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xx-2019学年高二数学上学期第二次12月月考试卷理含解析
一、单选题
1.点P的直角坐标为,则点P的极坐标可以为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由直角坐标与极坐标互化公式即可求得对应点的极坐标.【详解】,则点P的极坐标故选C【点睛】本题考查将直角坐标化为极坐标,属于基础题,解题中需要根据直角坐标化为极坐标的公式准确代入求解.
2.曲线的极坐标方程化为直角坐标为 A.B.C. D.【答案】B【解析】此题考查极坐标方程的知识答案B点评通过极坐标的公式就可以直接转化
3.已知曲线的参数方程为(为参数),则该曲线离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】分析先把曲线C化成普通方程,再求曲线的离心率.详解由题得曲线C的普通方程为,所以曲线C是椭圆,a=
4.所以椭圆的离心率为.故选A.点睛本题主要考查参数方程与普通方程的互化和椭圆的离心率的计算,属于基础题.
4.抛物线上的点到焦点的距离为,则的值为()A.或B.C.D.或【答案】D【解析】抛物线的准线方程为,由抛物线的定义有(负值舍去),此时,将点代入抛物线方程中,求出,选D.
5.已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】,故,即,故渐近线方程为.【考点定位】本题考查双曲线的基本性质,考查学生的化归与转化能力.
6.在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为为参数),则曲线C()A.关于轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】A【解析】试题分析由题意得,曲线的参数方程可化为,化为普通方程为,表示以为圆心,以为半径的圆,故选A.考点参数方程与普通方程的互化.
7.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是( )A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】试题分析当输入的值为时,第一次循环,;第二次循环,;第三次循环,;第四次循环,;第五次循环,;退出循环输出结果为,故选A.考点
1、程序框图;
2、条件结果及循环结构.
8.“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0<b<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时,直线与圆都相交,因此题中应选必要不充分条件.
9.直线的位置关系是A.平行B.垂直C.相交不垂直D.与有关,不确定【答案】B【解析】极坐标方程即整理可得,据此可得直线的位置关系是垂直.本题选择B选项.
10.已知两点A(﹣1,0),B(0,1),点P是椭圆上任意一点,则点P到直线AB的距离最大值为( )A.B.C.6D.【答案】A【解析】由题意得直线AB的方程为,点到直线的距离最大值即为图中过点P且与直线AB平行的切线与直线AB之间的距离设过点P的切线方程为消去y整理得,由,解得结合图形可得过点P的切线方程为,因此点到直线的距离最大值为选A点睛本题的解法体现了数形结合的应用,为了求椭圆上的点到直线距离的最大值,将其转化成椭圆的切线问题,由判别式求得参数m的值,再根据两条平行线间的距离公式求解即可当然本题也可以求椭圆上的点到直线的距离最小值
11.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA
1、BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】考点空间点、线、面的位置.分析因为A1B1∥EF,所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离,由三角形面积可得所求距离.解答解因为A1B1∥EF,G在A1B1上,所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离,即是A1到D1E的距离,D1E=,由三角形面积可得所求距离为,故选D点评本题主要考查空间线线关系、线面关系,点到面的距离等有关知识,特别是空间关系的转化能力.
12.已知双曲线的左、右焦点分别是,正三角形的一边与双曲线左支交于点B,且,则双曲线C的离心率的值是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三角形为正三角形可得的坐标,过点B作x轴的垂线,由三角形相似可得点B的坐标,代入双曲线方程化解求离心率的值.【详解】过点B作x轴垂线,垂足是C,如图所示,点B的坐标点B在双曲线上则化解得解得故选B【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,属于中档题,解题的关键是利用题目中的几何关系得到关于a、b、c的齐次式,再将b消去后通过化解得到关于e的方程.
二、填空题
13.若命题是真命题,则实数的取值范围是______.【答案】.【解析】试题分析命题“对,”是真命题.当时,则有;当时,则有且,解得.综上所示,实数的取值范围是.考点
1.全称命题;
2.不等式恒成立
14.如图所示,在棱长为2的正方体中,EF分别是,的中点,那么异面直线和所成角的余弦值等于________.【答案】.【解析】以ADDCDD1建立空间直角坐标系,则得直线和所成角的余弦值等于
15.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数x的取值范围是_______.【答案】.[-2-1]【解析】解解分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是计算分段函数f(x)=的函数值.又∵输出的函数值在区间[1/4,1/2]内,∴x∈[-2,-1]
16.已知椭圆的离心率e=,AB是椭圆的左右顶点,P为椭圆上不同于AB的动点,直线PAPB的倾斜角分别为,则=________.【答案】7【解析】试题分析因为AB是椭圆的左右顶点,P为椭圆上不同于AB的动点,,,考点本题考查椭圆的另外一个定义点评椭圆的定义不只是书上给的第一定义,还有其他的定义,本题中椭圆上的点与两顶点连线的斜率乘积为定值,这也是定义,将三角公式展开分子分母同除以,得到斜率乘积
三、解答题
17.已知抛物线C y2=2px(p>0)的焦点为F并且经过点A(1,﹣2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F作倾斜角为45°的直线l,交抛物线C于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN的面积【答案】
(1)y2=4x
(2)【解析】试题分析
(1)把点A(1,-2)代入抛物线C y2=2px(p>0),解得p即可得出;
(2)F(1,0).设M,N.直线l的方程为y=x-1.与抛物线方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式可得.利用点到直线的距离公式可得原点O到直线MN的距离d.利用△OMN的面积即可得出试题解析
(1)把点A(1,﹣2)代入抛物线C y2=2px(p>0),可得(﹣2)2=2p×1,解得p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)F(1,0).设M(x1,y1),N(x2,y2).直线l的方程为y=x﹣1.联立,化为x2﹣6x+1=0,∴x1+x2=6,x1x2=1.∴|MN|===8.原点O到直线MN的距离d=.∴△OMN的面积S===.考点抛物线的简单性质
18.设命题实数满足,其中,命题实数满足.
