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第一章基本初等函数(Ⅱ)检测A时间:90分钟 满分:120分
一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1.若α=-6则角α的终边在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:α=-6≈-6×
57.30°=-
343.8°故角α的终边在第一象限.答案:A
2.若β∈[02π]且=sinβ-cosβ则β的取值范围是 A.B.C.D.解析:∵=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ∴sinβ≥0cosβ≤0又β∈[02π]∴β∈.答案:B
3.已知角α的终边经过点P-1则 A.cosα=-B.sinα+cosα=2C.tanα+cotα=1D.cosα+tanα=解析:因为x=y=-1r=2所以sinα=-cosα=tanα=-从而cosα+tanα=.答案:D
4.记cos-80°=k则tan100°等于 A.B.-C.D.-解析:由cos-80°=k得cos80°=k所以sin80°=于是tan100°=-tan80°=-=-.答案:B
5.已知a∈R函数fx=sinx-|a|x∈R为奇函数则a等于 A.0B.1C.-1D.±1解析:由fx=sinx-|a|x∈R为奇函数得f0=0可得|a|=0即a=
0.答案:A
6.已知函数fx=Acosωx+φ的图象如图所示f=-则f0= A.-B.-C.D.解析:由图象可知所求函数的周期为故ω=
3.将代入解析式得+φ=+2kπk∈Z所以φ=-+2kπk∈Z.令φ=-代入解析式得fx=Acos.因为f=-Asin=-所以f0=Acos=Acos.故选C.答案:C
7.函数y=Asinωx+φ的部分图象如图所示则该函数表达式为 A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin解析:易知A=2函数周期为T=25-1=8即=8所以ω=这时y=2sin.又函数图象过点12代入得φ=故所求函数解析式为y=2sin.答案:C
8.函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象 A.向右平移个单位长度得到B.向左平移个单位长度得到C.向右平移个单位长度得到D.向左平移个单位长度得到解析:由于y=cos3x=sin=sin因此应将函数y=cos3x图象向右平移个单位长度才能得到函数y=sin3x的图象.答案:A
9.给出下列三个条件:
①在区间上是增函数;
②最小正周期是π;
③是偶函数.同时满足以上三个条件的函数是 A.y=sinxB.y=2-cosxC.y=sin|x|D.y=|sinx|答案:D
10.函数fx=lgsin的一个单调递增区间为 A.B.C.D.解析:由sin0得sin0故π+2kπ2x-2π+2kπk∈Z.又fx=lgsin的单调递增区间即为sin在定义域内的单调递增区间即sin在定义域内的单调递减区间故π+2kπ2x-+2kπk∈Z化简得+kπx+kπk∈Z当k=0时x.故选C.答案:C
二、填空题本大题共5小题每小题5分共25分.把答案填在题中的横线上
11.函数y=tan的最小正周期是 . 解析:最小正周期是T==
2.答案:
212.计算:arcsin0+arcsin+arcsin+arcsin+arcsin1= . 解析:原式=0+.答案:
13.若fx=3cos是奇函数则φ的最小正值为 . 解析:依题意有φ-=kπ+k∈Z解得φ=kπ+k∈Z因此当k=0时φ取最小正值.答案:
14.函数y=sin2x+sinx-1的值域为 . 解析:y=sin2x+sinx-1=因为sinx∈[-11]所以y∈即值域为.答案:
15.若不等式tanxa在x∈时恒成立则实数a的取值范围是 . 解析:由于函数y=tanx在上单调递增因此tanx-1故要使不等式恒成立应有a≤-
1.答案:a≤-1
三、解答题本大题共5小题共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.8分已知cos=a|a|≤1求cos和sin的值.解:cos=cos=-cos=-a;sin=sin=cos=a.
17.8分若fx=-cos2x+cosx+m的最小值为5求其最大值.解:因为fx=-cos2x+cosx+m=-+m而-1≤cosx≤1所以当cosx=-1时fx取最小值-2+m即-2+m=5所以m=
7.因此当cosx=时fx取最大值+7=.
18.9分已知fx=sin2x+φ-πφ0y=fx图象的一条对称轴是直线x=.1求φ;2画出函数y=fx在区间[0π]上的图象.解:1∵x=是函数y=fx图象的一条对称轴∴sin=±1∴+φ=kπ+k∈Z.∵-πφ0∴φ=-.2由1得fx=sin.列表如下:x0πy--1010-故函数y=fx在区间[0π]上的图象如图所示.
19.10分已知函数fx=Asinωx+φx∈R的周期为π且图象上一个最低点为M.1求fx的解析式;2当x∈时求fx的最值.解:1由最低点为M得A=
2.由T=π得ω==
2.由点M在图象上得2sin=-2即sin=-1∴+φ=2kπ-k∈Z∴φ=2kπ-k∈Z.又φ∈∴φ=.∴fx=2sin.2∵x∈∴2x+.∴当2x+即x=0时fx取得最小值1;当2x+即x=时fx取得最大值.
20.10分已知函数fx=3sinω∈Zω0的最小正周期为T且满足T∈
13.1求ω的所有取值;2当ω取最小值时求函数fx的单调区间.解:1依题意得T=所以13即ω2π.因为ω∈Z且ω0所以ω的所有取值为
3456.2当ω=3时fx=3sin.令2kπ-≤3x+≤2kπ+k∈Z解得≤x≤k∈Z.令2kπ+≤3x+≤2kπ+k∈Z解得≤x≤k∈Z所以fx的单调递增区间是k∈Z单调递减区间是k∈Z.。