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第1章立体几何初步章末检测试卷一时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.某空间几何体的主视图是三角形,则该几何体不可能是 A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱考点 题点 答案 A解析 由空间几何体的三视图可知,圆柱的主视图不可能是三角形.2.如图,B′C′∥x′轴,A′C′∥y′轴,则下面直观图所表示的平面图形是 A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 D解析 因为B′C′∥x′轴,A′C′∥y轴,所以直观图中BC∥x轴,AC∥y轴,所以三角形是直角三角形.故选D.3.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 A.12对B.24对C.36对D.48对考点 题点 答案 B解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面的直线有CC1,DD1,B1C1,A1D1,共4对,正方体ABCD-A1B1C1D1有12条棱,排除重复计算的异面直线,∴异面直线共有12×2=24对.4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍,则该圆锥的母线与轴所成的角为 A.30°B.45°C.60°D.75°考点 题点 答案 A解析 设圆锥的母线长为L,底面圆的半径为r,则由题意得πrL=2πr2,∴L=2r,∴圆锥的母线与轴所成的角为30°.5.下列命题
①在平面外的直线与平面不相交必平行;
②过平面外一点只有一条直线和这个平面平行;
③如果一条直线与另一条直线平行,则它和经过另一条直线的任何平面平行;
④若直线上有两点到平面的距离相等,则直线平行于该平面.其中正确命题的个数为 A.1B.2C.3D.4考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 A解析
①正确,
②③④错误.6.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A.异面B.相交C.平行D.异面或相交考点 题点 答案 D解析 如图所示,a,b是异面直线,AB,AC都与a,b相交,AB,AC相交;AB,DE都与a,b相交,AB,DE异面.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断
①FG∥平面AA1D1D;
②EF∥平面BC1D1;
③FG∥平面BC1D1;
④平面EFG∥平面BC1D
1.其中推断正确的序号是 A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 A解析 ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC
1.∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1,∵FG⊈平面AA1D1D,AD1平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故
①正确;∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交,故
②错误;∵FG∥BC1,FG⊈平面BC1D1,BC1平面BC1D1,FG∥平面BC1D1,故
③正确;∵EF与平面BC1D1相交,∴平面EFG与平面BC1D1相交,故
④错误.故选A.8.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.+πB.+πC.+πD.1+π考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 C解析 由三视图知,半球的半径R=,四棱锥为底面边长为1,高为1的正四棱锥,∴V=×1×1×1+×π×3=+π,故选C.9.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 A.B.C.D.考点 题点 答案 A解析 如图所示,设球的半径为R,由题意知OO′=,OF=R,∴r=R.∴S截面=πr2=π2=R
2.又∵S球=4πR2,∴==.10.已知直线l⊈平面α,直线m平面α,下面四个结论
①若l⊥α,则l⊥m;
②若l∥α,则l∥m;
③若l⊥m,则l⊥α;
④若l∥m,则l∥α,其中正确的是 A.
①②④B.
③④C.
②③D.
①④考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析 由直线l⊈平面α,直线m平面α知,在
①中,若l⊥α,则由线面垂直的性质得l⊥m,故
①正确;在
②中,若l∥α,则l与m平行或异面,故
②错误;在
③中,若l⊥m,则l与α不一定垂直,故
③错误;在
④中,若l∥m,则由线面平行的判定定理得l∥α,故
④正确.故选D.11.如图,四边形ABCD是圆柱的轴截面,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下面结论中错误的是 A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面CEBD.平面ADE⊥平面BCE考点 空间中的垂直问题题点 空间中的垂直问题答案 C解析 由AB是底面圆的直径可知,∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵四边形ABCD是圆柱的轴截面,∴AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD,AD∩AE=A,因此BE⊥平面ADE.同理可得AE⊥CE,平面BCE⊥平面ADE.可得A,B,D正确.而DE⊥平面CEB不正确.故选C.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°.侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法错误的是 A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P-BC-A的大小为45°D.BD⊥平面PAC考点 空间角问题题点 空间角的综合应用答案 D解析 对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,∴AD⊥平面PBM,故A正确.对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确.对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=,PM=,在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A大小为45°,故C正确.错误的是D,故选D.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的倍,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为5+π,则旋转体的体积为________.考点 题点 答案 解析 如图所示的是旋转体的半轴截面,设直角梯形的上底长为r,则下底长为r,∠C=45°,所以DE=,DC=r,所以旋转体的表面积为S表=π·+2π··r+π··r=r25+.又因为S表=5+π,所以r2=4,所以r=2,所以V=π·2·r+π·2·=.14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1内,MN⊥BC于点M,则MN与AD的位置关系是________.考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直答案 垂直解析 ∵平面BCC1B1⊥平面ABCD,平面BCC1B1∩平面ABCD=BC,MN平面BCC1B1,∴MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AD.15.已知平面α,β和直线m,给出以下条件
①m∥α;
②m⊥α;
③mα;
④α∥β.要想得到m⊥β,则所需要的条件是________.填序号考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案
②④解析 易知⇒m⊥β.
