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xx-2019学年高一数学上学期期中联考试卷含解析一.选择题(本大题共8小题,共40分)
1.设全集,则=A.B.2,C.2,6,D.2,4,6,8,【答案】C【解析】【分析】根据全集求出A的补集即可.【详解】∵,∴2,6,故选C【点睛】本题考查全集与补集的概念及运算,属于基础题.
2.若关于的一元二次方程没有实数根,则m的取值范围为 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系可判断.【详解】∵一元二次方程x2﹣4x+m=0没有实数根,∴△=16﹣4m<0,即m>4,故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布情况,属于基础题.
3.下列函数在区间上是增函数的是 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别根据函数的图象与性质判断函数的单调性即可.【详解】A.函数y=4﹣5x在R上单调递减,为减函数.B.函数y=log3x+1在(0,+∞)上单调递增,∴在区间(0,2)上是增函数,正确.C.函数y=x2﹣2x+3的对称轴为x=1,∴函数在(﹣∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴C错误.D.函数y=﹣2x,在R上单调递减,为减函数.故选B.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断,要熟练掌握常见函数的单调性.
4.下列函数中,为偶函数的是 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据熟知函数的性质及偶函数定义,逐一判断即可.【详解】对于A是一次函数,图象不关于y轴对称,∴不是偶函数;对于B是反比例函数,图象在一三象限,关于原点对称,奇函数,∴不是偶函数;对于C是二次函数,对称轴为y轴,图象关于y轴对称,∴是偶函数;对于D是幂函数,图象在一三象限,关于原点对称,奇函数,∴不是偶函数;故选C.【点睛】本题考查了对基本函数的图象及性质的运用,偶函数图象关于y轴对称性质,属于基础题.
5.函数的图象大致是 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】函数y=log2(x+1)的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的,由此可得结论.【详解】函数y=log2(x+1)的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的,定义域为(﹣1,+∞),过定点(0,0),在(﹣1,+∞)上是增函数,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质,函数图象的平移变换,属于基础题.
6.已知函数在区间上的最大值为3,则实数t的取值范围是 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的对称轴,判断开口方向,然后通过函数值求解即可.【详解】函数f(x)=x2﹣2x的对称轴为x=1,开口向上,而且f(﹣1)=3,函数f(x)=x2﹣2x在区间[﹣1,t]上的最大值为3,又f
(3)=9﹣6=3,则实数t的取值范围是(﹣1,3].故选D.【点睛】本题考查二次函数的性质以及应用,考查了数形结合的思想,考查逻辑推理能力.
7.已知函数的图像不经过第一象限,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的图象与性质,结合平移变换知识得到结果.【详解】∵y=的图象过(1,1)点,且在第
一、第二象限,单调递减,∴要使函数的图象经过第
一、
三、四象限,则.∴.故选C【点睛】本题考查指数函数的图象与性质及平移变换知识,是基础题.
8.已知函数,函数,若函数恰有3个零点,则b的取值范围是 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象,平行移动直线,观察公共点的个数即可得到结果.【详解】作出函数的图象,当直线,直线向下平移与函数的图象有三个交点,当直线设B(m,n),,有解得,n代入直线方程得到b=∴b的取值范围是故选D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;2分离参数法先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;3数形结合法先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
二、填空题(本大题共6小题,共30分)
9.如果,,那么=____.【答案】{x|5<x<7}【解析】【分析】直接利用交集运算求M∩N【详解】由M={x|x>5},N={x|x<7},则M∩N={x|x>5}∩{x|x<7}={x|5<x<7}.故答案为{x|5<x<7}.【点睛】本题考查了交集及其运算,属于基础题.
10.若幂函数的图象过点,则实数的值为_____.【答案】【解析】【分析】由题意可得,解出实数的值即可.【详解】∵幂函数的图象过点,∴,∴故答案为【点睛】本题考查幂函数的概念,考查指数幂的运算,属于基础题.
11.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据题意,由函数在(﹣∞,0)上的解析式可得f(﹣1)的值,又由函数为奇函数可得f
(1)=﹣f(﹣1),即可得答案.【详解】根据题意,当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(﹣1)=2×(﹣1)3+(﹣1)2=﹣1,又由函数为奇函数,则f
(1)=﹣f(﹣1)=1;故答案为1.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,注意利用奇偶性明确f
(1)与f(﹣1)的关系.
12.函数的单调递增区间是______.【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性,同增异减,得到答案.【详解】设u=x2+2x,在(﹣∞,1)上为减函数,在(1,+∞)为增函数,因为函数y=为减函数,所以的单调递增区间(﹣∞,1),故答案为(﹣∞,1),【点睛】复合函数的单调性对于复合函数y=f[gx],若t=gx在区间a,b上是单调函数,且y=ft在区间ga,gb或者gb,ga上是单调函数,若t=gx与y=ft的单调性相同同时为增或减,则y=f[gx]为增函数;若t=gx与y=ft的单调性相反,则y=f[gx]为减函数.简称同增异减.
13.若函数的定义域为,则的取值范围为__________.【答案】【解析】由题意得在上恒成立.
①当时,则恒成立,∴符合题意;
②当时,则,解得.综上可得,∴实数的取值范围为.答案点睛不等式的解是全体实数或恒成立的条件是当时,;当时,;不等式的解是全体实数或恒成立的条件是当时,;当时,.
