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第8练函数性质的应用[基础保分练]1.2019·长春市普通高中检测下列函数中是偶函数,且在区间0,+∞上是减函数的是 A.y=|x|+1B.y=x-2C.y=-xD.y=2|x|2.已知函数fx是定义域为R的偶函数,且fx+1=,若fx在[-10]上是减函数,记a=flog
0.52,b=flog24,c=f
20.5,则 A.acbB.abcC.bcaD.bac3.已知函数fx是R上的偶函数,gx是R上的奇函数,且gx=fx-1,则f2019的值为 A.2B.0C.-2D.±24.已知函数fx在R上是单调函数,且满足对任意x∈R,都有f[fx-3x]=4,则f2的值是 A.4B.8C.10D.125.2018·安阳模拟已知函数fx满足
①对任意x1,x2∈0,+∞且x1≠x2,都有0;
②对定义域内任意x,都有fx=f-x,则符合上述条件的函数是 A.fx=x2+|x|+1B.fx=-xC.fx=ln|x+1|D.fx=cosx6.2018·赣州模拟定义在R上的偶函数fx满足fx+3=fx.若f21,f7=a,则实数a的取值范围为 A.-∞,-3B.3,+∞C.-∞,-1D.1,+∞7.2019·安徽省肥东县高级中学调研函数y=x3+ln-x的图象大致为 8.关于函数图象的对称性与周期性,有下列说法
①若函数y=fx满足fx+1=f3+x,则fx的一个周期为T=2;
②若函数y=fx满足fx+1=f3-x,则fx的图象关于直线x=2对称;
③函数y=fx+1与函数y=f3-x的图象关于直线x=2对称;
④若函数y=与函数fx的图象关于原点对称,则fx=.其中正确的个数是 A.1B.2C.3D.49.2018·郴州检测对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数fx=-x+3,gx=log2x,则函数hx=min{fx,gx}的最大值是________.10.已知函数fx是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R都有fx+4=fx+f2,f1=4,则f3+f10的值为________.[能力提升练]1.设函数fx是奇函数,对任意的实数x,y,有fx+y=fx+fy,且当x0时,fx0,则fx在区间[a,b]上 A.有最小值faB.有最大值faC.有最大值fD.有最小值f2.2019·珠海模拟设函数fx=x3ex-e-x,则不等式f1-xf2x的解集为 A.-∞,-1∪B.C.-10∪D.3.已知函数fx的定义域为R,且满足下列三个条件
①对任意的x1,x2∈
[48],当x1x2时,都有0;
②fx+4=-fx;
③y=fx+4是偶函数.若a=f6,b=f11,c=f2017,则a,b,c的大小关系正确的是 A.abcB.bacC.acbD.cba4.2019·安徽省肥东县高级中学调研已知fx是定义在R上的奇函数,满足f=f,当x∈时,fx=lnx2-x+1时,则函数fx在区间
[06]上的零点个数是 A.3B.5C.7D.95.定义一种运算a⊗b=令fx=3x2+6x⊗2x+3-x2,则函数fx的最大值为________.6.给出下列四个命题
①在同一坐标系中,y=log2x与y=x的图象关于x轴对称;
②y=log2是奇函数;
③y=的图象关于-21成中心对称;
④y=-x2+1的最大值为,其中正确的是__________.写上序号答案精析基础保分练1.B
2.A
3.B
4.C5.A [由题意得fx是偶函数,且在0,+∞上递增,对于A,f-x=fx,是偶函数,且x0时,fx=x2+x+1,f′x=2x+10,故fx在0,+∞上递增,符合题意;对于B,函数fx是奇函数,不合题意;对于C,由x+1≠0,解得x≠-1,定义域不关于原点对称,故函数fx不是偶函数,不合题意;对于D,函数fx在0,+∞上不单调,不合题意,故选A.]6.D
7.B8.C [在fx+1=f3+x中,以x-1代换x,得fx=f2+x,所以
①正确;设Px1,y1,Qx2,y2是y=fx图象上的两点,且x1=x+1,x2=3-x,有=2,由fx1=fx2,得y1=y2,即P,Q关于直线x=2对称,所以
②正确;函数y=fx+1的图象由y=fx的图象向左平移1个单位得到,而y=f3-x的图象由y=fx的图象关于y轴对称得y=f-x,再向右平移3个单位得到,即y=f-x-3=f3-x,于是y=fx+1与函数y=f3-x的图象关于直线x==1对称,所以
③错误;设Px,y是函数fx图象上的任意一点,点P关于原点的对称点P′-x,-y必在y=的图象上,有-y=,即y=,于是fx=,所以
④正确.]9.1
10.4能力提升练1.B [不妨设a≤x1x2≤b,则由fx+y=fx+fy,知fx-y=fx+f-y=fx-fy,所以fx1-fx2=fx1-x2=-fx2-x10,可得fx1fx2,所以fx在区间[a,b]上为减函数,所以fx在区间[a,b]上有最大值fa,故选B.]2.D [∵f-x=-x3e-x-ex=x3ex-e-x=fx,∴fx为偶函数,当x≥0时,y=x3≥0,y=ex-e-x≥0,且均为增函数,∴fx在0,+∞上连续且单调递增,在-∞,0上连续且单调递减,∴不等式f1-xf2x等价于|1-x||2x|,解得-1x,解集为,故选D.]3.B [根据题意,若对任意的x1,x2∈
[48],当x1x2时,都有0,则函数fx在区间
[48]上为增函数,若fx+4=-fx,则fx+8=-fx+4=fx,即函数fx的周期为
8.若y=fx+4是偶函数,则函数fx的图象关于直线x=4对称,a=f6,b=f11=f3=f5,c=f2017=f252×8+1=f1=f7,又由函数fx在区间
[48]上为增函数,则有bac.故选B.]4.D [∵fx是定义在R上的奇函数,满足f=f,∴f=f,可得fx+3=fx,函数fx的周期为3,∵当x∈时,fx=lnx2-x+1,令fx=0,则x2-x+1=1,解得x=0舍或1,又∵函数fx是定义域为R的奇函数,f0=0,∴在区间上,有f-1=-f1=0,f0=
0.由f=f,取x=0,得f=f,得f=f=0,∴f=f-1=f0=f1=f=0,又∵函数fx是周期为3的周期函数,∴方程fx=0在区间
[06]上的解有01,,234,,
56.共9个,故选D.]5.4解析 由题意,因为a⊗b=则fx=3x2+6x⊗2x+3-x2=当-≤x≤时,fx=3x2+6x=3x+12-3,可得fx在x=-1处取得最小值-3;在x=处取得最大值.当x或x-时,fx=2x+3-x2=-x-12+4,当x=1时,fx取得最大值
4.综上可知,fx的最大值为
4.6.
①②③解析 对于
①,由于y=logx=-log2x,则在同一坐标系中,y=log2x与y=logx的图象关于x轴对称,故
①正确;对于
②,y=log2,函数的定义域为{x|-1x1},因为f-x=-log2=-fx,所以函数是奇函数,
②正确;对于
③,因为y=-的对称中心为00,函数y=-向左平移2单位,向上平移1单位,得到y==1-的图象的对称中心-21,所以函数的图象关于-21成中心对称,所以
③正确;对于
④,y=-x2+1,因为-x2+1≤1,函数是偶函数,当x0时,函数是减函数,当x0时,函数是增函数,所以x=0时函数取得最小值,
④不正确;故答案为
①②③.。