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文本内容:
xx-2019学年高二数学上学期第三次月考试题文III第I卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12题,每题5分,满分60分,每小题只有一个正确答案)
1.已知命题p∃x0∈R,+12x0,命题q若mx2-mx-10恒成立,则-4m≤0,那么 A.“¬p”是假命题B.“¬q”是真命题C.“p∧q”为真命题D.“p∨q”为真命题
2.已知p≤0,q4x+2x-m≤0,p是q的充分条件,则实数m的取值范围是 A.[6,+∞B.-∞,2+]C.[2,+∞D.2+,+∞
3.已知椭圆+=1ab0的离心率是,过椭圆上一点M作直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为 A.B.-C.D.-
4.已知f=,则f′x等于 A.B.-C.D.-
5.设双曲线-=1a0,b0的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是 A.1,B.,2C.12D.,+∞
6.函数y=x-2sinx的图象大致是
7.已知抛物线y2=2pxp>0上一点M1,mm>0到其焦点的距离为5,双曲线G-y2=1a>0的左顶点为A,若双曲线G的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为 A.B.C.D.
8.函数y=x2-lnx的单调减区间是 A.0,1B.0,1∪-∞,-1C.-∞,1D.-∞,+∞
9.设直线x=t与函数fx=x2,gx=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为 A.1B.C.D.
10.设fx=xax2+bx+ca≠0在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是 A.a,bB.a,cC.b,cD.a+b,c
11.已知抛物线y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2其中O为坐标原点,则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是 A.2B.3C.D.
12.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为 A. B. C. D.第II卷(非选择题90分)
二、填空题共4小题每小题5分共20分
13.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1ab0的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
15.已知F1,F2分别是双曲线x2-=1的左,右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°.延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于________.
16.已知函数fx=其中e为自然对数的底数,且e≈
2.718.若f6-a2fa,则实数a的取值范围是________.
三、解答题共6小题共70分
17.(10分)命题p已知“a-1xa+1”是“x2-6x0”的充分不必要条件,命题q∀x∈-1,+∞,x+a恒成立,如果“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数a的取值范围.
18.(12分)设函数fx是定义在[-10∪01]上的偶函数,当x∈[-10时,fx=x3-axa为实数.1当x∈01]时,求fx的解析式;2若a3,试判断fx在01]上的单调性,并证明你的结论;3是否存在a,使得x∈01]时,fx有最大值
119.(12分)设函数fx=ax-,曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为7x-4y-12=
0.1求fx的解析式;2证明曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
20.(12分)已知椭圆+=1ab0上的点P到左,右两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为.1求椭圆的标准方程;2过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,若y轴上一点M0,满足|MA|=|MB|,求直线l的斜率k的值.
21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P4,-.1求双曲线的方程;2若点M3,m在双曲线上,求证·=0;3求△F1MF2的面积.
22.(12分)已知抛物线C1y2=4pxp0,焦点为F2,其准线与x轴交于点F
1.椭圆C2分别以F
1、F2为左、右焦点,其离心率e=,且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.1当p=1时,求椭圆C2的标准方程;2在1的条件下,若直线l经过椭圆C2的右焦点F2,且与抛物线C1相交于A,B两点,若弦长|AB|等于△MF1F2的周长,求直线l的方程.答案解析
1.D【解析】对于命题p+1-2x0=x0-12≥0,即对任意的x∈R,都有x2+1≥2x,因此命题p是假命题.对于命题q,若mx2-mx-10恒成立,则当m=0时,mx2-mx-10恒成立;当m≠0时,由mx2-mx-10恒成立,得即-4m
0.故-4m≤0,故命题q是真命题.因此,“¬p”是真命题,“¬q”是假命题,“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题,故选D.
2.A【解析】 由≤0,得0x≤1,即p0x≤
1.由4x+2x-m≤0,得4x+2x≤m.因为4x+2x=2x2+2x=2-,要使p是q的充分条件,则当0x≤1时,m大于等于4x+2x的最大值,又当x=1时,4x+2x有最大值6,所以m≥
6.故选A.
3.D【解析】设点Mx,y,Ax1,y1,B-x1,-y1,则y2=b2-,=b2-,所以k1·k2=·==-=-1=e2-1=-,即k1·k2的值为-.
4.D【解析】令=t,则ft==,∴fx=,f′x=′=-.
5.B【解析】双曲线-=1a0,b0的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,∴A,,B,-.∵60°<∠AFB<90°,∴<kFB<1,∴<<1,∴<<1,∴<<1,∴1<e2-1<3,∴<e<
2.故选B.
6.C【解析】因为y′=-2cosx,所以令y′=-2cosx0,得cosx,此时原函数是增函数;令y′=-2cosx0,得cosx,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选项C正确.
7.A【解析】∵M1,m到抛物线y2=2pxp>0的准线x=-的距离等于M到其焦点的距离5,∴-=-4,∴p=8,∴抛物线方程为y2=16x,A-a0,∵m>0,∴M14,∵AM与渐近线y=x平行,∴kAM==,解得a=,故选A.
8.A【解析】∵y=x2-lnx的定义域为0,+∞,∴y′=x-,令y′0,即x-0,解得0x1或x-
1.又∵x0,∴0x1,故选A.
9.D【解析】由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出|MN|=y=t2-lntt0.y′=2t-==.当0t时,y′0,可知y在此区间内单调递减;当t时,y′0,可知y在此区间内单调递增.故当t=时,|MN|有最小值.
