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第1课时 直线与平面垂直学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义及性质.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题．知识点一 直线与平面垂直的定义及性质1直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线AB和一个平面α相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直．我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线AB平面α的垂线；平面α直线AB的垂面；点O垂足；线段AO点A到平面α的垂线段；线段AO的长点A到平面α的距离如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直知识点二 直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上BD，DC与桌面接触．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？答案 不一定．思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理 直线与平面垂直的判定定理及推论定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理条件一条直线与平面内的两条相交直线垂直，结论这条直线与这个平面垂直⇒a⊥α推论1条件两条平行直线中的一条垂直于一个平面，结论另一条直线也垂直于这个平面⇒m⊥α推论2条件两条直线垂直于同一个平面，结论这两条直线平行⇒l∥m1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行． × 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α. × 3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α. × 类型一 直线与平面垂直的判定例1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证BC⊥平面PAC.证明 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究 若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证AE⊥平面PBC.证明 由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤1在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直．2确定这个平面内的两条直线是相交的直线．3根据判定定理得出结论．跟踪训练1 如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．1求证SD⊥平面ABC；2若AB＝BC，求证BD⊥平面SAC.证明 1因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.2因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由1知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.类型二 线面垂直的性质的应用例2 如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证EF∥BD
1.证明 如图，连接AB1，B1C，BD，B1D
1.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD
1.同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD
1.反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练2 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证a∥l.证明 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.类型三 线面垂直的综合应用例3 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证MN⊥CD.证明 如图，取PD的中点E，连接AE，NE，因为N为PC的中点，则NE∥CD，NE＝CD，又因为AM∥CD，AM＝CD，所以AM∥NE，AM＝NE，即四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE.因为PA⊥矩形ABCD所在平面，所以PA⊥CD，又四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，所以MN⊥CD.反思与感悟 若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．跟踪训练3 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证1DF∥平面ABC；2AF⊥BD.证明 1取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE.又∵CD＝AE，∴FG∥CD，FG＝CD.∴FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.2在Rt△ABE中，∵AE＝AB，F为BE的中点，∴AF⊥BE.∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.∵AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，∴AE⊥CG，∴AE⊥DF.且AE∩AB＝A，∴DF⊥平面ABE，∵AF⊂平面ABE，∴AF⊥DF.∵BE∩DF＝F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD.1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是
①三角形的两边；
②梯形的两边；
③圆的两条直径；
④正六边形的两条边．A．
①③B．
②C．
②④D．
①②④答案 A解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于
①③图形所在的平面．而
②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 A．平行B．垂直C．相交D．不确定答案 B解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是 A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α答案 D解析 由直线与平面垂直的判定定理的推论1知，选项D正确．
4.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________．答案 垂直解析 ∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，故直线AB与CD确定一个平面．∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，又BD⊥EF，AB∩BD＝B，∴EF⊥平面ABDC.∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF.
5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证EF⊥平面BB1O.证明 ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.1．直线与平面垂直的判定方法1利用定义；2利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线．2．对于线面垂直的性质定理推论2的理解1直线与平面垂直的性质定理推论2给出了判定两条直线平行的另一种方法．2定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
一、选择题1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于 A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC答案 C解析 ∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC.2．直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是 A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β答案 D解析 若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b；若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c⊂β，则b⊥c，a∥c，于是b⊥a.故答案为D.3．已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是 A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交答案 C解析 如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC＝O，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD与AC异面，故选C.
4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定答案 B解析 易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC.
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点．现沿AE，AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B，C，D三点重合于点G，则下列结论中成立的是 A．AG⊥平面EFGB．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEFD．GH⊥平面AEF答案 A解析 ∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.6．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是 A．PEPGPFB．PGPFPEC．PEPFPGD．PFPEPG答案 C解析 由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PFPE，∴PGPFPE.7．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题
①PA⊥BC；
②PB⊥AC；
③PC⊥AB；
④AB⊥BC.其中正确的是 A．
①②③B．
①②④C．
②③④D．
①②③④答案 A解析 由PA，PB，PC两两垂直可得PA⊥平面PBC；PB⊥平面PAC；PC⊥平面PAB，所以PA⊥BC；PB⊥AC；PC⊥AB，
①②③正确．
④错误．因为若AB⊥BC，则由PA⊥平面PBC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PC⊥平面PAB，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾．
二、填空题8．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________________．答案 a与b相交9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.答案 90°解析 ∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M.又C1M⊂平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.
10.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．答案 4解析 ⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.11．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D
1.注填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形答案 BD⊥AC答案不唯一解析 要找底面四边形ABCD所满足的条件，使A1C⊥B1D1，可从结论A1C⊥B1D1入手．∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，∴A1C⊥BD.又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1⊂平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC.此题答案不唯一．
三、解答题
12.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证1MN∥AD1；2M是AB的中点．证明 1∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD
1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD
1.2连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊CD綊AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．13．如图所示，在△ABC中，∠ABC为直角，P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.解 因为CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，所以CB⊥平面APB.过M作ME∥CB，则ME⊥平面APB，所以ME⊥AB.若MN⊥AB，因为ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，所以AB⊥EN.取AB中点D，连接PD，因为PA＝PB，所以PD⊥AB，所以NE∥PD.又M为PC的中点，ME∥BC，所以E为PB的中点．因为EN∥PD，所以N为BD的中点，故当N为AB的四等分点AN＝3BN时，MN⊥AB.
四、探究与拓展14．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是 A.B．2C．3D．4答案 D解析 如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝
4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝
4.
15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．1求证C1D⊥平面AA1B1B；2当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明 1∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B
1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.2作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB
1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。
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