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文本内容:
第1课时 平行直线学习目标
1.掌握空间中两条直线的位置关系,理解空间平行性的传递性.
2.理解并掌握基本性质4及等角公理.知识点一 基本性质41.文字表述平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.2.符号表达⇒a∥c.知识点二 等角定理思考 观察图,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答案 从图中可以看出,∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC+∠D′A′B′=180°.梳理 等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.知识点三 空间四边形顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.1.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则∠BAC=∠B′A′C′. × 2.没有公共点的两条直线是异面直线. × 3.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线. × 类型一 基本性质4的应用例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证四边形EFGH是平行四边形.解 在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,所以EF∥AB,EF=AB,同理GH∥DC,GH=DC.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD.所以EF∥GH,EF=GH.所以四边形EFGH是平行四边形.反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法1利用平行线的定义证明两条直线在同一平面内且无公共点.2利用基本性质4寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,根据基本性质4,显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.跟踪训练1 如图所示,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证四边形B1EDF是平行四边形.证明 设Q是DD1的中点,连接EQ,QC
1.∵E是AA1的中点,∴EQ綊A1D
1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1綊B1C1,∴EQ綊B1C1基本性质4.∴四边形EQC1B1为平行四边形,∴B1E綊C1Q.又∵Q,F是DD1,C1C的中点,∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形.∴C1Q綊DF,∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形.类型二 等角定理的应用例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证1四边形BB1M1M为平行四边形;2∠BMC=∠B1M1C
1.证明 1在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴A1M1綊AM,∴四边形AMM1A1是平行四边形,∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B,∴M1M綊B1B,∴四边形BB1M1M为平行四边形.2由1知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C
1.反思与感悟 有关证明角相等问题,一般采用下面三种途径1利用等角定理及其推论.2利用三角形相似.3利用三角形全等.本例是通过第一种途径来实现的.跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证1四边形MNA1C1是梯形;2∠DNM=∠D1A1C
1.证明 1如图,连接AC,在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C
1.∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MNA1C1是梯形.2由1可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,∴∠DNM=∠D1A1C
1.类型三 空间四边形的认识例3 如图,设E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ,求证1当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形;2当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形.证明 1∵==λ,∴EH∥BD,∴=λ.同理,GF∥BD,=μ.又∵λ=μ,∴EH=GF,∴EH綊GF.∴四边形EFGH是平行四边形.2由1知EH∥GF,又∵λ≠μ,∴EH≠GF.∴四边形EFGH是梯形.反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形,在解题时容易混淆,所以把相似的概念辨析一下,区分异同,有利于解题时不出错,如本例中明确给出了“空间四边形ABCD”,不包含平面四边形,说明“A,B,C,D四点必不共面”,不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的.跟踪训练3 已知空间四边形ABCD中,AB≠AC,BD=BC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系.解 由已知,得E,F不重合.设△BCD所在平面为α,则DF⊂α,A∉α,E∈α,E∉DF,所以AE与DF异面.1.直线a∥b,直线b与c相交,则直线a,c一定不存在的位置关系是 A.相交B.平行C.异面D.无法判断答案 B解析 如图,a与c相交或异面.2.下列四个结论中假命题的个数是
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.A.1B.2C.3D.4答案 B解析
①④均为假命题.
①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲时,c、d与异面直线l
1、l2交于四个点,此时c、d异面;当点A在直线l1上运动其余三点不动时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.3.下列结论正确的是 A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交答案 D解析 空间四边形的四个顶点不在同一平面上,所以它的对角线不相交,否则四个顶点共面,故选D.4.下面三个命题,其中正确的个数是
①三条相互平行的直线必共面;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③若四边形有一组对角都是直角,则这个四边形是圆的内接四边形.A.1B.2C.3D.0答案 D解析 空间中三条平行线不一定共面,故
①错;当把正方形沿对角线折成空间四边形,这时满足两组对边分别相等,也满足有一组对角都是直角,故
②、
③都错,故选D.5.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似答案 D解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故选D.1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它,它是我们培养空间想象能力的好工具.3.注意等角定理的逆命题不成立.
一、选择题1.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于 A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对答案 B解析 由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,故答案为B.2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面答案 D3.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是 A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行答案 D解析 等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB与O1B1有可能平行,也可能不在同一平面内,位置关系不确定.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是 A.相交B.异面C.平行D.垂直答案 C解析 如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是 A.正方形B.菱形C.矩形D.空间四边形答案 B解析 设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为,又D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.
6.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中如图,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不可能的是 A.l与AD平行B.l与AD不平行C.l与AC平行D.l与BD垂直答案 A解析 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1知,l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,所以l与AD不平行.7.长方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中,所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有 A.6条B.8条C.10条D.12条答案 B解析 所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB,BC,CD,DA,A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,共8条.8.异面直线a,b,有a⊂α,b⊂β且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是 A.c与a,b都相交B.c与a,b都不相交C.c至多与a,b中的一条相交D.c至少与a,b中的一条相交答案 D解析 若c与a,b都不相交,∵c与a在α内,∴a∥c.又c与b都在β内,∴b∥c.由基本性质4,可知a∥b,与已知条件矛盾.如图,只有以下三种情况.
二、填空题9.空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°,则β=________.答案 60°或120°10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系1直线A1B与直线D1C的位置关系是________;2直线A1B与直线B1C的位置关系是________;3直线D1D与直线D1C的位置关系是________;4直线AB与直线B1C的位置关系是________.答案 1平行 2异面 3相交 4异面11.a,b,c是空间中三条直线,下面给出几个说法
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交;
③若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线不可能平行.则上述说法中正确的为________.仅填序号答案
①解析 由基本性质4知
①正确.若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行,也可能相交或异面,
②错误;若平面α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∥l,b∥l,则a∥b,
③错误.
三、解答题
12.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.解 如图所示,在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
13.如图所示,两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′,BB′,CC′交于同一点O,且===.1证明AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′;2求的值.1证明 ∵AA′与BB′相交于O点,且=,∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.2解 ∵AB∥A′B′,AC∥A′C′且AB和A′B′,AC和A′C′的方向相反,∴∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′,因此△ABC∽△A′B′C′,又==.∴=2=.
四、探究与拓展
14.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 A.MN≥AC+BDB.MN≤AC+BDC.MN=AC+BDD.MNAC+BD答案 D解析 如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=AC,NE=BD,所以ME+NE=AC+BD.在△MNE中,有ME+NEMN,所以MNAC+BD.
15.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点.1证明四边形BCHG是平行四边形;2判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?1证明 由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC,∴四边形BCHG为平行四边形.2解 由BE綊AF,G为FA的中点知,BE綊FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.由1知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.。