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xx-2019学年高二数学12月月考试题文IV本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分满分150分,考试时间120分钟请在答题卷上作答
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知p∀x∈R,ax2+2x+30,如果p是真命题,那么a的取值范围是 A.aB.0a≤C.a≤D.a≥
2.已知条件p x-3或x1,条件q xa,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是 A.a≥-1B.a≤1C.a≥1D.a≤-
33.设椭圆+=1ab0的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若|BF2|=|F1F2|=2,则该椭圆的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+y2=1D.+y2=
14.已知双曲线-=1a0,b0,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点,O是坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为 A.B.C.D.
5.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A,4,则|PA|+|PM|的最小值是 A.B.4C.D.
56.设函数fx在定义域内可导,y=fx的图象如图所示,则导函数y=f′x的图象可能为
7.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点,则·等于 A.-3B.-C.-或-3D.±
8.抛物线y=2x2上两点Ax1,y
1、Bx2,y2关于直线y=x+m对称,且x1·x2=-,则m等于 A.B.2C.D.
39.设函数gx=xx2-1,则gx在区间
[01]上的最小值为 A.-1B.0C.-D.
10.已知函数fx=ax3-3x2+1,若fx存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 A.2,+∞B.1,+∞C.-∞,-2D.-∞,-
111.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 A.[0,B.[,C.,]D.[,π
12.已知F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P是双曲线上一点,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是 A.1B.C.2D.第II卷非选择题(共90分)
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.命题“某些平行四边形是矩形”的否定是__________________________________.
14.已知fx=x3+x2f′1+3xf′-1,则f′1+f′-1的值为________.
15.已知fx=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上最大值就是函数fx的极大值,则m的取值范围是________.
16.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为________.
三、解答题本大题共6小题,共70分
17.(10分)已知p∀x∈R2x>mx2+1,q∃x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.
18.(12分)已知抛物线y2=-x与直线y=kx+1相交于A,B两点.1求证OA⊥OB;2当△AOB的面积等于时,求k的值.
19.(12分)设函数fx=ax-,曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为7x-4y-12=
0.1求fx的解析式;2证明曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
20.(12分)已知p x2-8x-20≤0;q1-m2≤x≤1+m
2.1若p是q的必要条件,求m的取值范围;2若p是q的必要不充分条件,求m的取值范围.
21.(12分)椭圆+=1ab0与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且⊥O为坐标原点.1求证+等于定值;2若椭圆的离心率e∈[,],求椭圆长轴长的取值范围.
22.(12分)如图,抛物线的顶点在坐标原点,圆x2+y2=4x的圆心是抛物线的焦点,直线l过抛物线的焦点且斜率为2,直线l交抛物线和圆依次于A,B,C,D四点.1求抛物线的方程;2求|AB|+|CD|的值.答案解析
1.C【解析】 p∃x0∈R,ax+2x0+3≤0,显然当a=0时,满足题意;当a0时,由Δ≥0,得0a≤;当a0时,满足题意.所以a的取值范围是.
2.C【解析】 ∵p是q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件,∴a≥1,故选C.
3.A【解析】∵|BF2|=|F1F2|=2,∴a=2c=2,∴a=2,c=1,∴b=,∴椭圆的方程为+=
1.
4.C【解析】设右焦点为Fc0,则Mc,,Nc,-.又OM⊥ON,故c2-=0,即b2=ac,从而c2-a2=ac,即e2-e-1=0,解得e=负值舍去,故选C.
5.C【解析】设抛物线y2=2x的焦点为F,则F,0,又点A,4在抛物线的外侧,抛物线的准线方程为x=-,则|PM|=d-,又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,∴|PA|+|PM|≥.故选C.
6.D【解析】应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象.
7.B【解析】不妨设l过椭圆的右焦点10,则直线l的方程为y=x-
1.由消去y,得3x2-4x=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=,x1x2=0,∴·=x1x2+y1y2=x1x2+x1-1x2-1=2x1x2-x1+x2+1=-+1=-.
8.A【解析】由条件得Ax1,y
1、Bx2,y2两点连线的斜率k==-1,而y2-y1=2-,
①得x2+x1=-,
②且,在直线y=x+m上,即=+m,即y2+y1=x2+x1+2m,
③又因为Ax1,y
1、Bx2,y2两点在抛物线y=2x2上,所以有2+=x2+x1+2m,即2[x2+x12-2x2x1]=x2+x1+2m,
④把
①②代入
④整理得2m=3,解得m=.故选A.
9.C【解析】gx=x3-x,由g′x=3x2-1=0,解得x1=,x2=-舍去.当x变化时,g′x与gx的变化情况如下表所以当x=时,gx有最小值g=-.
