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xx-2019学年高二数学上学期第四次月考期末试题理含解析
一、选择题(每题只有一个正确答案每小题5分,共60分)
1.抛物线的焦点坐标是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的标准方程,转化求解即可.【详解】抛物线y=-x2的开口向下,,所以抛物线的焦点坐标.故选A.【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.
2.对于实数a,b,则“a<b<0”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性质,结合字母的特殊值排除错误选项,确定正确选项即可.【详解】若“”即,则“”,故“”是“”的充分条件,若“”,假设,则“”,得且,故“”是“”的不必要条件;对于实数,则“”是“”充分不必要条件故选A.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系,不等式性质的应用,利用特殊值代入法,是此类问题常用的思维方法,是基础题.
3.设双曲线的渐近线方程为,则的值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为所以,故选B.
4.在空间直角坐标系中,点关于点的对称点是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设出对称点的坐标,利用中点坐标公式求解出来.【详解】设对称点为,根据中点坐标公式有,解得,故对称点的坐标为.所以选D.【点睛】本小题主要考查空间两点关于某点对称的坐标的求法,考查中点坐标公式,属于基础题.
5.方程x2+y2=1xy<0的曲线形状是 A.B.C.D.【答案】C【解析】方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第
二、四象限的部分,故选C
6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离是()A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标,双曲线的焦点坐标到渐近线的距离,转化求解即可.【详解】抛物线的焦点(2,0)到渐近线距离为的焦点(2,0)到渐近线距离为.故选A.【点睛】题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.
7.已知椭圆的焦点在y轴上且离心率则()A.9B.15C.6D.7【答案】D【解析】【分析】根据焦点在y轴上的椭圆方程,算出.结合椭圆离心率的公式,建立关于的方程,解之即可得到实数的值.【详解】∵椭圆的焦点在y轴上,可得又∵椭圆的离心率为,∴,故选D.【点睛】本题给出椭圆关于的方程形式,在已知椭圆的焦点在y轴的离心率的情况下求实数值,着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.
8.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设抛物线y=x2上一点为A(x0,x02),点A(x0,x02)到直线2x-y-4=0的距离由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标.【详解】设抛物线y=x2上一点为A(x0,x02),点A(x0,x02)到直线2x-y-4=0的距离∴当x0=1时,即当A(1,1)时,抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短.故选D.【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
9.已知两点M-10N10,点P为坐标平面内的动点,且满足,则动点P的轨迹方程为A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x【答案】C【解析】【分析】先根据MN的坐标求出|MN|然后设点P的坐标表示出关系即可得到答案.【详解】设P(x,y),x>0,y>0,M-10N10,则由,则化简整理得y2=-4x.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算,抛物线的定义.向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.
10.设抛物线的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,∴Q为准线与x轴的交点设过Q点的直线l方程为.∵l与抛物线有公共点,,∴方程组有解即有解∴即⩽
1.∴,故选C.点睛本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
11.已知椭圆()的右焦点为,过点的直线交椭圆交于,两点,若的中点,则椭圆的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,直线的斜率,,两式相减得,即,即,,解得,方程是,故选D.【此处有视频,请去附件查看】
12.已知F1F2是双曲线的左右焦点,若直线与双曲线C交于PQ两点,且四边形F1PF2Q是矩形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意,矩形的对角线长相等,由此建立方程,找出a,c的关系,即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意,矩形的对角线长相等,把代入,可得,∴∴4a2b2=(b2-3a2)c2,∴4a2(c2-a2)=(c2-4a2)c2,∴e4-8e2+4=0,∵e>1,∴故选B.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查矩形的性质,确定a,c的关系是关键,属于中档题.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知O为坐标原点,B与F分别为椭圆的短轴顶点与右焦点,若则该椭圆的离心率是_________.【答案】【解析】【分析】利用已知条件推出b=c,转化求解椭圆的离心率即可.【详解】O为坐标原点,B与F分别为椭圆的上顶点与右焦点,若|OB|=|OF|,可得b=c,则所以椭圆的离心率为.故答案为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
14.已知抛物线的过焦点的弦为,且,,则_____________.【答案】3【解析】由题意知|AB|=+p即p=|AB|−=9−6=
3.故答案为
3.
15.空间向量且,则__________.【答案】3【解析】由已知条件得,,解得.所以,得.故答案为
3.
16.下列说法错误的是_____________.
①.如果命题“”与命题“或”都是真命题,那么命题一定是真命题.
②.命题则
③.命题“若,则”的否命题是“若,则”
④.特称命题“,使”是真命题.【答案】
④【解析】【分析】由题意,
①中,根据复合命题之间的关系进行判断;
②中,根据全称命题与存在性命题的关系判定;
③中,根据四种命题的关系可判定;
④中,根据含由量词的命题的定义进行判定.【详解】由题意,
①中,如果命题“”与命题“或”都是真命题,则是假命题,为真命题,所以是正确的;
②中,根据全称命题与存在性命题的关系,可知命题的否性为,所以是正确的;
③中,根据四种命题的概念,可知命题“若,则”的否命题是“若,则”,所以是正确的;
④中,因为判别式,所以方程无解,所以不正确,故答案选
④.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用,其中解答中涉及到复合命题的真假关系、四种命题的关系、含有量词的命题的否定等知识的综合考查,综合性较强,属于中档试题着重考查了分析问题和解答问题的能力.
