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2.1 函数及其表示【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的概念及其表示
1.了解函数、映射的概念会求一些简单的函数定义域和值域.
2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.2015浙江7函数的概念★★★分段函数及其应用了解简单的分段函数并能简单应用.2018浙江15分段函数及其应用函数的零点、不等式的解法★★★2015浙江文12分段函数及其应用函数的最值2014浙江15分段函数及其应用复合函数分析解读
1.考查重点仍为函数的表示法分段函数等基本知识点考查形式有两种一种是给出分段函数表达式求相应的函数值或相应的参数值例:2014浙江15题;另一种是定义一种运算给出函数关系式考查相关的数学知识例:2015浙江7题.
2.了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域能运用求值域的方法解决最值问题.
3.函数值域和最值是高考考查的重点常以本节内容为背景结合其他知识进行考查如解析式与函数最值相结合例:2015浙江7题.
4.函数的零点也是常考的知识点常常与不等式结合在一起考查例:2018浙江15题.
5.预计2020年高考试题中考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查复习时应重视.破考点【考点集训】考点一 函数的概念及其表示
1.2017浙江温州模拟2月10已知定义在实数集R上的函数fx满足fx+1=+则f0+f2017的最大值为 A.1-B.1+C.D.答案 B
2.2018浙江绍兴高三3月适应性模拟17已知a0函数fx=|x2+|x-a|-3|在区间[-11]上的最大值是2则a= . 答案 3或考点二 分段函数及其应用
1.2017浙江宁波二模5月6设fx=则函数y=ffx的零点之和为 A.0B.1C.2D.4答案 C
2.2018浙江台州高三期末质检8已知函数fx=若函数gx=fx-kx+1在-∞1]上恰有两个不同的零点则实数k的取值范围是 A.[13B.13]C.[23D.3+∞答案 A 炼技法【方法集训】方法1 求函数定义域的方法
1.2015湖北65分函数fx=+lg的定义域为 A.23B.24]C.23∪34]D.-13∪36]答案 C
2.已知函数fx的定义域为[-81]则函数gx=的定义域是 A.-∞-2∪-23]B.[-8-2∪-21]C.∪-20]D.答案 C 方法2 求函数解析式的方法 2017浙江名校镇海中学交流卷二16已知定义域和值域都为R的函数fx满足ffx+fy=2fx+4y-3则当x0时函数fx的取值范围是 . 答案 -1+∞方法3 求函数值域的方法
1.2018浙江杭州重点中学第一学期期中16若函数fx=-x2-2x+3x2+ax+b的图象关于直线x=-2对称则fx的值域为 . 答案 -∞16]
2.2017浙江宁波二模5月14定义:max{ab}=已知函数fx=max{|2x-1|ax2+b}其中a0b∈R.若f0=b则实数b的取值范围为 ;若fx的最小值为1则a+b= . 答案 [1+∞;1方法4 分段函数的相关处理方法
1.2017浙江模拟训练冲刺卷五11设函数fx=若f-4=f0f-2=-2则b+c= ;方程fx=x的所有实根的和为 . 答案 6;-
12.2018浙江新高考调研卷二镇海中学12已知函数fx=则f+f= 若fx=-1则x= . 答案 ;-1或±过专题【五年高考】A组 自主命题·浙江卷题组考点一 函数的概念及其表示 2015浙江75分存在函数fx满足:对于任意x∈R都有 A.fsin2x=sinxB.fsin2x=x2+xC.fx2+1=|x+1|D.fx2+2x=|x+1|答案 D 考点二 分段函数及其应用
1.2018浙江156分已知λ∈R函数fx=当λ=2时不等式fx0的解集是 .若函数fx恰有2个零点则λ的取值范围是 . 答案 14;13]∪4+∞
2.2015浙江文126分已知函数fx=则ff-2= fx的最小值是 . 答案 -;2-
63.2014浙江文154分设函数fx=若ffa=2则a= . 答案
4.2014浙江154分设函数fx=若ffa≤2则实数a的取值范围是 . 答案 -∞]
5.2016浙江1815分已知a≥3函数Fx=min{2|x-1|x2-2ax+4a-2}其中min{pq}=1求使得等式Fx=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;2i求Fx的最小值ma;ii求Fx在区间
[06]上的最大值Ma.解析 1由于a≥3故当x≤1时x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2+2a-12-x0当x1时x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x-2x-2a.所以使得等式Fx=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[22a].2i设函数fx=2|x-1|gx=x2-2ax+4a-2则fxmin=f1=0gxmin=ga=-a2+4a-2所以由Fx的定义知ma=min{f1ga}即ma=ii当0≤x≤2时Fx≤fx≤max{f0f2}=2=F2当2≤x≤6时Fx≤gx≤max{g2g6}=max{234-8a}=max{F2F6}.所以Ma=思路分析 1先分类讨论去掉绝对值符号再利用作差法求解;2分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值较大小的值就是这个函数的最大小值.