10.C【解析】显然a=0时,函数有两个不同的零点,不符合.当a≠0时,由f′x=3ax2-6x=0,得x1=0,x2=.当a0时,函数fx在-∞,0,上单调递增,在上单调递减,又f0=1,所以函数fx存在小于0的零点,不符合题意;当a0时,函数fx在,0,+∞上单调递减,在上单调递增,所以只需f0,解得a-2,所以选C.
11.D【解析】∵y=,∴y′=.令ex+1=t,则ex=t-1且t1,∴y′==-.再令=m,则0m1,∴y′=4m2-4m=4m-2-1,m∈01.容易求得-1≤y′0,∴-1≤tanα0,得π≤απ.
12.A【解析】方法一 设|PF1|=d1,|PF2|=d2,由双曲线的定义可知|d1-d2|=
4.又∠F1PF2=90°,于是有+=|F1F2|2=20,因此,=d1d2=+-|d1-d2|2=
1.方法二 由-y2=1,知|F1F2|=
2.设P点的纵坐标为yP,由于∠F1PF2=90°,则P在以|F1F2|为直径的圆上,即在x2+y2=5上.由消去x,得|yP|=.故△F1PF2的面积S=|F1F2|·|yP|=
1.
13.每一个平行四边形都不是矩形
14.-【解析】∵f′x=3x2+2f′1x+3f′-1,∴由
①②得f′-1=-,f′1=.∴f′-1+f′1=-.
15.[-4,-2]【解析】f′x=m-2x,令f′x=0,得x=.由题设得∈[-2,-1],故m∈[-4,-2].
16.3【解析】双曲线的左焦点为F1-20,将直线AB方程y=x+2代入双曲线方程,得8x2-4x-13=
0.显然Δ>0,设Ax1,y1,Bx2,y2,∴x1+x2=,x1x2=-,∴|AB|=·=×=
3.
17.解 2x>mx2+1可化为mx2-2x+m<
0.若p∀x∈R2x>mx2+1为真,则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;当m≠0时,有∴m<-
1.若q∃x0∈R,+2x0-m-1=0为真,则方程x2+2x-m-1=0有实根,∴4+4m+1≥0,∴m≥-
2.又p∧q为真,故p、q均为真命题.∴∴-2≤m<-
1.
18.1证明由方程组消去x得ky2+y-k=0,设Ax1,y1,Bx2,y2.由根与系数的关系知y1y2=-
1.因为A,B在抛物线y2=-x上,所以=-x1,=-x2,=x1x2,因为kOA·kOB=·===-1,所以OA⊥OB.2解设直线AB与x轴交于点N,显然k≠0,所以点N的坐标为-10,因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON||y1-y2|,所以S△OAB=·1·=,因为S△OAB=,所以=,解得k=±.
19.解 1由7x-4y-12=0得y=x-
3.当x=2时,y=,∴f2=,
①又f′x=a+,∴f′2=,
②由
①,
②得解之得.故fx=x-.2设Px0,y0为曲线上任一点,由y′=1+知,曲线在点Px0,y0处的切线方程为y-y0=1+x-x0,即y-x0-=1+x-x0.令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,-.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为2x02x0.所以点Px0,y0处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|-||2x0|=
6.故曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为
6.
20.解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,即p-2≤x≤10,q1-m2≤x≤1+m
2.1若p是q的必要条件,则即即m2≤3,解得-≤m≤,即m的取值范围是[-,].2∵p是q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件.即两个等号不同时成立,即m2≥9,解得m≥3或m≤-
3.即m的取值范围是{m|m≥3或m≤-3}.
21.解 1椭圆的方程可化为b2x2+a2y2-a2b2=
0.由消去y,得a2+b2x2-2a2x+a21-b2=
0.由Δ=4a4-4a2+b2·a2·1-b20,得a2+b
21.设Px1,y1,Qx2,y2,则x1+x2=,x1x2=.∵⊥,∴x1x2+y1y2=0,即2x1x2-x1+x2+1=0,即-+1=0,∴a2+b2=2a2b2,即+=
2.∴+等于定值.2∵e=,∴b2=a2-c2=a2-a2e
2.又∵a2+b2=2a2b2,∴2-e2=2a21-e2,即a2==+.∵≤e≤,∴≤a2≤,即≤a≤,∴≤2a≤,即椭圆长轴长的取值范围是[,].
22.解 1由圆的方程x2+y2=4x,即x-22+y2=4可知,圆心为20,半径为2,又由抛物线的焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为F20,抛物线的方程为y2=8x.2|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,∵|BC|为已知圆的直径,∴|BC|=4,则|AB|+|CD|=|AD|-
4.设Ax1,y1,Dx2,y2,∴|AD|=|AF|+|FD|=x1+x2+4,由已知可知,直线l的方程为y=2x-2,由消去y,得x2-6x+4=0,∴x1+x2=6,∴|AD|=6+4=10,因此|AB|+|CD|=10-4=
6.。