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xx-2019学年高二数学上学期期末考试试卷文II班级座号姓名
一、选择题本题共12个小题,每小题5分,共60分,每题只有一个正确答案,把答案填在答题卷相应的题号上.1.在数列112358,x213455,…中,x的值为 A.11B.12C.13D.
142.若0,则下列结论不正确的是 A.a2b2B.abb2C.a+b0D.|a|+|b||a+b|
3.椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为 A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=4,b=2,sin2A=sinB,则边c的长为 A.2B.3C.4D.2或
45.在数列{an}中,“an=2an-1,n=234,…”是“{an}是公比为2的等比数列”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数fx=x3-ax2+4在区间
[02]上单调递减,则 A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0a37.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=.若a2sinC=4sinA,a+c2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 A.B.2C.3D.
8.已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是 A.3B.4C.5D.
69.对于R上可导的任意函数fx,若满足≤0,则必有 A.f0+f2>2f1B.f0+f2≤2f1C.f0+f2<2f1D.f0+f2≥2f
110.若θ∈,则y=+的取值范围为 A.[6,+∞B.[10,+∞C.[12,+∞D.[16,+∞11.若fx=xm+ax的导函数为f′x=2x+1,则数列n∈N*的前n项和为 A.B.C.D.
12.已知直线l1,l2是双曲线C-y2=1的两条渐近线,点P是双曲线C上一点,若点P到渐近线l1距离的取值范围是,则点P到渐近线l2距离的取值范围是 A.B.C.D.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸的相应位置.
13.某校今年计划招聘女教师a名,男教师b名,若a,b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名,则x=________.
14.已知fx=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________.15.已知函数fx与f′x的图象如图所示,则函数gx=的单调递减区间为________16.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1a0,b0的右支与焦点为F的抛物线x2=2pyp0交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题本大题共6个小题,共70分.解答应写文17.本小题10分已知等差数列{an}的各项均为正数,其公差为2,a2a4=4a3+
1.1求{an}的通项公式;2求a1+a3+a9+…+a3n.18.本小题12分已知函数fx=x2-2ax-1+a,a∈R.1若a=2,试求函数y=x0的最小值;2对于任意的x∈
[02],不等式fx≤a成立,试求a的取值范围.
19.本小题12分已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2=λab.1若λ=,B=,求sinA;2若λ=4,AB边上的高为,求C.
20.本小题12分设fx=ax-52+6lnx,其中a∈R,曲线y=fx在点1,f1处的切线与y轴相交于点06.1确定a的值;2求函数fx的单调区间与极值.21.本小题12分已知抛物线C y2=2px过点P11.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.1求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;2求证A为线段BM的中点.
22.已知函数fx=xlnx.1求函数fx的极值点;2设函数gx=fx-ax-1,其中a∈R,求函数gx在区间[1,e]上的最小值其中e为自然对数的底数.
1.解析选C 观察所给数列的项,发现从第3项起,每一项都是与它相邻的前两项的和,所以x=5+8=13,故选C.
2.解析选C 由|x||y|,x2y2未必能推出xy,排除A,B;由可推出xy,反之,未必成立,而x3y3是xy的充要条件,故选C.
3.[解析]选C.由条件可知b=c=,a=2,所以椭圆的标准方程为+=
1.故选C.
4.解析选D 由sin2A=sinB,得2sinAcosA=sinB,由正弦定理得2×4cosA=2,所以cosA=.再由余弦定理得cosA=,解得c=2或c=
4.故选D.
5.解析选B 当an=0时,也有an=2an-1,n=234,…,但{an}不是等比数列,因此充分性不成立;当{an}是公比为2的等比数列时,有=2,n=234,…,即an=2an-1,n=234,…,所以必要性成立.故选B.
6.解析选A 因为函数fx=x3-ax2+4在区间
[02]上单调递减,所以f′x=3x2-2ax≤0在
[02]上恒成立.当x=0时,显然成立,当x≠0时,a≥x在02]上恒成立.因x≤3,所以a≥
3.综上,a≥
3.
7.解析选A 由正弦定理得a2c=4a,所以ac=4,且a2+c2-b2=12-2ac=4,代入面积公式得=.
8.解析选B 由题意知ab=1,∴m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2a+b≥4=4,当且仅当a=b=1时取等号.