6.2015浙江1815分已知函数fx=x2+ax+bab∈R记Mab是|fx|在区间[-11]上的最大值.1证明:当|a|≥2时Mab≥2;2当ab满足Mab≤2时求|a|+|b|的最大值.解析 1证明:由fx=+b-得对称轴为直线x=-.由|a|≥2得≥1故fx在[-11]上单调所以Mab=max{|f1||f-1|}.当a≥2时由f1-f-1=2a≥4得max{f1-f-1}≥2即Mab≥
2.当a≤-2时由f-1-f1=-2a≥4得max{f-1-f1}≥2即Mab≥
2.综上当|a|≥2时Mab≥
2.2由Mab≤2得|1+a+b|=|f1|≤2|1-a+b|=|f-1|≤2故|a+b|≤3|a-b|≤3由|a|+|b|=得|a|+|b|≤
3.当a=2b=-1时|a|+|b|=3且|x2+2x-1|在[-11]上的最大值为2即M2-1=
2.所以|a|+|b|的最大值为
3.评析 本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识同时考查推理论证能力分析问题和解决问题的能力.B组 统一命题、省区、市卷题组考点一 函数的概念及其表示
1.2014山东35分函数fx=的定义域为 A.B.2+∞C.∪2+∞D.∪[2+∞答案 C
2.2014江西35分已知函数fx=5|x|gx=ax2-xa∈R.若f[g1]=1则a= A.1B.2C.3D.-1答案 A
3.2018江苏55分函数fx=的定义域为 . 答案 [2+∞
4.2016江苏55分函数y=的定义域是 . 答案 [-31]
5.2014四川155分以A表示值域为R的函数组成的集合B表示具有如下性质的函数φx组成的集合:对于函数φx存在一个正数M使得函数φx的值域包含于区间[-MM].例如当φ1x=x3φ2x=sinx时φ1x∈Aφ2x∈B.现有如下命题:
①设函数fx的定义域为D则“fx∈A”的充要条件是“∀b∈R∃a∈Dfa=b”;
②函数fx∈B的充要条件是fx有最大值和最小值;
③若函数fxgx的定义域相同且fx∈Agx∈B则fx+gx∉B;
④若函数fx=alnx+2+x-2a∈R有最大值则fx∈B.其中的真命题有 .写出所有真命题的序号 答案
①③④考点二 分段函数及其应用
1.2018课标全国Ⅰ文125分设函数fx=则满足fx+1f2x的x的取值范围是 A.-∞-1]B.0+∞C.-10D.-∞0答案 D
2.2017山东文95分设fx=若fa=fa+1则f= A.2B.4C.6D.8答案 C
3.2015湖北65分已知符号函数sgnx=fx是R上的增函数gx=fx-faxa1则 A.sgn[gx]=sgnxB.sgn[gx]=-sgnxC.sgn[gx]=sgn[fx]D.sgn[gx]=-sgn[fx]答案 B
4.2018江苏95分函数fx满足fx+4=fxx∈R且在区间-22]上fx=则ff15的值为 . 答案
5.2017课标全国Ⅲ文165分设函数fx=则满足fx+f1的x的取值范围是 . 答案 C组 教师专用题组考点一 函数的概念及其表示 2014江西25分函数fx=lnx2-x的定义域为 A.01B.
