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文本内容:
xx-2019学年高一数学下学期第一次月考试题理IV
一、选择题(本大题共12小题,共
60.0分)
1.(1+i)(2+i)=( )A.B.C.D.
2.已知复数z=1-i(i是虚数单位),则—z2的共轭复数是( )A.B.C.D.
3.用三段论推理“任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0”,你认为这个推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的
4.用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时,应假设()A.或B.且C.D.
5.从含有甲乙的6名短跑运动员中任选4人参加米接力,问其中甲不能跑第一棒,且乙不能跑第四棒的概率是 A.B.C.D.
6.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )A.1B.2C.D.
7.已知某旅店有A,B,C三个房间,房间A可住3人,房间B可住2人,房间C可住1人,现有3个成人和2个儿童需要入住,为确保安全,儿童需由成人陪同方可入住,则他们入住的方式共有( )A.120种B.81种C.72种D.
278.我们知道在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=,通过类比的方法,可求得在空间中,点(2,4,1)到平面x+2y+2z+3=0的距离为( )A.3B.5C.D.
9.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为( ).A.B.7C.D.
2810.函数f(x)=的图象大致为( )A.B.C.D.
11.已知函数的定义域为,且满足是的导函数,则不等式的解集为 A.B.C.D.
12.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )A.B.C.D.1
二、填空题(本大题共4小题,共
20.0分)
13.若复数z满足z+i=,其中i为虚数单位,则|z|=______.
14.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a1=______.
15.若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是______.
16.学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下甲说“是C或D作品获得一等奖”;乙说“B作品获得一等奖”;丙说“A,D两项作品未获得一等奖”;丁说“是C作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是______.
三、解答题(本大题共6小题,共
70.0分)
17.已知复数z=(a2-4)+(a+2)i(a∈R)(Ⅰ)若z为纯虚数,求实数a的值;(Ⅱ)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数a的值.
18.已知式子(2x2+)5.(Ⅰ)求展开式中含的项;(Ⅱ)若(2x2+)5的展开式中各二项式系数的和比(+)n的展开式中的第三项的系数少28,求n的值.
19.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,
(1)求a2,a3,a4;
(2)猜想数列{an}的通项an,并证明你的结论.20已知二次函数的图像与直线 相切于点,
(1)求函数 的解析式;
(2)求由的图像、直线及直线所围成的封闭区域的面积.
21.设函数f(x)=lnx+a(1-x).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
22.设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
1.【答案】B解原式=2-1+3i=1+3i.故选B.
2.【答案】A解由复数z=1-i,得-z2==,所以-z2的共轭复数是1-3i.故选A.
3.【答案】A解∵任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0,大前提任何实数的绝对值大于0是不正确的,0的绝对值就不大于0.故选A.
4.【答案】B解用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时,应先假设x>0且y>0.故选B.
5.【答案】D【解析】解根据题意,从6名短跑运动员中任选4人参加4*100米接力,有A64=360种安排方法,其中甲跑第一棒的情况有A53=60种,乙跑第四棒的情况有A53=60种,“甲跑第一棒”与“乙跑第四棒”都包含了“甲跑第一棒,乙跑第四棒”,此时有A42=12种情况,则甲不能跑第一棒,且乙不能跑第四棒的安排方法有360-60-60+12=252种,则甲不能跑第一棒,且乙不能跑第四棒的概率P==.故选D.
6.【答案】B解设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又∵∴x0+a=1∴y0=0,x0=-1∴a=2.故选B.
7.【答案】D解由题意知三个大人一人一间,小孩在A、B两个房间排列有A33A22,三个大人一人一间,两个孩子在A住有种住法,空出C房间,两个大人住A,一个大人住B有种住法,两个大人住B有种住法,综上所述共有27种住法.故选D.
8.【答案】B【解析】解类比点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=,可知在空间中,点P(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离d=点(2,4,1)到平面x+2y+2z+3=0的距离d==5.故选B.类比点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=,可知在空间中,d==
59.【答案】B解依题意,,∴n=8.二项式为,其展开式的通项令解得k=
6.故常数项为.故选B.