9.解析选A 当x<1时,f′x<0,此时函数fx单调递减,当x>1时,f′x>0,此时函数fx单调递增,∴当x=1时,函数fx取得极小值同时也取得最小值,所以f0>f1,f2>f1,则f0+f2>2f1.10选D.∵θ∈,∴sin2θ,cos2θ∈01,∴y=+=sin2θ+cos2θ=10++≥10+2=16,当且仅当=,即θ=时等号成立,∴y=+的取值范围为[16,+∞.故选D.
11.解析选A 因为fx=xm+ax,所以f′x=mxm-1+a.又因为f′x=2x+1,所以m=2,a=1,所以fn=n2+n=nn+1,所以==-,所以数列的前n项和为++…+=++…+=1-=.故选A.
12.解析选A 设点Px0,y0,由题可设渐近线l1x-2y=0,渐近线l2x+2y=0,由点P到直线l1的距离d1=,点P到直线l2的距离d2=,有d1d2=·=,又-y=1,即x-4y=4,则d1d2=,则d2=,由d2与d1成反比,且d1∈,所以d2∈.故选A.
13.答案
1314.解析由题意得f′x=3x2+6ax+b,则解得或经检验当a=1,b=3时,函数fx在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-
7.答案-
715.解析选D g′x==,令g′x0,即f′x-fx0,由题图可得x∈01∪4,+∞.故函数gx的单调递减区间为01,4,+∞.故选D.
16.[答案y=±x设Ax1,y1,Bx2,y2,由抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,由|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,得y1+y2=p.联立消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=,所以=p,即=,故=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
17.解1依题意知,an=a1+2n-1,an
0.因为a2a4=4a3+1,所以a1+2a1+6=4a1+4+1,所以a+4a1-5=0,解得a1=1或a1=-5舍去,所以an=2n-
1.2a1+a3+a9+…+a3n=2×1-1+2×3-1+2×32-1+…+2×3n-1=2×1+3+32+…+3n-n+1=2×-n+1=3n+1-n-
2.
18.解1依题意得y===x+-
4.因为x0,所以x+≥
2.当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以y≥-
2.所以当x=1时,y=的最小值为-
2.2因为fx-a=x2-2ax-1,所以要使得“∀x∈
[02],不等式fx≤a成立”,只要“x2-2ax-1≤0在
[02]恒成立”.不妨设gx=x2-2ax-1,则只要gx≤0在
[02]上恒成立即可.所以即解得a≥.则a的取值范围为.
19.解1由已知B=,a2+b2=ab,结合正弦定理得4sin2A-2sinA+1=
0.解得sinA=.因为0A,所以sinA,所以sinA=.2由题意可知S△ABC=absinC=c2,得absinC=a2+b2-2abcosC=4ab-2abcosC.化简,得sinC+cosC=2,即sin=
1.又因为C+,所以C+=,解得C=.
20.[解] 1因为fx=ax-52+6lnx,所以f′x=2ax-5+.令x=1,得f1=16a,f′1=6-8a,所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y-16a=6-8ax-1.由点06在切线上,得6-16a=8a-6,解得a=.2由1知,fx=x-52+6lnxx0,f′x=x-5+=.令f′x=0,解得x1=2,x2=
3.当0x2或x3时,f′x0,故fx的单调递增区间是02,3,+∞;当2x3时,f′x0,故fx的单调递减区间是23.由此可知fx在x=2处取得极大值f2=+6ln2,在x=3处取得极小值f3=2+6ln
3.
21.解1由抛物线C y2=2px过点P11,得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.2证明由题意,设直线l的方程为y=kx+k≠0,l与抛物线C的交点为Mx1,y1,Nx2,y2.由消去y,得4k2x2+4k-4x+1=
0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为11,所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为x1,x1.直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x
1.故A为线段BM的中点.
22.[解] 1f′x=lnx+1,x0,由f′x=0,得x=,所以fx在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以x=是函数fx的极小值点,无极大值点.2gx=xlnx-ax-1,则g′x=lnx+1-a,由g′x=0,得x=ea-
1.所以在区间0,ea-1上,gx为减函数,在区间ea-1,+∞上,gx为增函数.当ea-1≤1,即a≤1时,在区间[1,e]上,gx为增函数,所以gx的最小值为g1=
0.当1ea-1e,即1a2时,gx的最小值为gea-1=a-ea-
1.当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e]上,gx为减函数,所以gx的最小值为ge=a+e-ae.综上,当a≤1时,gx的最小值为0;当1a2时,gx的最小值为a-ea-1;当a≥2时,gx的最小值为a+e-ae.。