,则=,∵AB=2BC,∴DE=AB=DC,∴=
3.故选C.8.边长为2的正三角形ABC中,D,E,M分别是AB,AC,BC的中点,N为DE的中点,将△ADE沿DE折起至△A′DE的位置,使A′M=.设MC的中点为Q,A′B的中点为P,给出下列四个结论
①A′N⊥平面BCED;
②NQ∥平面A′EC;
③DE⊥平面A′MN;
④平面PMN∥平面A′EC.以上结论正确的是 A.
①②④B.
②③④C.
①②③D.
①③④考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 C解析 由题意可知MN与CE在同一平面内且不平行,所以MN与CE一定有交点,即平面PMN与平面A′EC有交线,
④错误,故选C.
二、填空题9.二面角α-l-β为60°,异面直线a,b分别垂直于α,β,则a与b所成角的大小是________.考点 空间角题点 空间角的综合应用答案 60°解析 过直线a上一点作b的平行线b′,则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知,a与b′的夹角为60°,所以a与b所成角的大小是60°.10.如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是BD和AE的中点,那么
①AD⊥MN;
②MN∥平面CDE;
③MN∥CE;
④MN,CE异面,其中正确结论的序号是________.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案
①②③解析 ∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是BD和AE的中点,取AD的中点G,连接MG,NG,易得AD⊥平面MNG,进而得到AD⊥MN,故
①正确;连接AC,CE,根据三角形中位线定理,可得MN∥CE,由线面平行的判定定理,可得
②MN∥平面CDE及
③MN∥CE正确,
④MN,CE异面错误.11.我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度,在四面体ABCD中,AD⊥平面ABC,AC⊥BC,则四面体ABCD的直度为________.考点 空间中的垂直问题题点 空间中的垂直问题答案 4解析 ∵在四面体ABCD中,AD⊥平面ABC,∴AD⊥AB,AD⊥AC,AD⊥BC,∵AC⊥BC,AC∩AD=A,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥CD,∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形,∴四面体ABCD的直度为
4.
三、解答题12.如图,已知△ABC是正三角形,EA,CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点,求证1FD∥平面ABC;2AF⊥平面EDB.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明证明 取AB的中点M,连接FM,MC.1∵F,M分别是BE,BA的中点,∴FM∥EA,FM=EA=a.∵EA,CD都垂直于平面ABC,∴CD∥EA,∴CD∥FM.又∵DC=a,∴FM=DC,∴四边形FMCD是平行四边形,∴FD∥MC.∵FD⊈平面ABC,MC平面ABC,∴FD∥平面ABC.2∵M是AB的中点,△ABC是正三角形,∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC,CM平面ABC,∴CM⊥AE,又∵AB∩AE=A,AB,AE平面EAB,∴CM⊥平面EAB,又AF平面EAB,∴CM⊥AF.又∵CM∥FD,∴FD⊥AF.∵F是BE的中点,EA=AB,∴AF⊥BE.又∵FD∩BE=F,FD,BE平面EDB,∴AF⊥平面EDB.13.如图所示,已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ,求证PQ∥平面CBE.考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的证明证明 作PM∥AB交BE于点M,作QN∥AB交BC于点N,连接MN,则PM∥QN,∴=,=.∵AP=DQ,∴EP=BQ.又∵AB=CD,EA=BD,∴PM=QN.∴四边形PMNQ是平行四边形,∴PQ∥MN.∵PQ⊈平面CBE,MN平面CBE,∴PQ∥平面CBE.
四、探究与拓展14.已知m,n是两条不重合的直线,a,b分别垂直于两个不重合的平面α,β,有以下四个命题
①若m⊥a,n∥b,且α⊥β,则m∥n;
②若m∥a,n∥b,且α⊥β,则m⊥n;
③若m∥a,n⊥b且α∥β,则m⊥n;
④若m⊥a,n⊥b,且α∥β,则m∥n.其中真命题的序号是________.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案
②③解析
①中m,n不一定平行,还可能相交或异面;
④中m,n不一定平行,还可能异面或相交.
15.如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.1求证MN∥平面PAD;2求证MN⊥CD;3若∠PDA=45°,求证MN⊥平面PCD.证明 1如图所示,取PD的中点E,连接AE,EN,则有EN∥CD,EN=CD,又AM∥CD,AM=CD,∴EN∥AM,且EN=AM.∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE.∵AE平面PAD,MN⃘平面PAD,∴MN∥平面PAD.2∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.又AD⊥AB,PA∩AD=A,PA,AD平面PAD,∴AB⊥平面PAD.又∵AE平面PAD,∴AB⊥AE,又AE∥MN,∴AB⊥MN,又CD∥AB,∴MN⊥CD.3∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.又∠PDA=45°,E是PD的中点,∴AE⊥PD,即MN⊥PD.又MN⊥CD,CD∩PD=D,CD,PD平面PCD,∴MN⊥平面PCD.。