10.【答案】B解函数f(x)=的定义域为当x>0时,函数f′(x)=,可得函数的极值点为x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B、D满足题意.当x<0时,函数f(x)=<0,选项D不正确,选项B正确.故选B.
11.【答案】B解设gx=xfx,则g′x=fx+xfx,∵fx+xfx>0,∴g′x>0,即gx在0+∞上为增函数,则不等式x-1fx2-1<fx+1等价为x-1x+1fx2-1<x+1fx+1,即x2-1fx2-1<x+1fx+1,即gx2-1<gx+1,∵gx在0+∞上为增函数,∴,即,解得1<x<2,故不等式的解集为12,
12.【答案】A解 函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1,可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1,x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,可得f′(-2)=(-4+a)e-3+(4-2a-1)e-3=0,即-4+a+(3-2a)=0,解得a=-1.可得f′(x)=(2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1,=(x2+x-2)ex-1,函数的极值点为x=-2,x=1,当x<-2或x>1时,f′(x)>0函数是增函数,x∈(-2,1)时,函数是减函数,x=1时,函数取得极小值f
(1)=(12-1-1)e1-1=-1.故选A.
13.【答案】解由z+i=,得=,则|z|=.故答案为.
14.【答案】-14解(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,通项公式为Tr+1=•(-2x)r,令r=1,得T2=•(-2x)=-14x,∴a1=-14.
15.【答案】[2,+∞)解∵f(x)=alnx-x,∴.又∵f(x)在(1,2)上单调递增,∴在x∈(1,2)上恒成立,∴a≥xmax=2,∴a的取值范围是[2,+∞).故答案为[2,+∞).
16.解若A为一等奖,则甲,丙,丁的说法均错误,故不满足题意,若B为一等奖,则乙,丙说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意,若C为一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意,若D为一等奖,则只有甲的说法正确,故不满足题意,所以若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B,故答案为B.
17.【答案】解(Ⅰ)若z为纯虚数,则a2-4=0,且a+2≠0,解得实数a的值为2;(Ⅱ)z在复平面上对应的点(a2-4,a+2),在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,解得a=-1.【解析】
18.【答案】解(Ⅰ)式子(2x2+)5的通项公式为Tr+1=•25-r•x10-3r,令10-3r=-2,求得r=4,故展开式中含的项为T5=×2×=.(Ⅱ)(+)n的展开式中的第三项为T3=•4•,由题意可得,25=×4-28,解得=15,∴n=6.
19.【答案】解
(1)∵数列{an}中,a1=1,当n≥2时,,∴a2=,a3=,a4=;
(2)猜想an=.∵当n≥2时,,∴=+,∴-=,∴数列{}是首项为1,公差为的等差数列,∴=,∴an=.
20.【答案】解:
(1)由得因为二次函数的图像与直线 相切于点所以即解得因此.
(2)作函数的图像、直线及直线的图象如下:则由的图像、直线及直线所围成的封闭区域的面积为;.
21.【答案】解(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1-x)的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=-a=,若a≤0,则f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,若a>0,则当x∈(0,)时,f′(x)>0,当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,(Ⅱ),由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f()=-lna+a-1,∵f()>2a-2,∴lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g
(1)=0,∴当0<a<1时,g(a)<0,当a>1时,g(a)>0,∴a的取值范围为(0,1).
22.【答案】解
(1)因为f(x)=(1-x2)ex,x∈R,所以f′(x)=(1-2x-x2)ex,令f′(x)=0可知x=-1±,当x<-1-或x>-1+时f′(x)<0,当-1-<x<-1+时f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增;
(2)由题可知f(x)=(1-x)(1+x)ex.下面对a的范围进行讨论
①当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,则h′(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,又因为h
(0)=1,所以h(x)≤1,所以f(x)=(1+x)h(x)≤x+1≤ax+1;
②当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,又g
(0)=1-0-1=0,所以ex≥x+1.因为当0<x<1时f(x)>(1-x)(1+x)2,所以(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=∈(0,1),则(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,所以f(x0)>ax0+1,矛盾;
③当a≤0时,取x0=∈(0,1),则f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1,矛盾;综上所述,a的取值范围是[1,+∞).。