16.如图,已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是________.考点 题点 答案 90°解析 因为OP与平面β所成的角大于等于45°,所以OP与平面β所成的角最小为45°,即OP与OP在平面β内的射影所成的角最小是45°.又因为∠POB=45°,所以AB就是OP在平面β内的射影,所以α⊥β.所以二面角α-AB-β的大小是90°.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形,边长分别是4cm与2cm,如图所示,俯视图是一个边长为4cm的正方形.1求该几何体的表面积;2求该几何体的外接球的体积.考点 题点 解 1由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4,高是2,因此该几何体的表面积是2×4×4+4×4×2=64cm2,即几何体的表面积是64cm
2.2由长方体与球的性质,可得长方体的体对角线是其外接球的直径,记长方体的体对角线为d,球的半径是r,d===6cm,所以球的半径为r=3cm.因此球的体积V=πr3=×27π=36πcm3,所以外接球的体积是36πcm
3.18.12分如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.1证明EF∥平面PAD;2求三棱锥E-ABC的体积V.考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的证明1证明 在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴EF∥AD.又∵AD平面PAD,EF⊈平面PAD,∴EF∥平面PAD.2解 连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G.则EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.
19.12分如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.1求异面直线CE与AF所成角的余弦值;2证明CD⊥平面ABF.考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明1解 因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED,故∠CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD,故ED⊥CD.在Rt△CDE中,因为CD=1,ED=2,所以CE==3,所以cos∠CED==.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.2证明 如图,过点B作BG∥CD交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.由∠BAD=45°可得BG⊥AB,从而CD⊥AB.又因为CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF.
20.12分如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F,F1分别是AC,A1C1的中点.求证1平面AB1F1∥平面C1BF;2平面AB1F1⊥平面ACC1A
1.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明证明 1在正三棱柱ABC-A1B1C1中,∵F,F1分别是AC,A1C1的中点,∴B1F1∥BF,AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,∴平面AB1F1∥平面C1BF.2在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∴B1F1⊥AA
1.又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1,∴B1F1⊥平面ACC1A1,又B1F1平面AB1F1,∴平面AB1F1⊥平面ACC1A
1.21.12分在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置,使平面D1AE⊥平面ABCE.1若F为线段D1A的中点,求证EF∥平面D1BC;2求证BE⊥D1A.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明证明 1取AB的中点G,连接EG,FG,则EG∥BC,FG∥D1B,且EG∩FG=G,EG平面EFG,FG平面EFG,D1B∩BC=B,D1B平面D1BC,BC平面D1BC,∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF平面EFG,∴EF∥平面D1BC.2易证BE⊥EA,平面D1AE⊥平面ABCE.平面D1AE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面D1AE.又∵D1A平面D1AE,∴BE⊥D1A.
22.12分如图所示,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.1求证DM∥平面APC;2求证平面ABC⊥平面APC;3若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明1证明 ∵M为AB的中点,D为PB的中点,∴DM∥AP.又∵DM⊈平面APC,AP平面APC,∴DM∥平面APC.2证明 ∵△PMB为正三角形,且D为PB的中点,∴MD⊥PB.又由1知,MD∥AP,∴AP⊥PB.又已知AP⊥PC,PC∩PB=P,PB,PC平面PBC,∴AP⊥平面PBC,∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC,AC∩AP=A,AC,AP平面ACP,∴BC⊥平面APC.又∵BC平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.3解 由2知AP⊥平面PBC,又MD∥AP,∴MD⊥平面PBC.∵AB=20,∴MB=10,∴PB=
10.由2可知BC⊥PC,又BC=4,∴PC===
2.∴S△BDC=S△PBC=PC·BC=×2×4=
2.又MD=AP==
5.∴V三棱锥D-BCM=V三棱锥M-BCD=S△BDC·DM=×2×5=
10.。