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2.
2.2 间接证明学习目标重点难点1.能知道反证法的思考过程、特点.2.会用反证法证明数学问题.重点反证法的适用范围、思考过程、特点及应用.难点会用反证法证明数学问题.1.间接证明1不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明的方法通常称为________.2________是一种常用的间接证明方法.2.反证法1用反证法证明时,要从否定________开始,经过正确的推理,导致逻辑________,从而达到新的否定即肯定原命题.2用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示→→→.3.反证法证明过程包括三个步骤1____——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真.2____——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果.3____——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.预习交流做一做用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,假设应该是________________________________________________________________________.在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!我的学困点我的学疑点答案预习导引1.1间接证明 2反证法2.1结论 矛盾 2否定结论q 矛盾 若p则q”为真3.1反设 2归谬 3存真预习交流提示假设三角形的内角中至少有两个钝角
一、用反证法证明否定性命题设数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.1求证数列{Sn}不是等比数列.2数列{Sn}是等差数列吗?为什么?思路分析仔细分析题意可得12中都含有否定性命题,可采用反证法证明,解题时要注意对公比q的分析.设a,b,c,d∈R,且ad-bc=
1.求证a2+b2+c2+d2+ab+cd≠
1.当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
二、用反证法证明“至多”“至少”问题证明若函数fx在区间[a,b]上是增函数,那么方程fx=0在区间[a,b]上至多有一个实根.思路分析结论中含词语“至多”,宜采用反证法,注意“至多有一个”的否定是“至少有2个”.若x>0,y>0,且x+y>2,求证与中至少有一个小于
2.1结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题,宜考虑使用反证法.2要想得到与原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,即原命题包含哪几个结论不能缩小也不能扩大,然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论,从这些结论中把原命题所含的结论剔除,就得到原命题的相反判断.
三、用反证法证明“唯一”性问题用反证法证明过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.思路分析假设过点A有两条直线与直线a平行,由平行公理推出与假设矛盾的结论.过平面α内的点A作直线a,使得a⊥α,求证直线a是唯一的.1.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,由于反设结论易于推出矛盾,所以用反证法证明唯一性就非常简单明了.2.用反证法证题时,一定要处理好推出矛盾这一步骤,因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发,导出矛盾的结果,因此如何导出矛盾,就成了关键所在,对于证题步骤,绝不可死记,而要具有全面扎实的基础知识,再灵活运用.1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可以把下列哪些作为条件使用,正确的序号是__________.
①结论的反设;
②已知条件;
③定义、公理、定理等;
④原结论.2.用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容应是__________.3.命题“a,b是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”用反证法证明时应假设为________.4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.
②所以一个三角形不能有两个直角.
③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为________.5.下列叙述正确的有__________.填序号
①“a>b”的反面是“a<b”;
②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.提示用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华技能要领答案活动与探究1解1证明假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,即a1+q2=a1·a11+q+q2,因为a1≠0,所以1+q2=1+q+q2,即q=0,这与公比q≠0矛盾,所以数列{Sn}不是等比数列.2当q=1时,{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列;假设当q≠1时数列{Sn}是等差数列,则2S2=S1+S3,即2a11+q=a1+a11+q+q2,得q=0,这与公比q≠0矛盾,所以当q≠1时数列{Sn}不是等差数列.迁移与应用证明假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=
1.因为ad-bc=1,所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0,即a+b2+c+d2+a-d2+b+c2=0,所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0,则a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾.故假设不成立,所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠
1.活动与探究2证明假设方程fx=0在区间[a,b]上至少有两个实根,设α,β为其中的两个实根.因为α≠β,不妨设α<β,又因为函数fx在[a,b]上是增函数,所以fα<fβ.这与假设fα=0=fβ矛盾,所以方程fx=0在区间[a,b]上至多有一个实根.迁移与应用证明假设与都大于等于2,即≥2,≥
2.因为x>0,y>0,所以1+y≥2x,
①1+x≥2y.
②①+
②得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾,所以假设不成立,所以与中至少有一个小于
2.活动与探究3证明假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a.因为b∥a,由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′=A矛盾,所以假设错误,原命题成立.迁移与应用证明假设这样的直线不唯一,则过点A至少还有一条直线b,使得b⊥α.∵直线a,b是相交直线,∴直线a,b可以确定一个平面β.设α和β相交于过点A的直线c.∵a⊥α,c⊂α,∴a⊥c.同理可得b⊥c.这样在平面β内,过点A就有两条直线垂直于c,这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,故假设错误,从而这样的直线a是唯一的.当堂检测1.
①②③2.≤成立3.a≠1或b≠1 解析“a=b=1”亦即“a=1且b=1”,所以其否定应为“a≠1或b≠1”.4.
③①②5.
② 解析
①不正确,“a>b”的反面是“a≤b”;
②正确;
③不正确,原命题的反面漏掉了“三角形的外心在三角形上”;
④不正确,原命题的反面为“最少有两个钝角”.。