还剩11页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2.8 函数模型及其综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及其综合应用
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.
2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2018浙江11函数模型及其综合应用解二元一次方程组★★★2014浙江17函数模型及其综合应用三角函数模型分析解读
1.函数模型及其综合应用是对考生综合能力和素质的考查主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.
2.考查函数思想方法的应用试题从实际出发结合三角函数、不等式、数列等知识加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现属中等难度题例:2017浙江17题.
3.预计函数模型及其综合应用在2020年高考中出现的可能性很大应高度重视.破考点【考点集训】考点 函数模型及其综合应用
1.2018河南商丘模拟12已知函数fx=-x3+1+a与gx=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点则实数a的取值范围是 A.[0e3-4]B.C.D.[e3-4+∞答案 A
2.2017江西九江七校联考20某店销售进价为2元/件的产品A该店产品A每日的销售量y单位:千件与销售价格x单位:元/件满足关系式y=+4x-62其中2x
6.1若产品A的销售价格为4元/件求该店每日销售产品A所获得的利润;2试确定产品A的销售价格使该店每日销售产品A所获得的利润最大.保留1位小数解析 1当x=4时y=+4×4-62=21此时该店每日销售产品A所获得的利润为4-2×21=42千元.2该店每日销售产品A所获得的利润fx=x-2·=10+4x-62x-2=4x3-56x2+240x-2782x6从而fx=12x2-112x+240=43x-10x-62x
6.令fx=0得x=易知在上fx0函数fx单调递增;在上fx0函数fx单调递减.所以x=是函数fx在26内的极大值点也是最大值点所以当x=≈
3.3时函数fx取得最大值.故当销售价格约为
3.3元/件时获得的利润最大.解题关键 解第2问的关键是建立利润关于销售价格的函数进而利用导数法确定最大值点.炼技法【方法集训】方法 函数应用题的解法
1.2018福建三明期末14物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0经过一定时间t后的温度是T则T-Ta=T0-Ta·其中Ta称为环境温度h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡放在24℃的房间中如果咖啡降到40℃需要20分钟那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时还需要 分钟. 答案
102.2017江苏南京、盐城一模18如图所示某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心其中AE=30米.活动中心东西走向与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD上半部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过
2.5米其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tanθ=.1若设计AB=18米AD=6米问能否保证题干中的采光要求2在保证题干中的采光要求的前提下如何设计AB与AD的长度可使得活动中心的截面面积最大注:计算中π取3解析 如图所示以点A为坐标原点AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.1因为AB=18米AD=6米所以半圆的圆心坐标为H96半径r=9米.设太阳光线所在直线方程为y=-x+b即3x+4y-4b=0则由=9解得b=24或b=舍.故太阳光线所在直线方程为y=-x+24令x=30得y=即EG=
1.5米
2.5米.所以此时能保证采光要求.2设AD=h米AB=2r米则半圆的圆心为Hrh半径为r.解法一:设太阳光线所在直线方程为y=-x+b即3x+4y-4b=0由=r解得b=h+2r或b=h-r舍故太阳光线所在直线方程为y=-x+h+2r令x=30得y=2r+h-由y≤得h≤25-2r所以S=2rh+πr2=2rh+r2≤2r25-2r+r2=-r2+50r=-r-102+250≤250当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG恰为
2.5米时活动中心的截面面积最大此时点G的坐标为
302.5设过点G的太阳光线所在直线为l1则l1的方程为y-=-x-30即3x+4y-100=
0.由直线l1与半圆H相切得r=.而点Hrh在直线l1的下方则3r+4h-1000即r=-从而h=25-2r.S=2rh+πr2=2r25-2r+r2=-r2+50r=-r-102+250≤250当且仅当r=10时取等号所以当AB=20米且AD=5米时活动中心的截面面积最大.过专题【五年高考】A组 自主命题·浙江卷题组 考点 函数模型及其综合应用
1.2018浙江116分我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一值钱五;鸡母一值钱三;鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只问鸡翁、母、雏各几何”设鸡翁鸡母鸡雏个数分别为xyz则当z=81时x= y= . 答案 8;
112.2017浙江174分已知a∈R函数fx=+a在区间
[14]上的最大值是5则a的取值范围是 . 答案
3.2014浙江174分如图某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB某目标点P沿墙面上的射线CM移动此人为了准确瞄准目标点P需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15mAC=25m∠BCM=30°则tanθ的最大值是 .仰角θ为直线AP与平面ABC所成角 答案 B组 统一命题、省区、市卷题组考点 函数模型及其综合应用