[01]C.-∞0∪1+∞D.-∞0]∪[1+∞答案 C 考点二 分段函数及其应用
1.2015课标Ⅱ55分设函数fx=则f-2+flog212= A.3B.6C.9D.12答案 C
2.2015山东105分设函数fx=则满足ffa=2fa的a的取值范围是 A.B.
[01]C.D.[1+∞答案 C
3.2014福建75分已知函数fx=则下列结论正确的是 A.fx是偶函数B.fx是增函数C.fx是周期函数D.fx的值域为[-1+∞答案 D 【三年模拟】
一、选择题每小题4分共16分
1.2019届金丽衢十二校高三第一次联考7设函数fx的定义域为D如果对任意的x∈D存在y∈D使得fx=-fy成立则称函数fx为“H函数”.下列为“H函数”的是 A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+exC.y=2xD.y=x2-2x答案 B
2.2019届浙江“七彩阳光”联盟期中7已知函数fx=且f=0则不等式fxm的解集为 A.B.C.D.-1+∞答案 C
3.2018浙江新高考调研卷二镇海中学8已知函数fx=+bcosx+x且满足f1-=3则f1+= A.2B.-3C.-4D.-1答案 D
4.2018浙江宁波模拟9已知a为正常数fx=若存在θ∈满足fsinθ=fcosθ则实数a的取值范围是 A.B.C.1D.答案 D
二、填空题单空题4分多空题6分共14分
5.2019届浙江温州高三适应性检测15已知函数fx=当λ=5时不等式fx-1的解集是 ;若函数fx的值域是R则实数λ的取值范围是 . 答案 -4-1∪8+∞;-∞-2]∪[2+∞
6.2018浙江金华十校第一学期期末调研16已知函数fx=的最小值为a+1则实数a的取值范围为 . 答案 {-2-2}∪[-11]
7.2018浙江诸暨高三上学期期末17已知ab∈Rfx=|2+ax+b|若对于任意的x∈
[04]fx≤恒成立则a+2b= . 答案 -2
三、解答题共30分
8.2017浙江金华十校调研20已知函数fx=1求f及x∈
[23]时函数fx的解析式;2若fx≤对任意的x∈03]恒成立求实数k的最小值.解析 1f=-f=f=×=.当x∈
[23]时x-2∈
[01]所以fx=[x-2-x-22]=x-23-x.2要使fx≤x∈03]恒成立只需k≥[xfx]maxx∈03]即可.当x∈01]时fx=x-x2则对任意的x∈01]xfx=x2-x
3.令hx=x2-x3则hxmax=h=;当x∈12]时xfx=-x[x-1-x-12]=xx-1·x-2≤0;当x∈23]时xfx=x[x-2-x-22]令x-2=t则t∈01]记gt=t+2t-t2t∈01].则gt=-3t2+2t-2令gt=0得t0=负值舍去故存在t0=使得函数gt在t=t0处取得最大值为.又所以当k≥时fx≤对任意的x∈03]恒成立故实数k的最小值为.
9.2018浙江镇海中学阶段性测试20已知函数fx=2x+bgx=x2+bx+cbc∈R对任意的x∈R恒有fx≤gx成立.1求证:gx0恒成立;2设b=0时记hx=x∈[2+∞求函数hx的值域;3若对满足条件的任意实数bc不等式gc-gb≤Mc2-b2恒成立求M的最小值.解析 1证明:fx≤gx恒成立即x2+b-2x+c-b≥0∴Δ=b-22-4c-b≤0∴b2-4c+4≤0∴b2-4c≤-40∴gx0恒成立.2∵b=0∴hx=由1知c≥
1.当1≤c≤4时hx在[2+∞上为增函数∴hx的值域为;当c4时hx在
[2]上为减函数在[+∞上为增函数∴hx的值域为[+∞.综上1≤c≤4时hx的值域为c4时hx的值域为[+∞.3由1推得b2-4c+4≤0∴4c-4b≥b2-4b+4=b-22≥0∴c-b≥0同理c+b≥0又gc-gb≤Mc2-b2即c+2bc-b≤Mc2-b2当c2=b2时c+2bc-b=0或-2b2∴M∈R;当c-b0且c+b0时M≥=1+恒成立∴只需求当cb0时的最大值即可而=∵1∴∴M≥即M的最小值为.。