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】
(1);
(2)【解析】分析
(1)当时,..据此可得的取值范围是.
(2)由题意可知q是p的充分不必要条件,其中,且,故.详解
(1)当时,由,得.由,得,所以.由p∧q为真,即p,q均为真命题,因此的取值范围是.
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,可得q是p的充分不必要条件,由题意可得,所以,因此且,解得.点睛本题主要考查命题的相关结论,集合之间的关系等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系.(Ⅰ)写出的极坐标方程;(Ⅱ)设曲线经伸缩变换后得到曲线,射线()分别与和交于两点,求.【答案】(I);(II).【解析】试题分析(I)先将曲线的方程化为普通方程,在利用直角坐标与极坐标的互化,化为极坐标方程;(II)根据,代入的方程,得出的方程为,即可求解,进而求解.试题解析(Ⅰ)将消去参数,化为普通方程为,即,将代入,得,所以的极坐标方程为.(Ⅱ)将代入得,所以的方程为.的极坐标方程为,所以.又,所以.考点极坐标方程和参数方程、伸缩变换等.
20.如图棱锥的地面是矩形平面.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小;【答案】
(1)详见解析;
(2)【解析】试题分析
(1)利用空间向量证明线面垂直,即证平面的一个法向量为,先根据条件建立恰当直角坐标系,设立各点坐标,利用向量数量积证明为平面的一个法向量,最后根据线面垂直判定定理得结论
(2)利用空间向量求二面角,先利用解方程组的方法求出平面法向量,利用向量数量积求出两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小试题解析:证
(1)建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).在Rt△BAD中,AD=2,BD=,∴AB=
2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0),∴∵,即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
(2)由
(1)得.设平面PCD的法向量为,则,即,∴故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD,∴为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为q,依题意可得.
21.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(1)写出曲线,的普通方程;
(2)过曲线的右焦点作倾斜角为的直线,该直线与曲线相交于不同的两点,求的取值范围【答案】
(1),
(2)【解析】试题分析
(1)先根据消参数得的普通方程,由,,,将极坐标方程化为的普通方程
(2)先写出直线的参数方程,再代入曲线直角坐标方程,根据直线参数几何意义得,结合韦达定理代入化简得.最后根据倾斜角范围,确定的取值范围.试题解析解
(1)由于曲线的参数方程为(为参数),则曲线的普通方程为,∵,,,曲线,可化为,即曲线的普通方程为;
(2)因为曲线的右焦点的坐标为,所以直线的参数方程为(为参数).将直线的参数方程代入,得,则.直线与曲线相交于不同的两点,,,,因此,的取值范围为.
22.已知椭圆C,圆Q(x﹣2)2+(y﹣)2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P作互相垂直的两条直线l
1.l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB的面积的取值范围.【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】1点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为可得c的值,圆心在椭圆上可得a、b的方程,再由即可解得a、b的值;
(2)讨论两直线的斜率不存在时求得三角形MAB的面积为4;设直线代入圆Q的方程运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标求得MP的长再由直线AB的方程为代入椭圆方程运用韦达定理和弦长公式由三角形的面积公式化简整理由换元法结合函数的单调性可得面积的范围.【详解】1因为椭圆的右焦点,,所以,因为在椭圆上,所以,由所以椭圆的方程为2由题意可得的斜率不为零,当垂直于轴时,的面积为,当不垂直于轴时,设直线的方程为,则直线的方程为,设,联立消去得,,所以,则,又圆心到直线的距离,得又,,所以点到直线的距离等于点到的距离,设为,即,所以的面积【点睛】本题考查了椭圆方程的求解、圆锥曲线弦长公式、直线与椭圆位置关系;解题中应用了分类讨论思想,属于高档题;在圆锥曲线中研究范围,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时,常从以下方面考虑
①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系;
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
④利用基本不等式求出参数的取值范围;
⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.。