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xx-2019学年高二数学12月月考试题理无答案III
一、选择题每小题5分,共60分1.已知a,b∈R,则“lnalnb”是“ab”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.与向量a=1,-32平行的一个向量的坐标是 A.,11B.-1,-32C.-,,-1D.,-3,-23.已知α,β为互不重合的平面,m,n为互不重合的直线,给出下列四个命题
①若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;
②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;
④若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.其中所有正确命题的序号是 A.
①③B.
②④C.
①④D.
③④4.若命题p∀x∈-,,tanxsinx,则命题非p A.∃x0∈-,,tanx0≥sinx0B.∃x0∈-,,tanx0sinx0C.∃x0∈-,,tanx0≤sinx0D.∃x0∈-∞,-∪,+∞,tanx0sinx05.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为 A.B.2C.4D.86.若双曲线-=1的渐近线与圆x-32+y2=r2r0相切,则r= A.B.2C.3D.
67.下列有关命题的说法正确的是A.命题“若,则”的否命题为“若,则”B.命题“若,则”的逆否命题为真命题C.命题“存在使得”的否定是“对任意均有”D.“”是“”的必要不充分条件8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若,,则下列向量中与相等的向量是A.B.C.D.9.如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为A1B
1、CC1的中点,P为AD上一动点,记α为异面直线PM与D1N所成的角,则α的集合是 A.{}B.{α|≤α≤}C.{α|≤α≤}D.{α|≤α≤}10.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1ab0上的一点,若·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为 A.B.C.D.11.对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,有如下关系6=+2+3,则 A.四点O、A、B、C必共面B.四点P、A、B、C必共面C.四点O、P、B、C必共面D.五点O、P、A、B、C必共面12.已知二面角α-l-β的平面角为θ,点P在二面角内,PA⊥α,PB⊥β,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A,B到棱l的距离为x,y,当θ变化时,点x,y的轨迹是 A.x2-y2=9x≥0B.x2-y2=9x≥0,y≥0C.y2-x2=9y≥0D.y2-x2=9x≥0,y≥0
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上
13.已知命题“使”,若命题是假命题,则实数的取值范围是____14.以为中点的抛物线的弦所在直线方程为________.15.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设P到此抛物线准线的距离为d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是________.
16.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为________.
三、解答题写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分17(本小题满分10分)已知命题p∀x∈R,cos2x+sinx+a≥0,命题q∃x∈R,ax2-2x+a0,命题p∨q为真,命题p∧q为假.求实数a的取值范围.18.12分如图,已知ABCD-A′B′C′D′是平行六面体,1化简++,并在图中标出其结果;2设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.(18题图)19.12分如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.1证明平面PQC⊥平面DCQ;2求二面角Q-BP-C的余弦值.(19题图)
20、已知椭圆C+=1ab0的一个顶点为A20,离心率为.直线y=kx-1与椭圆C交于不同的两点M、N.1求椭圆C的方程;2当△AMN的面积为时,求k的值.
21.如图,在四面体中,平面平面,,,.(Ⅰ)若,,求四面体的体积;(Ⅱ)若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.22.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的焦点在y轴上,且抛物线上的点Px04到焦点F的距离为
5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B两点.1求抛物线C的标准方程,及抛物线在P点处的切线方程;2若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M,N两点M,N位于直线l两侧,当四边形AMBN为菱形时,求直线l的方程.第Ⅰ卷选择题,共60分题号123456789101112答案ACACCABAADBB
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.[-30]
14.
15.
16.
三、解答题写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分
17.由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2sinx-2-,因为sinx∈[-11],所以当sinx=-1时,2sin2x-sinx-1max=2,所以命题p a≥2,由命题q得当a≤0时显然成立;当a0时,需满足Δ=4-4a20,解得0a1所以命题q a1因为命题p∨q为真,命题p∧q为假,所以命题p和q一真一假若命题p真q假,则a≥2;若命题p假q真,则a1综上,实数a的取值范围是-∞,1∪[2,+∞.以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.1812分1如图8,取AA′的中点E,D′F=2FC′,=++.2=+=+=+++=++,∴α=,β=,γ=.
19.1证明依题意有Q110,C001,P020,则=110,=001,=1,-10.所以·=0,·=
0.即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQDC,所以平面PQC⊥平面DCQ.2依题意有B101,=100,=-12,-1.设n=x,y,z是平面PBC的法向量,则即因此可取n=0,-1,-2.设m是平面PBQ的法向量,则可取m=111,所以cos〈m,n〉=-.故二面角Q-BP-C的余弦值为-.
20.解1由题意得解得b=,所以椭圆C的方程为+=
1.2由得1+2k2x2-4k2x+2k2-4=
0.设点M,N的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则y1=kx1-1,y2=kx2-1,x1+x2=,x1x2=,所以|MN|===.又因为点A20到直线y=kx-1的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=.由=,化简得7k4-2k2-5=0,解得k=±
1.
21.(I)解如答
(21)图1,设F为AC的中点,由于AD=CD,所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=.在Rt△ABC中,因AC=2AF=,AB=2BC,由勾股定理易知故四面体ABCD的体积(II)解法一如答
(19)图1,设G,H分别为边CD,BD的中点,则FG//AD,GH//BC,从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.设E为边AB的中点,则EF//BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB.又由(I)有DF⊥平面ABC,故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角,由题设知∠DEF=60°设在从而因Rt△ADE≌Rt△BDE,故BD=AD=a,从而,在Rt△BDF中,,又从而在△FGH中,因FG=FH,由余弦定理得因此,异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二如答
(19)图2,过F作FM⊥AC,交AB于M,已知AD=CD,平面ABC⊥平面ACD,易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM,FC,FD分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系F—xyz.不妨设AD=2,由CD=AD,∠CAD=30°,易知点A,C,D的坐标分别为显然向量是平面ABC的法向量.已知二面角C—AB—D为60°,故可取平面ABD的单位法向量,使得设点B的坐标为,有易知与坐标系的建立方式不合,舍去.因此点B的坐标为所以从而故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为
22.解1依题意设抛物线C x2=2pyp0,因为点P到焦点F的距离为5,所以点P到准线y=-的距离为
5.因为Px04,所以由抛物线准线方程可得=1,p=
2.所以抛物线的标准方程为x2=4y.即y=x2,所以y′=x,点P±44,所以y′|x=-4=×-4=-2,y′|x=4=×4=
2.所以点P-44处抛物线切线方程为y-4=-2x+4,即2x+y+4=0;点P44处抛物线切线方程为y-4=2x-4,即2x-y-4=
0.P点处抛物线切线方程为2x+y+4=0或2x-y-4=
0.2设直线l的方程为y=2x+m,Ax1,y1,Bx2,y2,联立,消y得x2-8x-4m=0,Δ=64+16m
0.所以x1+x2=8,x1x2=-4m,所以=4,=8+m,即AB的中点为Q48+m.所以AB的垂直平分线方程为y-8+m=-x-4.因为四边形AMBN为菱形,所以M0,m+10,M,N关于Q48+m对称,所以N点坐标为N8,m+6,且N在抛物线上,所以64=4×m+6,即m=10,所以直线l的方程为y=2x+
10.。