1.2017课标全国Ⅰ文95分已知函数fx=lnx+ln2-x则 A.fx在02上单调递增B.fx在02上单调递减C.y=fx的图象关于直线x=1对称D.y=fx的图象关于点10对称答案 C
2.2014湖南85分某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p第二年的增长率为q则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A.B.C.D.-1答案 D
3.2018天津文145分已知a∈R函数fx=若对任意x∈[-3+∞fx≤|x|恒成立则a的取值范围是 . 答案
4.2015四川135分某食品的保鲜时间y单位:小时与储藏温度x单位:℃满足函数关系y=ekx+be=
2.718…为自然对数的底数kb为常数.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时在22℃的保鲜时间是48小时则该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 答案
245.2014湖北145分设fx是定义在0+∞上的函数且fx0对任意a0b0若经过点afab-fb的直线与x轴的交点为c0则称c为ab关于函数fx的平均数记为Mfab.例如当fx=1x0时可得Mfab=c=即Mfab为ab的算术平均数.1当fx= x0时Mfab为ab的几何平均数; 2当fx= x0时Mfab为ab的调和平均数. 以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可答案 1 2x
6.2018江苏1714分某农场有一块农田如图所示它的边界由圆O的一段圆弧MPNP为此圆弧的中点和线段MN构成.已知圆O的半径为40米点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP要求AB均在线段MN上CD均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.1用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积并确定sinθ的取值范围;2若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶
3.求当θ为何值时能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析 本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.1设PO的延长线交MN于H则PH⊥MN所以OH=10米.过O作OE⊥BC于E则OE∥MN所以∠COE=θ故OE=40cosθ米EC=40sinθ米则矩形ABCD的面积为2×40cosθ40sinθ+10=8004sinθcosθ+cosθ平方米△CDP的面积为×2×40cosθ40-40sinθ=1600cosθ-sinθcosθ平方米.过N作GN⊥MN分别交圆弧和OE的延长线于G和K则GK=KN=10米.令∠GOK=θ0则sinθ0=θ0∈.当θ∈时才能作出满足条件的矩形ABCD所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为8004sinθcosθ+cosθ平方米△CDP的面积为1600cosθ-sinθcosθ平方米sinθ的取值范围是.2因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3所以设甲的单位面积的年产值为4k乙的单位面积的年产值为3kk
0.则年总产值为4k×8004sinθcosθ+cosθ+3k×1600cosθ-sinθcosθ=8000ksinθcosθ+cosθθ∈.设fθ=sinθcosθ+cosθθ∈.则fθ=cos2θ-sin2θ-sinθ=-2sin2θ+sinθ-1=-2sinθ-1sinθ+1令fθ=0得θ=当θ∈时fθ0所以fθ为增函数;当θ∈时fθ0所以fθ为减函数因此当θ=时fθ取到最大值.答:当θ=时能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.名师点睛 1用θ表示OE和EC就能求出矩形ABCD及△CDP的面积求定义域时抓住N、G关于OK对称得到∠GOK的正弦值从而求得sinθ的取值范围.2先构造函数再用导数求最值求导时交代θ的取值范围判断fθ的符号再确定fθ的单调性就能得到最大值从而解决问题.C组 教师专用题组考点 函数模型及其综合应用
1.2015北京85分汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程三辆车中甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下在该市用丙车比用乙车更省油答案 D
2.2014辽宁125分已知定义在
[01]上的函数fx满足:
①f0=f1=0;
②对所有xy∈
[01]且x≠y有|fx-fy||x-y|.若对所有xy∈
[01]|fx-fy|k恒成立则k的最小值为 A.B.C.D.答案 B
3.2017山东理155分若函数exfxe=
2.71828…是自然对数的底数在fx的定义域上单调递增则称函数fx具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①fx=2-x
②fx=3-x
③fx=x3
④fx=x2+2答案
①④
4.2015江苏1714分某山区外围有两条相互垂直的直线型公路为进一步改善山区的交通现状计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1l2山区边界曲线为C计划修建的公路为l如图所示MN为C的两个端点测得点M到l1l2的距离分别为5千米和40千米点N到l1l2的距离分别为20千米和
2.5千米以l2l1所在的直线分别为xy轴建立平面直角坐标系xOy假设曲线C符合函数y=其中ab为常数模型.1求ab的值;2设公路l与曲线C相切于P点P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式ft并写出其定义域;
②当t为何值时公路l的长度最短求出最短长度.解析 1由题意知点MN的坐标分别为
540202.
