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文本内容:
xx-2019学年高一数学下学期第一次月考试题文III
1、选择题(本大题共12小题,共
60.0分)
1.设复数z满足(1+i)Z=2i,则|z|=( )A.B.C.D.
22.已知下表所示数据的回归直线方程为,则实数a的值为( )x23456y3711a21A.16B.18C.20D.
223.复数z=的虚部为( )A.B.C.1D.
24.已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示x01234y
13.
55.578则y对x的回归直线方程=bx+a必过点( )A.B.C.D.
5.如图在图O内切于正三角形△ABC,则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=3•S△OBC,即,即h=3r,从而得到结论“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”;类比该结论到正四面体,可得到结论“正四面体的高等于它的内切球的半径的a倍”,则实数a=( )A.2B.3C.4D.
56.用反证法证明命题“己知a、b是自然数,若a+b≥3,则a、b中至少有一个不小于2”,提出的假设应该是( )A.a、b中至少有二个不小于2B.a、b中至少有一个小于2C.a、b都小于2D.a、b中至多有一个小于
27.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )A.B.C.D.
8.函数的图象向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标压缩为原来的,那么所得图象的一条对称轴方程为( )A.B.C.D.
9.极坐标方程2ρcos2θ-sinθ=0表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线
10.若>>0,有四个不等式
①a3<b3;
②loga+23>logb+13;
③-<;
④a3+b3>2ab2,则下列组合中全部正确的为( )A.B.C.D.
11.已知条件p;条件q,若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是().A.B.C.D.
12.下面几种推理是类比推理的是( )
①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°,得出所有三角形的内角和都是180°;
②由f(x)=cosx,满足f(-x)=f(x),x∈R,得出f(x)=cosx是偶函数;
③由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值,得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值.A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,共
20.0分)
13.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________
14.经过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质,可以得到椭圆+=1类似的性质为经过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为______.
15.在复平面内,复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,且z1=—1+i,则=______.
16.以下四个命题,其中正确的序号是____________
①从匀速传递的产品生产流水线上,每20分钟从中抽取一件产品进行检测,这样的抽样是分层抽样
②两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1
③在线性回归方程中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均增加
0.2个单位
④分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值为k,当k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大
三、解答题(本大题共6小题,共
70.0分)
17.
(1)复数m2-1+(m+1)i是实数,求实数m的值;
(2)复数的对应点位于第二象限,求实数x的取值范围.
18.已知数列{an}中,a1=3,a10=21,通项an是项数n的一次函数,
①求{an}的通项公式,并求axx;
②若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…,组成,试归纳{bn}的一个通项公式.
19.已知直线l(t为参数),曲线C1(θ为参数).
(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
(2)若把曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的3倍,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.
20.已知函数f(x)=|x+1|,
(1)解不等式f(x)≥2x+1;
(2)∃x∈R,使不等式f(x-2)-f(x+6)<m成立,求m的取值范围.
21.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,若直线l的极坐标方程为psin(θ-)=2.
(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程;
(2)已知P为椭圆C上一点,求P到直线l的距离的最小值.已知,且f
(2)=1.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若在数列{an}中,a1=1,,计算a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(Ⅲ)证明(Ⅱ)中的猜想.
22.答案和解析
1.【答案】C解∵(1+i)z=2i,∴(1-i)(1+i)z=2i(1-i),z=i+1.则|z|=.故选C.
2.【答案】B解由表中数据知,样本中心点的横坐标为=×(2+3+4+5+6)=4,由回归直线经过样本中心点,得=4×4-4=12,即=×(3+7+11+a+21)=12,解得a=18.故选B.
3.【答案】B解∵z==,∴复数z=的虚部为-3.故选B.
4.【答案】B解根据表中数据,计算=×(0+1+2+3+4)=2,=×(1+
3.5+
5.5+7+8)=5,∴回归直线方程=bx+a过样本中心点(2,5).故选B.
5.【答案】C解设正四面体的高为h,底面积为S,内切球的半径为r,则V==4,∴h=4r.故选C.
6.【答案】C解根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,应先假设命题的否定成立,而命题“己知a、b是自然数,若a+b≥3,则d、b中至少有一个不小于2”的否定为“a、b都小于2”,故选C.
7.【答案】B解要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(a2-1)(1-b2)≤0,只要证明(a2-1)(b2-1)≥0.故选B..
