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文本内容:
1.
2.1 任意角的三角函数二学习目标
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域重点.
2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切重点.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题难点.知识点1 三角函数的定义域正弦函数y=sinx的定义域是R;余弦函数y=cosx的定义域是R;正切函数y=tanx的定义域是{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.【预习评价】函数y=的定义域为________.解析 由cosx≥0得{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.答案 {x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}知识点2 三角函数线1.相关概念1单位圆以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2有向线段带有方向规定了起点和终点的线段.规定方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之为负值.2.三角函数线题型一 三角函数线及其作法【例1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.1;2;3-;4.解 作图,如图所示图1,2,3,4中的MP,OM,AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.规律方法 三角函数线的画法1作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.2作正切线时,应从A10点引x轴的垂线,交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T,即可得到正切线AT.【训练1】 1作出-的正弦线;2作出的正切线.解 1作出-的正弦线MP如图所示.2作出π的正切线AT如图所示.考查方向 题型二 三角函数线的应用方向1 利用三角函数线比较大小【例2-1】 利用三角函数线比较下列各组数的大小1sin与sin;2tan与tan.解 如图所示,角的终边与单位圆的交点为P,其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T,作PM⊥x轴,垂足为M,sin=MP,tan=AT;的终边与单位圆的交点为P′,其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′,作P′M′⊥x轴,垂足为M′,则sin=M′P′,tan=AT′,由图可见,MPM′P′0,ATAT′0,所以1sinsin,2tantan.方向2 利用三角函数线解不等式【例2-2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合1sinα≥;2tanα≥-1.解 1作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围,如图所示,故满足条件的角α的集合为.2在单位圆过点A10的切线上取AT=-1,连接OT,OT所在直线与单位圆交于P1,P2两点,则图中阴影部分即为角α终边的范围,如图所示,所以α的取值集合是.规律方法
1.利用三角函数线比较大小的两个注意点1角的终边的位置要找准;2比较两个三角函数值的大小,不仅要看其长度,还要看其方向.2.利用三角函数线解不等式的方法1首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边范围.2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.3写角的范围时,抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求.【训练2】 解不等式cosα≤-.解 作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域图中阴影部分即为角α终边的范围,如图所示,故满足条件的角α的集合为.题型三 求三角函数的定义域【例3】 求下列函数的定义域1fx=;2fx=lgsinx+.解 1∵要使函数fx有意义,∴sinx·tanx≥0,∴sinx与tanx同号或sinx·tanx=0,故x是第
一、四象限的角或终边在x轴上的角.∴函数的定义域为{x|2kπ-x2kπ+或x=2k+1π,k∈Z}.2由题意,要使fx有意义,则由sinx0得2kπx2kπ+πk∈Z,
①由9-x2≥0得-3≤x≤3,
②由
①②得fx的定义域为{x|0<x≤3}.规律方法 求三角函数定义域的方法1求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制.2要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.【训练3】 求下列函数的定义域1y=;2y=lg3-4sin2x.解 1∵2cosx-1≥0,∴cosx≥.如图,∴x∈k∈Z.∴函数的定义域为.2∵3-4sin2x0,∴sin2x,∴-sinx.如图,∴x∈∪k∈Z.即x∈k∈Z.∴函数的定义域为k∈Z.课堂达标1.下列四个命题中
①α一定时,单位圆中的正弦线一定;
②单位圆中,有相同正弦线的角相等;
③α和α+π有相同的正切线;
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.不正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3解析 由三角函数线的定义
①③④正确,
②不正确.答案 B2.如果α,那么下列不等式成立的是 A.cosαsinαtanαB.tanαsinαcosαC.sinαcosαtanαD.cosαtanαsinα解析 方法一 特值法令α=,则cosα=,tanα=,sinα=,故cosαsinαtanα.方法二 如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,则OMMPAT,即cosαsinαtanα.答案 A3.比较大小sin1________sin填“”或“”.解析 因为01,结合单位圆中的三角函数线,知sin1sin.答案 4.当x∈[02π]时,不等式sinx≥的解集为________.解析 如图所示,不等式的解集为{x|≤x≤}.答案 5.比较sin与tan的大小.解 的正弦线MP与正切线AT如图所示.由图易知sin0,tan0,∴sintan.基础过关1.下列说法不正确的是 A.当角α的终边在x轴上时,角α的正切线是一个点B.当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D.余弦线和正切线的始点都是原点解析 根据三角函数线的概念,A,B,C是正确的,只有D不正确,因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上.答案 D2.使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是 A.B.C.D.[0,π]解析 如图所示,当x=和x=-时,sinx=cosx,故使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是[-,].答案 A3.函数fx=tan2x-的定义域为 A.{x|x≠+kπ,k∈Z}B.{x|x≠+kπ,k∈Z}C.{x|x≠+2kπ,k∈Z}D.{x|x≠+kπ,k∈Z}解析 易知2x-≠+kπ,,k∈Z,即x≠+kπ,k∈Z,故fx的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}.答案 A4.若θ∈,,则sinθ的取值范围是________.解析 如图所示,作出和的正弦线,可得sinθ∈-,1.答案 -,15.比较大小sin
1.2________sin
1.5填“”或“”.解析 ∵
1.2∈0,,
1.5∈0,,正弦线在0,内随角α的增大而增大,∴sin
1.2sin
1.5.答案 6.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.1sinα=;2cosα=-.解 1作直线y=交单位圆于P,Q两点,则OP,OQ为角α的终边,如图甲.2作直线x=-交单位圆于M,N两点,则OM,ON为角α的终边,如图乙.7.求函数fx=+ln的定义域.解 由题意,得自变量x应满足不等式组 即则不等式组的解的集合如图阴影部分所示,即定义域为.能力提升8.点Psin3-cos3,sin3+cos3所在的象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 ∵π3π,作出单位圆如图所示.设MP,OM分别为a,b.sin3=a0,cos3=b0,所以sin3-cos30.因为|MP||OM|即|a||b|,所以sin3+cos3=a+b0.故点Psin3-cos3,sin3+cos3在第四象限.答案 D9.已知函数fx=2asin+b的定义域为,值域为[-51],则函数gx=abx+7在[b,a]上 A.有最大值2B.有最小值2C.有最大值1D.有最小值1解析 易知2x+∈[,],a0,∴由三角函数线易得fx∈[-a+b2a+b],即解得∴gx=2-3x+7,x∈[-32],故当x=2时,gx有最小值2.答案 B10.函数fx=的定义域为________.解析 如图所示.答案 {x|kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)]11.sin1,cos1,tan1的大小关系是________.解析 由题意1,在单位圆中作出锐角α=1的正切线、正弦线、余弦线,可知正切线最长,余弦线最短,所以有cos1sin1tan1.答案 cos1sin1tan112.设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.解 θ是第二象限角,即2kπ+θ2kπ+πk∈Z,故kπ+kπ+k∈Z.作出所在范围如图所示.当2kπ+2kπ+k∈Z时,cossintan.当2kπ+2kπ+πk∈Z时,sincostan.13.选做题利用三角函数线证明若0αβ,则β-αsinβ-sinα.证明 如图,单位圆O与x轴正半轴交于点A,与角α,β的终边分别交于点Q,P,过P,Q分别作OA的垂线,设垂足分别为点M,N,则由三角函数线定义可知sinα=NQ,sinβ=MP,过点Q作QH⊥MP于点H,于是MH=NQ,则HP=MP-MH=sinβ-sinα.由图可知HP=-=β-α,即β-αsinβ-sinα.。