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综合检测时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.命题“若ab,则a+1b”的逆否命题是 A.若a+1≤b,则abB.若a+1b,则abC.若a+1≤b,则a≤bD.若a+1b,则ab解析“若ab,则a+1b”的逆否命题为“若a+1≤b,则a≤b”,故选C.答案C2.函数y=x-ax-b在x=a处的导数为 A.abB.-aa-bC.0D.a-b解析∵y=x2-a+bx+ab,∴y′=2x-a+b,∴y′=2a-a+b=a-b.答案D3.过点P1,-3的抛物线的标准方程为 A.x2=y或x2=-yB.x2=yC.y2=-9x或x2=yD.x2=-y或y2=9x解析P1,-3在第四象限,所以抛物线只能开口向右或向下,设方程为y2=2pxp0或x2=-2pyp0代入P1,-3得y2=9x或x2=-y.答案D4.已知函数fx=x3-3x2-9x,则函数fx的单调递增区间是 A.39B.-∞,-1,3,+∞C.-13D.-∞,3,9,+∞解析∵fx=x3-3x2-9x,∴f ′x=3x2-6x-9=3x2-2x-3.令f ′x0知x3或x-
1.答案B5.已知双曲线-=1a0,b0的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.解析由题意得=,e2==1+=1+=.答案A6.设a,b,c均为正实数,则“ab”是“acbc”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析根据充分性和必要性的概念判断.因为a,b,c是正实数,所以ab等价于acbc,即“ab”是“acbc”的充要条件,故选C.答案C7.已知命题p∃x∈-∞,0,2x3x;命题q∀x∈R,fx=x3-x2+6的极大值为6,则下面选项中真命题是 A.綈p∧綈qB.綈p∨綈qC.p∨綈qD.p∧q解析由2x3x得x1,当x0时,x1,所以命题p为假命题.綈p为真,选B.答案B8.已知曲线y=x4+ax2+1在点-1,a+2处切线的斜率为8,则a= A.9B.6C.-9D.-6解析y′=4x3+2ax,由导数的几何意义知在点-1,a+2处的切线斜率k=y′=-4-2a=8,解得a=-
6.答案D9.双曲线-=1与椭圆+=1a0,mb0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形一定是 A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形解析双曲线的离心率e=,椭圆的离心率e=,由已知ee=1,即×=1,化简,得a2+b2=m
2.答案C
10.已知fx的导函数f ′x图象如图所示,那么fx的图象最有可能是图中的 解析∵x∈-∞,-2时,f ′x0,∴fx为减函数;同理fx在-20上为增函数,0,+∞上为减函数.答案A11.已知函数y=fx,数列{an}的通项公式是an=fnn∈N*,那么“函数y=fx在[1,+∞上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当函数y=fx在[1,+∞上单调递增,“数列{an}是递增数列”一定成立.当函数y=fx在
[12]上先减后增,且f1f2时,数列{an}也可以单调递增,因此“函数y=fx在[1,+∞上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件,故选A.答案A12.双曲线-=1a>0,b>0的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.13B.13]C.3,+∞D.[3,+∞解析由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|=4a,∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,∴6a≥2c,≤3,故双曲线离心率的取值范围是13],选B.答案B
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上13.函数fx=x3-3a2x+2aa0的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是________.解析∵f ′x=3x2-3a2=3x-ax+aa0,∴f ′x0时,得xa或x-a,f ′x0时,得-axa.∴当x=a时,fx有极小值,x=-a时,fx有极大值.由题意得解得a
1.答案1,+∞14.若命题“∃x∈R,使得x2+1-ax+10”是真命题,则实数a的取值范围是________.解析由题意可知,Δ=1-a2-40,解得a-1或a
3.答案-∞,-1∪3,+∞15.过抛物线C y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线准线的距离为4,则|AB|=________.解析设AxA,yA,BxB,yB,∵y2=4x,∴抛物线准线为x=-1,F10,又A到抛物线准线的距离为4,∴xA+1=4,∴xA=3,∵xAxB==1,∴xB=,∴|AB|=xA+xB+p=3++2=.答案
16.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.解析由双曲线的方程可知a=1,c=,∴||PF1|-|PF2||=2a=2,∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4,∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=2c2=8,∴2|PF1||PF2|=4,∴|PF1|+|PF2|2=8+4=12,∴|PF1|+|PF2|=
