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第一章 计数原理A时间∶120分钟 满分∶150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法有 A.53种B.35种C.3种D.15种2.三名教师教六个班的课,每人教两个班,分配方案共有 A.18种B.24种C.45种D.90种3.7名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 A.720种B.360种C.1440种D.120种4.从5名男生和5名女生中选3名组队参加某集体项目的比赛,其中至少有1名女生入选的组队方案数为 A.100B.110C.120D.1805.从123,…,100中任取2个数相乘,其积能被3整除的有 A.33组B.528组C.2111组D.2739组6.编号为12345的5人,入座编号也为12345的5个座位,至多有2人对号入座的坐法种数为 A.120B.130C.90D.1097.杨辉三角为杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质的行是 A.第6行B.第7行C.第8行D.第9行8.在n的展开式中,所有奇数项系数之和为1024,则第六项的系数是 A.330B.462C.682D.7929.在8的展开式中,常数项是 A.-28B.-7C.7D.2810.若3x-n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含项的系数是 A.7B.-7C.21D.-2111.若x+1n=xn+…+ax3+bx2+…+1n∈N*,且a∶b=3∶1,则n的值为 A.9B.10C.11D.1212.三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为凹数,如524746等都是凹数,那么,各个数位上无重复数字的三位凹数有 A.72个B.120个C.240个D.360个
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.在由数字012345所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有________个.14.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有________对.15.在x+9的展开式中,x3的系数是________.16.对于二项式1-x1999,有下列四个命题
①展开式中T1000=-Cx999;
②展开式中非常数项的系数和是1;
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项;
④当x=2000时,1-x1999除以2000的余数是
1.其中正确命题的序号是________.把你认为正确命题的序号都填上.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分有A,B,C三个城市,上午从A城去B城有5班汽车,2班火车,都能在12∶00前到达B城,下午从B城去C城有3班汽车,2班轮船.某人上午从A城出发去B城,要求12∶00前到达,然后他下午去C城,问有多少种不同的走法?18.12分用012345共6个数字,可以组成多少个没有重复数字的六位奇数?19.12分有9本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?1甲得4本,乙得3本,丙得2本;2一人得4本,一人得3本,一人得2本.20.12分求x+-15展开式中的常数项.21.12分已知Sn=2n+C2n-1+C2n-2+…+C21+1n∈N*,求证当n为偶数时,Sn-4n-1能被64整除.22.12分已知+3x2n展开式中各项系数和比二项式系数和大992,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.第一章 计数原理A答案1.B2.D [分三步进行先从六个班中选两个班给第一名老师,有C种方法;再从剩余的四个班中选两个班给第二名老师,有C种方法;最后两个班给第3名老师,共C×C×C=90种方法.]3.C [用捆绑法N=A·A=1440种.]4.B [方法一 直接法分为三类一女二男,二女一男,三女.所以共有C·C+C·C+C=110种组队方案.方法二 间接法无限制条件的方案数减去全是男生的方案数,所有共有C-C=120-10=110种组队方案.]5.D [乘法满足交换律,因此是组合问题.把123,…,99100分成2组{369,…,99},共计33个元素;{1245,…,100},共计67个元素,故积能被3整除的有C+C·C=2739组.]6.D [问题的正面有3种情况有且仅有1人对号入座,有且仅有2人对号入座和全未对号入座,这3种情况都难以求解.从反面入手,只有2种情况全对号入座4人对号入座时必定全对号入座,有且仅有3人对号入座.全对号入座时只有1种坐法;有3人对号入座时,分2步完成从5人中选3人有C种选法,安排其余2人不对号入座,只有1种坐法.因此,反面情况共有1+C·1=11种不同坐法.5人无约束条件入座5个座位,有A=120种不同坐法.所以满足要求的坐法种数为120-11=
109.]7.B8.B [由题意知,2n-1=1024=210,所以n=
11.所以第六项的系数为C=
462.故选B.]9.C10.C [赋值法令x=1,得n=7,由通项公式得Tk+1=C3x7-k·-k=-1k·37-k·C·x,令=-3,得k=6,∴的系数为-16·37-6·C=
21.]11.C12.C13.19214.36解析 15条直线中任选两条,有C=105对直线;其中平行直线有C+3=6对;相交直线有6×C同一顶点处+3每个侧面的对角线=63对.所以异面直线共有105-6-63=36对.15.84解析 Tr+1=C·x9-r·x-r=C·x9-2r,令9-2r=3,∴r=
3.∴x3的系数是C=
84.16.
①④解析 展开式中T1000=C-x999=-Cx999,所以
①正确;展开式中各项系数和为0,而常数项为1,所以非常数项的系数和为-1,
②错;展开式中系数最大的项是第1001项,
③错;将二项式展开,即可判断
④对.17.解 根据分类加法计数原理,上午从A城到B城,并在12∶00前到达,共有5+2=7种不同的走法.下午从B城去C城,共有3+2=5种不同的走法.根据分步乘法计数原理,上午从A城去B城,然后下午从B城去C城,共有7×5=35种不同的走法.
18.解 分三步
①确定末位数字,从135中任取一个有C种方法;
②确定首位数字,从另外的4个非零数字中任取一个有C种方法;
③将剩余的4个数字排中间有A种排法,故共有CCA=288个六位奇数.19.解 1分三步完成第一步从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C种方法;第二步从余下的5本书中,任取3本给乙,有C种方法;第三步把剩下的书给丙有C种方法,∴共有不同的分法为C·C·C=1260种.2分两步完成第一步按4本、3本、2本分成三组有C·C·C种方法;第二步将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A种方法,∴共有C·C·C·A=7560种.20.解 x+-15=[x+-1]5,通项为Tk+1=Cx+5-k-1k0≤k≤5.当k=5时,T6=C-15=-1,当0≤k5时,x+5-k的通项为Tr+1=C·x5-k-r·r=Cx5-k-2r0≤r≤5-k.∵0≤k5,且k∈Z5-k-2r=0,∴k只能取1或3,相应r的值分别为2或1,∴常数项为CC-1+CC-13+-1=-
51.21.证明 Sn=2+1n=3n,∵n为偶数,设n=2rr∈N*,∴Sn-4n-1=9r-8r-1=8+1r-8r-1=C8r-2+C8r-3+…+C·82,*当r=1时,9r-8r-1=0,显然Sn-4n-1能被64整除;当r≥2时,*式能被64整除.∴n为偶数时,Sn-4n-1能被64整除.22.解 令x=1得展开式各项系数和为1+3n=4n,又展开式二项式系数和为C+C+…+C=2n,由题意知4n-2n=992,即2n2-2n-992=0,2n-322n+31=0,∴2n=32,n=
5.所以展开式共有6项,其中二项式系数最大的项为第三项和第四项,它们是T3=C3·3x22=90x
6.T4=C2·3x23=270x,设展开式中第r+1项的系数最大.又Tr+1=C5-r3x2r=C·3r·x,得即解得≤r≤,又∵r∈N,∴r=
4.所以展开式中第5项系数最大,T5=C·34·x=405x.。