14.关于实数的方程有解,则实数k的取值范围为___.【答案】【解析】【分析】方程有解等价于,解不等式组得到结果.【详解】方程有解,有∴,化为,即,解得0<k<1或k<﹣1.故k的取值范围是.【点睛】本题考查了对数的运算法则及对数方程的解法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.已知集合,,全集,求1;2.【答案】1(0,4)2【解析】【分析】
(1)化简集合A,根据交集的定义写出A∩B;
(2)根据补集与并集的定义写出(∁UA)∪B.【详解】
(1)集合A={x|2x﹣8<0}={x|x<4},B={x|0<x<6},∴A∩B={x|0<x<4};
(2)全集U=R,∴∁UA={x|x≥4},∴(∁UA)∪B={x|x>0}.【点睛】题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.
16.计算
(1);
(2)【答案】112【解析】【分析】
(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出;
(2)利用指数幂的运算法则即可得出.【详解】
(1)原式=﹣3=2﹣3=﹣1.原式.【点睛】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则,属于基础题.
17.已知函数.判断并证明函数在的单调性;当时函数的最大值与最小值之差为,求m的值.【答案】1单调增函数22【解析】【分析】
(1)直接利用函数的单调性的定义证明判断即可.
(2)利用
(1)的结果,求出函数的最值,列出方程求解即可.【详解】
(1)函数f(x)在[0,+∞)上是单调增函数.证明如下任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则因为x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,所以f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[0,+∞)上是单调增函数.
(2)由
(1)知f(x)在[1,m]递增,所以,即﹣=,所以m=2.【点睛】证明函数单调性的一般步骤
(1)取值在定义域上任取,并且(或);
(2)作差,并将此式变形(要注意变形到能判断整个式子符号为止);
(3)定号判断的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论;
(4)下结论根据定义得出其单调性.
18.某产品生产厂家生产一种产品,每生产这种产品(百台),其总成本为万元,其中固定成本为42万元,且每生产1百台的生产成本为15万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足,假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉,根据上述条件,完成下列问题写出总利润函数的解析式利润销售收入总成本;要使工厂有盈利,求产量的范围;工厂生产多少台产品时,可使盈利最大?【答案】12当产量大于100台,小于820台时,能使工厂有盈利3当工厂生产400台时,可使赢利最大为54万元.【解析】【分析】
(1)根据利润=销售收入﹣总成本,且总成本为42+15x即可求得利润函数y=f(x)的解析式.
(2)使分段函数y=f(x)中各段均大于0,再将两结果取并集.
(3)分段函数y=f(x)中各段均求其值域求最大值,其中最大的一个即为所求.【详解】解
(1)由题意得G(x)=42+15x.∴f(x)=R(x)﹣G(x)=.
(2)
①当0≤x≤5时,由﹣6x2+48x﹣42>0得x2﹣8x+7<0,解得1<x<7.所以1<x≤5.
②当x>5时,由123﹣15x>0解得x<
8.2.所以5<x<
8.2.综上得当1<x<
8.2时有y>0.所以当产量大于100台,小于820台时,能使工厂有盈利.
(3)当x>5时,∵函数f(x)递减,∴f(x)<f
(5)=48(万元).当0≤x≤5时,函数f(x)=﹣6(x﹣4)2+54,当x=4时,f(x)有最大值为54(万元).所以,当工厂生产400台时,可使赢利最大为54万元.【点睛】解决函数模型应用的解答题,还有以下几点容易造成失分
①读不懂实际背景,不能将实际问题转化为函数模型.
②对涉及的相关公式,记忆错误.
③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确地求解.含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值,分段后在各段讨论最值的情况.
19.已知函数.1当时,求的值;2若函数有正数零点,求满足条件的实数a的取值范围;3若对于任意的时,不等式恒成立,求实数x的取值范围.【答案】112
(3)【解析】【分析】
(1)根据表达式,直接求值即可;
(2)根据二次函数的性质列出不等式组得出a的取值范围;
(3)化简不等式得(2x+1﹣1)a+22x﹣2>0,令g(a)=(2x+1﹣1)a+22x﹣2(1≤a≤2),根据一次函数的性质列不等式组得出a的范围.【详解】1当时,,此时;
(2)函数有正数零点,只需,解得a≥1.
(3)f(2x+1)>3f(2x)+a化简得(2x+1﹣1)a+22x﹣2>0,因为对于任意的a∈A时,不等式f(2x+1)>3f(2x)+a恒成立,即对于1≤a≤2不等式(2x+1﹣1)a+22x﹣2>0恒成立,设g(a)=(2x+1﹣1)a+22x﹣2(1≤a≤2),∴,即∴解得2x>1,∴x>0,综上,满足条件的x的范围为(0,+∞).【点睛】本题考查了二次函数的性质,函数恒成立问题研究,属于中档题.
20.已知函数.1若函数为上的奇函数,求实数a的值;2当时,函数在为减函数,求实数a的取值范围;3是否存在实数,使得在闭区间上的最大值为2,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】123【解析】【分析】
(1)利用函数是奇函数定义,列出关系式,即可求出a的值;
(2)推出二次函数的性质,列出不等式求解即可;
(3)化简函数为分段函数,通过讨论a的范围,列出关系式求解即可.【详解】解
(1)因为奇函数f(x)定义域为R,所以f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立,即|﹣x|(﹣x﹣a)=﹣|x|(x﹣a),即|x|(﹣x﹣a+x﹣a)=0,即2a|x|=0对任意x∈R恒成立,所以a=0.因为,所以,显然二次函数的对称轴为,由于函数在上单调递减,所以,即∵a<0,,∴f(﹣1)=﹣1﹣a≤2,∴﹣a≤3(先用特殊值约束范围)∴,f(x)在(0,+∞)上递增,∴f(x)必在区间[﹣1,0]上取最大值2.当,即a<﹣2时,则f(﹣1)=2,a=﹣3,成立当,即0>a≥﹣2时,,则(舍)综上,a=﹣3.【点睛】本题考查分段函数以及二次函数的性质,考查转化思想以及计算能力.。