8.【答案】A解将函数的图象向左平移个单位,得到函数y=sin(x++)=cosx的图象,再将图象上各点的横坐标压缩为原来的,得到函数y=cos2x的图象,由2x=kπ,得x=kπ,k∈Z∴所得图象的对称轴方程为x=kπ,k∈Z,k=-1时,x=-
9.【答案】D
10.解极坐标方程2ρcos2θ-sinθ=0即2ρ2cos2θ-ρsinθ=0,化为直角坐标方程2x2-y=0,化为y=2x2,表示抛物线.故选D.
10.【答案】B解若>>0,则b>a>0,
①a3<b3,正确;
②令b=2,a=1,则loga+23=logb+13;故
②错误;
③由-<,得b+a-2<b-a,故a<,故a<b,成立,故
③正确;
④∵b>a>0,∴a2-2ab+b2>0,∴a2-ab+b2>ab(*).而a,b均为正数,∴a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),∴a3+b3>a2b+ab2成立.而2ab2>a2b+ab2,故
④不一定成立,故
④错误;故选B.
11.【答案】D解∵∴∴∴∵,p是q的充分不必要条件,∴∴.故选D.
12.【答案】C解
①为归纳推理,关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°,符合归纳推理的定义,即是由特殊到一般的推理过程;
②由f(x)=cosx,满足f(-x)=f(x),x∈R,得出f(x)=cosx是偶函数,是演绎推理;
③由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值,得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值,是类比推理.故选C.
13.【答案】[-1,]【解析】解|2x-1|+|x+2|=,∴x=时,|2x-1|+|x+2|的最小值为,∵不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,∴a2+a+2≤,∴a2+a-≤0,∴-1≤a≤,∴实数a的取值范围是[-1,].故答案为[-1,].
14.【答案】【解析】解类比过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,类比推理得过椭圆+=1(a>b>0),上一点P(x0,y0)处的切线方程为故答案由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2,我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程用x0x代x2,用y0y代y2,即可得.解∵复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,且z1=-1+i,则z2=1+i,∴=,故答案为i.
16.【答案】
②③解从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是系统抽样,故
①错误;两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0,故
②正确;在回归直线=
0.2x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均增加
0.2单位,故
③正确;对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越大,“X与Y有关系”的把握程度越大,故
④错误;故正确的命题是
②③,故答案为
②③.
17.【答案】解
(1)∵复数m2-1+(m+1)i是实数,∴m+1=0,解得m=-1.
(2)∵复数的对应点位于第二象限,∴,x≥0,解得0<x<1.∴实数x的取值范围为[0,1)..
18.【答案】解
①由题意,通项an是项数n的一次函数,设an=kn+b,当n=1时,a1=3,当n=10时,a10=21,解得k=2,b=1,所以通项an=2n+1,那么axx=2×xx+1=4019.
②由
①可知an=2n+1,则a2=2×2+1=5,a4=2×4+1=9,a6=2×6+1=13,a8=2×8+1=17…猜想bn=4n+1.
19.【答案】解
(1)由题意,消去参数t,得直线l的普通方程为,根据sin2θ+cos2θ=1消去参数,曲线C1的普通方程为x2+y2=1,联立得解得A(1,0),,∴|AB|=1.
(2)由题意得曲线C2的参数方程为(θ是参数),设点,∴点P到直线l的距离=,当时,.∴曲线C2上的一个动点它到直线l的距离的最大值为.
20.【答案】解
(1)当x+1≥0即x≥-1时,x+1≥2x+1,∴-1≤x≤0,当x+1<0即x<-1时,-x-1≥2x+1,∴x<-1,∴不等式的解集为{x|x≤0}…(5分)
(2)∵f(x-2)=|x-1|,f(x+6)=|x+7|,∴|x-1|-|x+7|<m,∵∃x∈R,使不等式|x-1|-|x+7|<m成立,∴m大于|x-1|-|x+7|的最小值,∴m>-8…(10分)(
21.【答案】解
(1)直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=2,整理得ρ(sinθcos-cosθsin)=ρsinθ-ρcosθ=2,即ρsinθ-ρcosθ=4,则直角坐标系中的方程为y-x=4,即x-y+4=0;
(2)设P(cosα,3sinα),∴点P到直线l的距离d==≥=2-,则P到直线l的距离的最小值为2-.
22.【答案】解(Ⅰ)因为,f
(2)=1,所以=1,解得 a=2. …(3分)(Ⅱ)在{an}中,因为a1=1,.所以,,,所以猜想{an}的通项公式为.…(7分)(Ⅲ)证明因为a1=1,,所以,即.所以是以为首项,公差为的等差数列.所以,所以通项公式.…(12分)。