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xx-2019学年高二数学上学期期末模拟试题
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设命题p x>0,x﹣lnx>0,则¬p为( )A.x>0,x﹣lnx≤0B.x>0,x﹣lnx<0C.x0>0,x0﹣lnx0>0D.x0>0,x0﹣lnx0≤02.(5分)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O,如图,建立空间直角坐标系,则与共线的向量的坐标可以是( )A.B.C.D.4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知2a1+a13=﹣9,则S9=( )A.﹣27B.27C.﹣54D.545.(5分)过点(2,﹣2)且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=16.(5分)下列函数中,最小值为4的是( )A.y=log3x+4logx3B.y=ex+4e﹣xC.y=sinx+(0<x<)D.y=x+7.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.8.(5分)已知等比数列{an}中,a2=2,则其前三项和S3的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣2]B.(﹣∞,0)∪(1,+∞)C.[6,+∞)D.(﹣∞,﹣2]∪[6,+∞)9.(5分)60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为( )A.B.C.D.10.(5分)设{an}为等差数列,若,且它的前n项和Sn有最小值,那么当Sn取得最小正值时的n值为( )A.18B.19C.20D.2111.(5分)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则这个椭圆的离心率是( )A.﹣1B.2﹣C.D.12.(5分)设数列{an}的前n项和Sn,若+++…+=4n﹣4,且an≥0,则S100等于( )A.5048B.5050C.10098D.10100
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知命题p x2+2x﹣3>0,命题q x>a,若q是p的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .14.(5分)如图,正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,则•=_______15.(5分)已知正项等比数列{an}的公比为2,若,则的最小值等于 .16.(5分)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C(x+1)2+(y﹣6)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知向量=(1,0,1),=(0,1,1),向量﹣k与垂直,k为实数.(I)求实数k的值;(II)记=k,求向量﹣与﹣的夹角.18.(12分)已知数列{an}是等比数列,首项a1=1,公比q>0,其前n项和为Sn,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)设p集合A={x|x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)<0},q集合B={x|<0}.(I)求集合A;(II)当a<1时,p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,E为PD中点,AD=2.(Ⅰ)求证平面AEC⊥平面PCD.(Ⅱ)若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小满足cos=,求四棱锥P﹣ABCD的体积.21.(12分)近年来,某地雾霾污染指数达到重度污染级别.经环保部门调查,该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因.某科研单位进行了科技攻关,将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品.已知该项目每年投入资金3000万元,设每年处理工厂废气量为x万升,每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c(x)万元,其中c(x)=.设该单位的年利润为f(x)(万元).(I)求年利润f(x)(万元)关于处理量x(万升)的函数表达式;(II)该单位年处理工厂废气量为多少万升时,所获得的利润最大,并求出最大利润?22.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为,离心率为,经过其左焦点F1的直线l交椭圆C于P、Q两点.(I)求椭圆C的方程;(II)在x轴上是否存在一点M,使得恒为常数?若存在,求出M点的坐标和这个常数;若不存在,说明理由.参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.解因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“x>0,x﹣lnx>0”的否定是x>0,x﹣lnx≤0.故选D.
2、解若方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线,则mn>0,即“mn>0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的充要条件,故选C.
3、解由图形可知,B1点在正方体的上底面上,设正方体的棱长为1,∴B1点的坐标是(1,1,1)则与共线的向量的坐标可以是故选C.4.解∵等差数列{an}的前n项和为Sn,2a1+a13=﹣9,∴3a1+12d=﹣9,∴a1+4d=﹣3,∴S9==9(a1+4d)=﹣27.故选A.5.解设所求双曲线方程为﹣y2=,把(2,﹣2)代入方程﹣y2=,解得=﹣2.由此可求得所求双曲线的方程为.故选A.
6、B.7.解直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,如图BC的中点为O,连结ON,,则MN0B是平行四边形,BM与AN所成角就是∠ANO,∵BC=CA=CC1,设BC=CA=CC1=2,∴CO=1,AO=,AN=,MB===,在△ANO中,由余弦定理可得cos∠ANO===.故选C.8.解∵等比数列{an}中,a2=2,∴其前三项和S3=,当q>0时,S3=≥2+2=6;当q<0时,S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2.∴其前三项和S3的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[6,+∞).故选D.9.解∵60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,∴=,∵AB=4,AC=6,BD=8,∴2=()2=+2=36+16+64+2×6×8×cos120°=68.∴CD的长为||=2.故选B.10.解∵Sn有最小值,∴d>0,故可得a10<a11,又S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0,S19=19a10<0,∴S20为最小正值,故选C.11.解∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点,∴△PF1F2为直角三角形,且∠P=90°,∵∠PF1F2=2∠PF2F1,∴∠PF1F2=60°,F1F2=2c,∴PF1=c,PF2=c,由椭圆的定义知,PF1+PF2=c+c=2a,即==﹣1∴离心率为﹣1.故选A.12.解当n=1时,=0,则a1=0.当n≥2时,+++…++=4n﹣4,
①+++…+=4n﹣8,
②由
①﹣
②得到=4,∵an≥0,∴an=2n,∴数列{an}是等差数列,公差是2,综上所述,an=,∴S100=a1+a2+a3++…+a100=0+×(100﹣1)=10098.故选C.13.解由x2+2x﹣3>0得x>1或x<﹣3,若q是p的充分不必要条件,∵q x>a,∴a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞),故答案为[1,+∞).
