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第2课时 直线与平面平行学习目标
1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.
2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.
3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题．知识点一 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a∥α知识点二 直线与平面平行的判定思考1 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD不落在α内和平面α有何位置关系？答案 平行．思考2 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答案 由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交．梳理 直线与平面平行的判定定理文字语言符号表示图形表示如果不在一个平面内一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行⇒l∥α知识点三 直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案 不一定，因为还可能是异面直线．思考2 如图，直线l∥平面α，直线l⊂平面β，平面α∩平面β＝直线m，满足以上条件的平面β有多少个？直线l，m有什么位置关系？答案 无数个，l∥m.梳理 直线与平面平行的性质定理文字语言符号表示图形表示如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行⇒l∥m1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α. × 2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行． × 3．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． × 类型一 直线与平面平行的判定例1 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ如图．求证PQ∥平面CBE.证明 方法一 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.∴＝，又AB＝CD，∴PM＝QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.方法二 如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝，又AD∥BK，∴＝，∴＝，∴PQ∥EK，又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.反思与感悟 证明直线与平面平行的两种方法1定义法证明直线与平面没有公共点，一般直接证明较为困难，往往借助于反证法来证明．2定理法平面外一条直线与平面内的一条直线平行．跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证EF∥平面AD1G.证明 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点知，EF∥BC
1.又AB綊A1B1綊D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD
1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.类型二 线面平行的性质的应用例2 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证截面MNPQ是平行四边形．证明 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．引申探究1．若本例条件不变，求证＝.证明 由例1知PQ∥AB，∴＝.又QM∥DC，∴＝，∴＝.2．若本例中添加条件AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．解 由例1知，四边形MNPQ是平行四边形，∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，∴四边形MNPQ的面积为5×4＝
20.反思与感悟 1利用线面平行的性质定理解题的步骤2运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．跟踪训练2 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．答案 解析 ∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴EF＝AC＝×2＝.类型三 线面平行的综合应用例3 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.1求证l∥BC；2MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．1证明 因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，且BC⊂平面PBC，所以BC∥l.2解 平行．证明如下如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.反思与感悟 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下线线平行线面平行线线平行．跟踪训练3 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证GH∥平面PAD.证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有 A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析 由直线与平面平行的判定定理知．EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是 A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交答案 B解析 ∵⇒CD∥α，∴直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 平行解析 ∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.
4.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.答案 解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.所以＝.所以EF＝＝＝.
5.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点．求证AF∥平面PCE.证明 如图，取PC的中点M，连接ME，MF，则FM∥CD且FM＝CD.又∵AE∥CD且AE＝CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，∴AF∥ME.又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.1．求证两直线平行有两种常用的方法一是应用基本性质4，证明时要充分应用好平面几何知识，如平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等．二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．求证角相等也有两种常用的方法一是应用等角定理，在证明的过程中常用到基本性质4，注意两角对应边方向的讨论．二是应用三角形全等或相似．3．利用直线与平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．4．利用线面平行的性质定理解题的步骤1确定或寻找一条直线平行于一个平面．2确定或寻找过这条直线且与这个平面相交的平面．3确定交线，由性质定理得出结论.
一、选择题1．若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是 A．平行B．相交C．b⊂βD．平行或相交答案 D解析 ∵a，b异面，且a⊂β，∴b⊄β，∴b与β平行或相交．
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则 A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能答案 B解析 因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3.P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论
①OM∥PD；
②OM∥平面PCD；
③OM∥平面PDA；
④OM∥平面PBA；
⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为 A．1B．2C．3D．4答案 C解析 由题意知，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.4．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线 A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内答案 B解析 如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．5．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α答案 D解析 l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．
6.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为 A.B．1C.D．2答案 B解析 如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，AD＝GE＝BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE∥DG，可得AE∥平面DB1C.7．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有 A．0条B．1条C．2条D．3条考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 C解析 ∵＝，∴EF∥AB.又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理，由＝，可证CD∥平面EFGH.∴与平面EFGH平行的直线有2条．
二、填空题8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．答案 平行解析 如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.又BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC.
9.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.答案 5解析 ∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝AB＋CD＝
5.
10.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．答案 平行解析 ∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，AC⊄平面A1B1C1D1，∴AC∥平面A1B1C1D
1.∵平面ACB1∩平面A1B1C1D1＝l，∴AC∥l.11．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析 如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE
1.
三、解答题12．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．解 如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊AB綊PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，所以PM∥平面BCE.13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证BD∥平面FGH.证明 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.
四、探究与拓展14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是 A．
①③B．
①④C．
②③D．
②④答案 B解析
①如图ⅰ，连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以
①正确．
②如图ⅱ，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以
②不满足题意．
③AB与平面PMN相交，不平行，所以
③不满足题意．
④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以
④正确．故答案为
①④.
15.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD.AB＝
4.BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．证明直线EE1∥平面FCC
1.证明 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF
1.∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1F⊂平面FCC1，∴平面FCC1即为平面C1CFF
1.∵AB＝4，CD＝2且AB∥CD，∴CD綊A1F1，∴A1F1CD为平行四边形，∴CF1∥A1D.又E，E1分别是棱AD，AA1的中点，∴EE1∥A1D，∴CF1∥EE1，又EE1⊄平面FCC1，CF1⊂平面FCC1，∴直线EE1∥平面FCC
1.。
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