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第一章 计数原理B时间∶120分钟 满分∶150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.从集合{123,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中任何两个数的和不等于11,则这样的子集共有 A.10个B.16个C.20个D.32个2.某科技小组有6名同学,现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则小组中的女生人数为 A.2B.3C.4D.53.某小组有8名学生,从中选出2名男生,1名女生,分别参加数理化单科竞赛,每人参加一种,共有90种不同的参赛方法,则男女生的人数应是 A.男生6名,女生2名B.男生5名,女生3名C.男生3名,女生5名D.男生2名,女生6名
4.如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有 A.288种B.264种C.240种D.168种5.掷4枚编了号的硬币,至少有2枚正面朝上的情况有 A.C+C+C种B.A+A+A种C.×24种D.不同于A,B,C的结论6.x+5x∈R展开式中x3的系数为10,则实数a等于 A.-1B.C.1D.27.在+100的展开式中,有理项的个数是 A.15个B.33个C.17个D.16个8.若Cx+Cx2+…+Cxn能被7整除,则x,n的值可能为 A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=69.设fx=2x+15-52x+14+102x+13-102x+12+52x+1-1,则fx等于 A.2x+25B.2x5C.2x-15D.32x510.若a∈{1235},b∈{1235},则方程y=x表示的不同直线条数为 A.11B.12C.13D.1411.在1-x5+1-x6+1-x7+1-x8的展开式中,含x3的项的系数是 A.74B.121C.-74D.-12112.设ann=234,…是3-n的展开式中x的一次项的系数,则++…+的值是 A.16B.17C.18D.19
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空车位连在一起,则不同的停车方法有__________种.14.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是________.15.7777-7被19除所得的余数是________.16.若x3+n的展开式中,仅第六项系数最大,则展开式中不含x的项为________.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分教育局派5名调研员到3所学校去调研学生作业负担问题,每校至少1人,有多少种不同的派遣方法?18.12分已知∠AOB的边OA上有5个点,边OB上有6个点,用这些点和O点为顶点,能构成多少个不同的三角形?19.12分已知1-2x+3x27=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x
14.1求a0+a1+a2+…+a14;2求a1+a3+a5+…+a
13.20.12分17个相同的球任意地放入4个相同的盒子中,每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种?27个相同的球任意地放入4个不同的盒子中,每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种?37个不同的球任意地放入4个相同的盒子中,每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种?47个不同的球任意地放入4个不同的盒子中,每个盒子至少有1个小球的不同放法一共有多少种?21.12分某地现有耕地10000亩,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩?精确到1亩22.12分规定C=,其中x∈R,m是正整数,且C=1,这是组合数Cn、m是正整数,且m≤n的一种推广.1求C的值;2设x0,当x为何值时,取得最小值?3组合数的两个性质
①C=C.
②C+C=C.是否都能推广到Cx∈R,m是正整数的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.第一章 计数原理B答案1.D [两个数的和等于11的情况有110,29,38,47,56,所以满足条件的子集有C·C·C·C·C=32个.]2.A [设有女生x人,则男生有6-x人,则有C-C=16,即6-x5-x4-x=24,将各选项代入检验即可得x=
2.故选A.]3.C4.B [分两类第一类,涂三种颜色,先涂点A,D,E有A种方法,再涂点B,C,F有2种方法,故有A×2=48种方法;第二类,涂四种颜色,先涂点A,D,E有A种方法,再涂点B,C,F有3C种方法,故共有A·3C=216种方法.由分类加法计数原理,共有48+216=264种不同的涂法.]5.A [至少有2枚正面朝上有三种情况两枚正面朝上C,三枚正面朝上C,四枚正面朝上C,所以共有C+C+C种.]6.D [由二项式定理,得Tr+1=Cx5-r·r=C·x5-2r·ar,∴5-2r=3,∴r=1,∴C·a=10,∴a=
2.]7.C8.C [由Cx+Cx2+…+Cxn=1+xn-1,分别将选项A、B、C、D代入检验知,仅有C适合.]9.D [fx=C2x+15·-10+C2x+14·-11+C2x+13·-12+C2x+12-13+C2x+11·-14+C2x+10·-15=[2x+1-1]5=2x5=32x
5.]10.C11.D [含x3项的系数是C-13+C-13+C-13+C-13=-121,故选D.]12.B [an=C·3n-2=nn-1·3n-2,则==18-,所以原式=18×1-+-+…+-=18×1-=
17.]13.362880解析 8辆车共有A种停法,将所有空位看作一个整体,插入8辆车形成的9个空中的一个即可,共有A×9=362880种方法.14.336解析 当每个台阶上各站1人时有AC种站法,当两个人站在同一台阶上时有CCC种站法,因此不同的站法有AC+CCC=210+126=336种.15.1316.210解析 由题意知,展开式各项的系数即为各项的二项式系数.第六项系数最大,即第六项为中间项,故n=
10.∴通项为Tr+1=C·x310-r·r=C·x30-5r.令30-5r=0,得r=
6.∴常数项为T7=C=
210.17.解 5人去3所学校每校至少去1人的派遣方法有两类1某一学校去1人,另外两校分别去2人,有C·C·C=30种;2某一学校去3人,另外两校分别去1人,有C·C·C=20种.故共有30+20=50种派遣方法.18.解 以O为三角形顶点,其余两顶点分别在OA和OB上取,能构成C·C=30个三角形;O不为顶点,又可分为两类即在OA上取两点,OB上取一点;或在OA上取一点,OB上取两点,则能构成C·C+C·C=10×6+5×15=135个三角形.故能构成不同的三角形共有30+135=165个.19.解 1令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=
128.
①2令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=
67.
②①-
②得2a1+a3+…+a13=27-67=-
279808.∴a1+a3+a5+…+a13=-
139904.20.解 1可以把7个球分成四份,有
1、
1、
3、2或
1、
1、
1、4或
1、
2、
2、2三种不同的放法,即不同放法共有3种.2当把7个球分成
1、
1、
3、2四份时,有C·C=12种不同放法;当把7个球分成
1、
1、
1、4四份时,有C=4种不同放法;当把7个球分成
1、
2、
2、2四份时,有C=4种不同放法;故不同放法共有C·C+C+C=20种.3当把7个不同球分成
1、
1、
3、2四份时,有=210种不同放法;当把7个不同球分成
1、
1、
1、4四份时,有=35种不同放法;当把7个不同球分成
1、
2、
2、2四份时,有=105种不同放法.故有不同放法210+35+105=350种.4由3可知不同放法共有350·A=350×24=8400种.21.解 设耕地平均每年减少x亩,现有人口为p人,粮食单产为m吨/亩,依题意≥1+10%,化简x≤103×[1-]=103[1-1+C×
0.01+C×
0.012+…]≈103[1-×
1.1045]≈
4.1,∴x≤4亩.答 耕地平均每年至多只能减少4亩.22.解 1C==-
680.2==x+-3.∵x0,∴x+≥2,当且仅当x=时,等号成立.∴当x=时,取得最小值.3性质
①不能推广,例如当x=时,有定义,但无意义;性质
②能推广,它的推广形式是C+C=C,x∈R,m是正整数.事实上,当m=1时,有C+C=x+1=C.当m≥2,C+C=+=·[+1]==C.。