14、解∵正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,∴•=(+)•=•+•=×1×1×+×1×1×=,
15、解正项等比数列{an}的公比为2,若,可得(a1•2m﹣1)(a1•2n﹣1)=4(2a1)2,即有m﹣1+n﹣1=4,则m+n=6,可得=(m+n)()=(2+++)≥(+2)=×=.当且仅当m=2n=4时取得等号,则的最小值为.故答案为.16.解抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线方程为y=﹣1,如图所示利用抛物线的定义知|MP|=|MF|,当A,M,P三点共线时,|MA|+|MF|的值最小.即CM⊥x轴,此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6,故答案为6.
17、解(Ⅰ)∵;∴;∵与垂直;∴;∴k=2;(Ⅱ)由(Ⅰ),;∴,;记向量与的夹角为θ,则;∵0≤θ≤π;∴.18.解
(1)因为S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列,所以2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),所以(S3﹣S1)+(S3﹣S2)+2a3=a1+a2,所以4a3=a1,因为数列{an}是等比数列,所以,又q>0,所以,所以数列{an}的通项公式.
(2)由
(1)知,,,所以,=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n,=.故.
19、解(Ⅰ)由x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)<0得(x﹣2a)[x﹣(a+1)]<0,
①若2a<a+1,即a<1时,2a<x<a+1,此时A=(2a,a+1),
②若2a=a+1,即a=1时,不等式无解,此时A=∅,
③若2a>a+1,即a>1时,a+1<x<2a,此时A=(a+1,2a).综上略(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a<1时,A=(2a,a+1),B={x|<0}={x|﹣1<x<3}=(﹣1,3),p是q的充分不必要条件,即A⊊B,则,即,则﹣≤a≤2,∵a<1,∴﹣≤a<1,则实数a的取值范围是[﹣,1).20.(Ⅰ)证明取AD中点为O,BC中点为F,由侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,得PO⊥平面ABCD,故FO⊥PO,又FO⊥AD,则FO⊥平面PAD,∴FO⊥AE,又CD∥FO,则CD⊥AE,又E是PD中点,则AE⊥PD,由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD,又AE平面AEC,故平面AEC⊥平面PCD;(Ⅱ)解如图所示,建立空间直角坐标系O﹣xyz,令AB=a,则P(0,0,),A(1,0,0),C(﹣1,a,0).由(Ⅰ)知=()为平面PCE的法向量,令=(1,y,z)为平面PAC的法向量,由于=(1,0,﹣),=(2,﹣a,0)均与垂直,∴,解得,则,由cosθ=||=,解得a=.故四棱锥P﹣ABCD的体积V=SABCD•PO=•2••=2.
21、解(I)0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640,∴f(x)=;(II)0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,x=32时,f(x)max=f
(32)=92;x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣(2x+)≤400,当且仅当2x=,即x=60时,f(x)max=f
(60)=400,∵400>92,∴该单位年处理工厂废气量为60万升时,所获得的利润最大,最大利润为400万元.
22、解(I)设椭圆C的方程为.由题意,得,解得,所以b2=2.(3分)所求的椭圆方程为.(4分)(II)由(I)知F1(﹣1,0).假设在x轴上存在一点M(t,0),使得恒为常数.
①当直线l与x轴不垂直时,设其方程为y=k(x+1),P(x1,y1)、Q(x2,y2).由得(2+3k2)x2+6k2x+(3k2﹣6)=0.所以,.(6分)=(x1﹣t)(x2﹣t)+y1y2=(x1﹣t)(x2﹣t)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2﹣t)(x1+x2)+k2+t2==.因为是与k无关的常数,从而有,即.(9分)此时.(10分)
②当直线l与x轴垂直时,此时点P、Q的坐标分别为,当时,亦有.(11分)综上,在x轴上存在定点,使得恒为常数,且这个常数为.(12分)。