5.将其分别代入y=得解得2
①由1知y=5≤x≤20则点P的坐标为设在点P处的切线l交xy轴分别于AB点y=-则l的方程为y-=-x-t由此得AB.故ft==t∈
[520].
②设gt=t2+则gt=2t-.令gt=0解得t=
10.当t∈510时gt0gt是减函数;当t∈1020时gt0gt是增函数.从而当t=10时函数gt有极小值也是最小值所以gtmin=300此时ftmin=
15.答:当t=10时公路l的长度最短最短长度为15千米.评析 本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.【三年模拟】
一、填空题单空题4分多空题6分共16分
1.2019届镇海中学期中考试17设函数fx=若存在互不相等的4个实数x1x2x3x4使得====7则a的取值范围为 . 答案
6182.2018浙江重点中学12月联考11我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关初日健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关.”其大意:“有一个人走378里路第一天健步行走从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 答案
1923.2018浙江宁波高三上学期期末17如图在平面四边形ABCD中AB=BC=1AD=CD=∠DAB=∠DCB=90°点P为AD的中点MN分别在线段BDBC上则PM+MN的最小值为 . 答案
14.2018浙江嵊州高三质检17已知函数fx=x2+a-4x+1+|x2-ax+1|的最小值为则实数a的值为 . 答案
二、解答题共20分
5.2018浙江杭州高三5月模拟考试18中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一给人以美的享受.如图为一花窗中的一部分呈长方形长30cm宽26cm其内部窗芯不含长方形边框用一种条形木料做成由两个菱形和六根支条构成整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm窗芯所需条形木料的长度之和为Lcm.1试用xy表示L;2如果要求六根支条的长度均不小于2cm每个菱形的面积为130cm2那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料不计卯榫及其他损耗解析 1水平方向每根支条长为m==15-xcm竖直方向每根支条长为n==cm菱形的一条边长为=cm.所以L=215-x+4+8×=82+4-2x+y.2由题意得xy=130即y=由得≤x≤
13.所以L=82+4-
2.令t=x+求导得tx=1-.当≤x≤13时tx
0.故t=x+在上单调递减故t∈.所以L=82+4-2t其中定义域t∈.求导得Lt=2当t∈时Lt0所以L=82+4-2t在t∈上为增函数故当t=33即x=13y=20时L有最小值16+
4.所以做这样一个窗芯至少需要16+4cm长的条形木料.
6.2018浙江镇海中学阶段性测试20已知函数fx=|x2-2mx-n|mn∈R.1当n=3m2时讨论函数fx的单调性;2记函数fx在区间[-11]上的最大值为M若M≥k对任意的mn恒成立试求k的最大值.解析 1当n=3m2时fx=|x2-2mx-3m2|=|x+m·x-3m|函数y=x2-2mx-3m2的对称轴为直线x=m.故当m0时函数fx在区间-∞-m]上为减函数在区间[-mm]上为增函数在区间[m3m]上为减函数在区间[3m+∞上为增函数.当m=0时函数fx=x2在区间-∞0]上为减函数在区间[0+∞上为增函数.当m0时函数fx在区间-∞3m]上为减函数在区间[3mm]上为增函数在区间[m-m]上为减函数在区间[-m+∞上为增函数.2设gx=x2-2mx-n其对称轴为直线x=m.
①当|m|1时gx在区间[-11]上是单调函数则fx在区间[-11]上的最大值在两端点处取得故M应是f-1和f1中较大的一个.∴2M≥f1+f-1=|1-2m-n|+|1+2m-n|≥|1-2m-n-1+2m-n|=4|m|4∴M
2.
②当|m|≤1时gx在区间[-1m]上是减函数在区间[m1]上是增函数此时M=max{f-1fmf1}.由g-1-g1=1+2m-n-1-2m-n=4mg±1-gm=m∓12≥
0.i若-1≤m≤0∵gm≤g-1≤g1∴|g-1|≤max{|gm||g1|}.则M=max{|g1||gm|}≥|g1|+|gm|≥|g1-gm|=m-12≥.ii若0m≤1∵gm≤g1≤g-1∴|g1|≤max{|gm||g-1|}.则M=max{|g-1||gm|}≥|g-1|+|gm|≥|g-1-gm|=m+
12.故当|m|≤1时M≥.综合iii知对于任意的mn都有M≥.而当m=0n=时fx=在区间[-11]上的最大值为M=故M≥k对任意的mn恒成立的k的最大值为.。