三、解答题(共70分)
17.已知命题p关于x的不等式的解集是,命题q:函数y=的定义域为R.若p是真命题,p是假命题,求实数a的范围.【答案】.【解析】试题分析根据指数函数的单调性求得命题为真时的取值范围;利用求出命题为真时的范围,由复合命题真值表知若是真命题,是假命题,则命题、一真一假,分真假和真假两种情况求出的范围,再求并集.试题解析依题意有对于0a1对于函数定义域为的充要条件是≥0恒成立.当=0时,不等式为-≥0,解得≤0,显然不成立;当a≠0时,,解得a≥.所以对于≥.由“或是真命题,且是假命题”,可知,一真一假,当真假时,,有的取值范围是当假真时,,有的取值范围是.综上,的取值范围是.考点复合命题的真假.
18.已知抛物线的顶点在原点过点A-44且焦点在x轴.
(1)求抛物线方程;
(2)直线l过定点B-10与该抛物线相交所得弦长为8求直线l的方程.【答案】
(1)
(2)【解析】分析
(1)可先设出抛物线的方程,然后代入点计算即可;
(2)已知弦长所以要先分析斜率存在与不存在的情况,)
①当直线l的斜率不存在时,直线l x=-1验证即可,
②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,直线为联立方程根据弦长公式求解即可.详解
(1)设抛物线方程为抛物线过点,得p=2则
(2)
①当直线l的斜率不存在时,直线l x=-1与抛物线交于、,弦长为4,不合题意
②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,直线为消y得弦长=解得得所以直线l方程为或点睛考查抛物线的定义和标准方程,以及直线与抛物线的弦长公式的应用,注意讨论是解题容易漏的地方,属于基础题.
19.如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,且,为中点.
(1)求证平面;
(2)求二面角的正弦值.【答案】1见解析;
(2).【解析】【分析】(1)可证平面,得,再证,可证平面;
(2)建立空间直角坐标系求出相关各点的坐标及各向量的坐标,求出平面的一个法向量,及平面的一个法向量,代入夹角公式计算即可【详解】
(1)证明∵底面为正方形,∴,又,∴平面,∴.同理,∴平面.
(2)建立如图的空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,又,∴令,得.同理是平面的一个法向量,则.∴二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的的判定与性质及二面角的计算,属于中档题
20.已知双曲线的离心率为,右准线方程为(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.【答案】a=1613【解析】试题分析
(1)因为双曲线的离心率为,右准线方程为,所以,所以,所以双曲线C的方程为6分
(2)由,得,设,则,所以,所以,因为线段AB的中点在圆上,所以代入得6分考点双曲线的简单性质;双曲线的标准方程;直线与双曲线的综合应用点评圆锥曲线与直线的综合应用,是考试中常考的内容在解题时要注意双曲线性质的灵活应用,还有注意别出现计算错误属于中档题型【此处有视频,请去附件查看】
21.椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,右焦点F的坐标为(2,0),且点F到短轴的一个端点的距离是.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F作斜率为k的直线l,与椭圆C交于A、B两点,若,求k的取值范围.【答案】解(I)(II)【解析】分析
(1)由题可得,然后根据abc的关系即可得达到b,从而得出方程;
(2)先设出过焦点的直线,然后联立方程得出韦达定理,而,故几何韦达定理即可得出有关k的不等式,解不等式即得出结论.详解(I)由已知,;故椭圆C的方程为………………4分(II)设则A、B坐标是方程组的解消去,则,………………7分所以k的取值范围是………………12分点睛解本题要熟悉椭圆的定义和基本性质,对于第二问则比较直接,思路顺畅,直接借助韦达定理即可,此题属于基础题.
22.已知抛物线过点,且点到其准线的距离为.()求抛物线的方程.()直线与抛物线交于两个不同的点,,若,求实数的值.【答案】1.2.【解析】分析
(1)根据点到其准线的距离为.可得求得p即可;
(2)联立方程结合建立等式关系,然后代入韦达定理求解即可.详解()已知抛物线过点,且点到准线的距离为,则,∴,故抛物线的方程为.()由得,设,,则,,,,∵,∴,∴或,经检验,当时,直线与抛物线交点中有一点与原点重合,不符合题意,当时,,符合题意,综上,实数的值为.点睛考查抛物线的定义和基本性质,对于直线与抛物线问题通常连立方程依赖韦达定理建立等式关系,注意对所求参数的检验,此处是易错点引起注意,属于中档题.。