10.A【解析】f′x=3ax2+2bx+c,由题意知-1,1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,由根与系数的关系知1-1=-,所以b=0,故选A.
11.B【解析】 如图,可设Am2,m,Bn2,n,其中m0,n0,则=m2,m,=n2,n,·=m2n2+mn=2,解得mn=1舍或mn=-
2.∴lAB m2-n2y-n=m-n·x-n2,即m+ny-n=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C20,点C为直线AB与x轴的交点.S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×m+×2×-n=m-n,S△AOF=××m=m,则S△AOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3,当且仅当m=,即m=时等号成立.故△ABO与△AFO的面积之和的最小值为
3.
12.C【解析】如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,∴y′=4πaR-.令y′=0,得=.
13.[-80]【解析】当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知解得-8≤a<
0.综上,实数a的取值范围是[-80].
14. 【解析】 由可得B,C.又由Fc0,得=,=.因为∠BFC=90°,所以·=0,化简可得2a2=3c2,即e2==,故e=.
15.4【解析】由题意知a=1,根据双曲线定义|AF1|-|AF2|=2a,所以|AF1|=4,|BF1|-|BF2|=2,所以|BF1|=2+|BF2|.由图知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,所以|BA|=|BF1|,△ABF1为等腰三角形,又因为∠F1AF2=45°,所以∠ABF1=90°,则△ABF1为等腰直角三角形,所以|AB|=|BF1|=
2.所以=×2×2=
4.
16.-32【解析】∵f′x=当x≤e时,f′x=6-2x=23-x0,当xe时,f′x=1-=0,∴fx在R上单调递增.又f6-a2fa,∴6-a2a,解之得-3a
2.
17.解 由不等式x2-6x0,得0x6,∵命题p为真,即“a-1xa+1”是“x2-6x0”的充分不必要条件,∴等号不同时取得,即1≤a≤
5.若命题q为真,∵x-1,∴x+10,∴x+=x+1+-1≥2-1=3,∀x∈-1,+∞,x+a恒成立⇔3a,∵“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p,q一真一假,当p真q假时,得3≤a≤5,当p假q真时得a1,∴实数a的取值范围是-∞,1∪
[35].
18.1fx=-x3+ax.2fx在01]上单调递增,证明见解析.3存在a=,使fx在01]上有最大值1【解析】1设x∈01],则-x∈[-10.∵fx为偶函数,∴fx=f-x=-x3+ax,即x∈01]时,fx=-x3+ax.2fx在01]上单调递增,证明如下f′x=-3x2+a,x∈01],∴-3x2∈[-30.又a3,∴a-3x20,即f′x
0.∴fx在01]上单调递增.3当a3时,fx在01]上单调递增,∴fxmax=f1=a-1=
1.∴a=2与a3矛盾.当0≤a≤3时,令f′x=a-3x2=0,得x=或x=-舍去.x∈时,f′x0,∴fx在上单调递增.x∈时,f′x0,∴fx在上单调递减.又函数fx在x=处连续,∴fxmax=f=-3+a=
1.解得a=,当a0时,f′x=a-3x20,∴fx在01]上单调递减,fx在01]上无最大值.综上,存在a=,使fx在01]上有最大值
1.
19.1由7x-4y-12=0得y=x-
3.当x=2时,y=,∴f2=,
①又f′x=a+,∴f′2=,
②由
①,
②得解之得.故fx=x-.2证明 设Px0,y0为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点Px0,y0处的切线方程为y-y0=1+x-x0,即y-x0-=1+x-x0.令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,-.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为2x02x0.所以点Px0,y0处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|-||2x0|=
6.故曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为
6.
20.解 1由题意知,|PF1|+|PF2|=2a=2,所以a=.又因为e==,所以c=×=1,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以椭圆的标准方程为+y2=
1.2已知F210,直线斜率显然存在,设直线的方程为y=kx-1,Ax1,y1,Bx2,y2,联立直线与椭圆的方程得化简得1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,y1+y2=kx1+x2-2k=.所以AB的中点坐标为,.
①当k≠0时,AB的中垂线方程为y-=-x-,因为|MA|=|MB|,所以点M在AB的中垂线上,将点M的坐标代入直线方程得,+=,即2k2-7k+=0,解得k=或k=;
②当k=0时,AB的中垂线方程为x=0,满足题意.所以斜率k的取值为0,或.
21.1解 因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λλ≠0.因为双曲线过点P4,-,所以16-10=λ,即λ=
6.所以双曲线方程为x2-y2=
6.2证明 由1可知,双曲线中a=b=,所以c=2,所以F1-2,0,F22,0,所以=,=,所以·==-.因为点M3,m在双曲线上,所以9-m2=6,得m2=
3.故·=-1,所以MF1⊥MF2,所以·=
0.3解 △F1MF2的底边|F1F2|=4,底边F1F2上的高h=|m|=,所以=
6.
22.1+=
1.2
①若直线l的斜率不存在,则l x=1,且A12,B1,-2,∴|AB|=4,又∵△MF1F2的周长等于|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=6≠|AB|.∴直线l的斜率必存在.
②设直线l的斜率为k,则l y=kx-1,由得k2x2-2k2+4x+k2=0,∵直线l与抛物线C1有两个交点A,B,∴Δ=[-2k2+4]2-4k4=16k2+160,且k≠0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则可得x1+x2=,x1x2=1,于是|AB|=|x1-x2|====,∵△MF1F2的周长等于|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=6,∴由=6,解得k=±.故所求直线l的方程为y=±x-1.。