2.答案2
三、解答题本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.12分已知c0,设命题p函数y=cx为减函数.命题q当x∈时,函数fx=x+恒成立.如果p或q为真命题,p且q为假命题,求c的取值范围.解析由命题p为真知,0c1,由命题q为真知,2≤x+≤,要使此式恒成立,需2,即c,若p或q为真命题,p且q为假命题,则p、q中必有一真一假,当p真q假时,c的取值范围是0c≤;当p假q真时,c的取值范围是c≥
1.综上可知,c的取值范围是.18.12分已知函数fx=x3+ax2+bx+cx∈[-12],且函数fx在x=1和x=-处都取得极值.1求a,b的值;2求函数fx的单调递增区间.解析1∵fx=x3+ax2+bx+c,∴f′x=3x2+2ax+b.由题易知,解得2由1知,f′x=3x2-x-2=3x+2x-1,∵当x∈时,f′x0;当x∈时,f′x0;当x∈12]时,f′x
0.∴fx的单调递增区间为和12].19.12分已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.1若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;2若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.解析1因为直线l的倾斜角为60°,如图.所以其斜率k=tan60°=,又F,0.所以直线l的方程为y=x-.联立消去y得x2-5x+=
0.若设Ax1,y1,Bx2,y2.则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p.∴|AB|=5+3=
8.2设Ax1,y1,Bx2,y2,由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以M到准线的距离等于3+=.20.12分已知函数fx=·ex-f0·x+x2e是自然对数的底数.1求函数fx的解析式和单调区间;2若函数gx=x2+a与函数fx的图象在区间[-12]上恰有两个不同的交点,求实数a的取值范围.解析1由已知得f ′x=ex-f0+x,令x=1,得f ′1=f ′1-f0+1,即f0=
1.又f0=,所以f ′1=e.从而fx=ex-x+x
2.显然f ′x=ex-1+x在R上单调递增且f ′0=0,故当x∈-∞,0时,f ′x0;当x∈0,+∞时,f ′x
0.∴fx的单调递减区间是-∞,0,单调递增区间是0,+∞.2由fx=gx得a=ex-x.令hx=ex-x,则h ′x=ex-
1.由h ′x=0得x=
0.所以当x∈-10时,h ′x0;当x∈02时,h ′x
0.∴hx在-10上单调递减,在02上单调递增.又h0=1,h-1=1+,h2=e2-2且h-1h2.∴两个图象恰有两个不同的交点时,实数a的取值范围是.21.13分如图,已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为.1求椭圆C的标准方程;2已知点E30,设点P,Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求·的取值范围.解析1由离心率e==,得==.∴a=2b.
①∵原点O到直线AB的距离为,直线AB的方程为bx-ay+ab=0,∴=.
②将
①代入
②,得b2=9,∴a2=
36.则椭圆C的标准方程为+=
1.2∵EP⊥EQ,∴·=0,∴·=·-=2设Px,y,则y2=9-,∴·=2=x-32+y2=x2-6x+9+9-.=x-42+
6.∵-6≤x≤
6.∴6≤x-42+6≤81,则·的取值范围为
[681].22.13分在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数,如果放置4个网箱,则每个网箱的产量为16吨;如果放置7个网箱,则每个网箱的产量为10吨,由于该水域面积限制,最多只能放置10个网箱.1试问放置多少个网箱时,总产量Q最高?2若鱼的市场价为m万元/吨,养殖的总成本为5lnx+1万元.
①当m=
0.25时,应放置多少个网箱才能使总收益y最大?
②当m≥
0.25时,求使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合.解析1设p=ax+b,由已知得所以所以p=-2x+24,所以Q=px=-2x+24x=-2x-62+72x∈N*,x≤10,所以当x=6时,fx最大,即放置6个网箱时,可使总产量达到最大.2总收益为y=fx=-2x2+24xm-5lnx+1x∈N*,x≤10,
①当m=
0.25时,fx=-2x2+24x×-5lnx+1=-x2+6x-5lnx-1,所以f ′x=-,当1x5时,f ′x0,当5x10时,f ′x0,所以x=5时,函数取得极大值,也是最大值.所以应放置5个网箱才能使总收益y最大;
②当m≥
0.25时,fx=-2x2+24xm-5lnx+1,所以f ′x=,令f ′x=0,即-4mx2+24mx-5=0,因为m≥
0.25,所以Δ=16m36m-50,方程-4mx2+24mx-5=0的两根分别为x1=3-,x2=3+,因为m≥
0.25,所以x1≤
1.5≤x26,所以当x∈1,x2时,f ′x0,当x2x10时,f ′x0,所以x=x2时,函数取得极大值,也是最大值.所以使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为{56}.。