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第一章 检测试题时间:120分钟 满分:150分【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的结构12直观图4空间几何体的侧面积与表面积378空间几何体的体积56910111415综合应用12131718192021
一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分
1.下列说法正确的是 D A有两个面平行其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D九棱柱有9条侧棱9个侧面侧面均为平行四边形解析:选项AB都不正确反例如图所示.选项C也不正确上、下底面是全等的菱形各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
2.如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体下面说法不正确的是 A A该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B该组合体仍然关于轴l对称C该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D该组合体中的球和半球只有一个公共点解析:组合体中只有一个球体和一个半球.故选A.
3.长方体的高为1底面积为2垂直于底的对角面的面积是则长方体的侧面积等于 C A2B4C6D3解析:设长方体的长、宽、高分别为abc则c=1ab=2·c=所以a=2b=1故S侧=2ac+bc=
6.
4.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形其中O′A′=2∠B′A′O′=45°B′C′∥O′A′.则原平面图形的面积为 A A3B6CD解析:因为O′A′=2∠B′O′A′=∠B′A′O′=45°所以O′B′=又B′C′∥O′A′所以∠C′B′O′=45°∠O′C′B′=90°所以B′C′=1所以原图形为梯形其上底为1下底为2高为2所以S==
3.
5.底面是边长为1的正方形侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A ABCD解析:底面ABCD外接圆的半径是即AO=则PO==所以四棱锥的外接球的半径为所以四棱锥的外接球的体积为π·3=.故选A.
6.如图正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为4动点EF在棱AB上且EF=2动点Q在棱D′C′上则三棱锥A′EFQ的体积 D A与点EF的位置有关B与点Q的位置有关C与点EFQ的位置都有关D与点EFQ的位置均无关是定值解析:==×·EF·AA′·A′D′=所以三棱锥A′EFQ的体积为定值与点EFQ的位置均无关.故选D.
7.已知圆台的上下底面半径分别为1和2高为1则该圆台的表面积为 B A3πB5+3πCπDπ解析:设圆台上底面的半径为r′下底面的半径为r高为h母线长为l.则r′=1r=2h=
1.则l==.由圆台表面积公式得S圆台=πr′2+r2+r′l+rl=π1+4++2=5+3π.故选B.
8.已知圆锥的底面半径为R高为3R在它的所有内接圆柱中表面积的最大值是 B A22πR2BπR2CπR2DπR2解析:如图所示为组合体的轴截面记BO1的长度为x由相似三角形的比例关系得=则PO1=3x圆柱的高为3R-3x所以圆柱的表面积为S=2πx2+2πx·3R-3x=-4πx2+6πRx则当x=R时S取最大值Smax=πR
2.故选B.
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中有如下问题:“今有委米依垣内角下周八尺高五尺.问:积及为米几何”其意思为“在屋内墙角处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分之一米堆底部的弧长为8尺米堆的高为5尺问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺圆周率约为3估算出堆放的米约有 B A14斛B22斛C36斛D66斛解析:设圆锥底面半径为r因为米堆底部弧长为8尺所以r=8r=≈尺所以米堆的体积为V=××π×2×5≈立方尺又1斛米的体积约为
1.62立方尺所以该米堆有÷
1.62≈22斛选B.
10.若两球的体积之和是12π经过两球球心的截面圆周长之和为6π则两球的半径之差为 A A1B2C3D4解析:设两球的半径分别为R、rRr则由题意得解得故R-r=
1.
11.如图所示在三棱柱ABCA1B1C1中侧棱垂直于底面AB=AC=BB1=BC=6EF为侧棱AA1上的两点且EF=3则多面体BB1C1CEF的体积为 A A30B18C15D12解析:=--=S△ABC×6-S△ABC·A1F-S△ABC·AE=S△ABC·[6-A1F+AE]=5S△ABC.因为AC=AB=BC=6所以S△ABC=×6×=
6.所以=5×6=
30.故选A.
12.如图在等腰梯形ABCD中AB=2DC=2∠DAB=60°E为AB的中点将△ADE和△BEC分别沿EDEC向上折起使AB重合于点P则三棱锥PDCE的外接球的体积为 C ABCD解析:因为ABCD为等腰梯形AB=2DCE为AB的中点所以AD=DE=CE=BC又∠DAB=60°所以△ADE△DCE△CEB均为边长为1的正三角形故翻折后的三棱锥PDCE为正四面体其高PO1==设球的半径为R所以R2=-R2+2得R=所以V=π.故选C.
二、填空题本大题共4小题每小题5分共20分
13.若圆锥的表面积是15π侧面展开图的圆心角是60°则圆锥的体积为 . 解析:设圆锥的底面半径是r母线长是l高为h则有所以l=6rr2=l2=.h2=l2-r2=75所以h=
5.所以V=πr2·h=π××5=π.答案:π
14.如图所示扇形的中心角为90°弦AB将扇形分成两个部分这两部分各以AO为轴旋转一周所得的旋转体体积V1和V2之比为 . 解析:Rt△AOB绕OA旋转一周形成圆锥其体积V1=R3扇形绕OA旋转一周形成半球面其围成的半球的体积V=R3所以V2=V-V1=R3-R3=R3所以V1∶V2=1∶
1.答案:1∶
115.现有橡皮泥制作的底面半径为5高为4的圆锥和底面半径为2高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个则新的底面半径为 . 解析:原两个几何体的总体积V=×π×52×4+π×22×8=π.由题意知新圆锥的高为4新圆柱的高为8且它们的底面半径相同可设两几何体的底面半径均为rr0则×π×r2×4+π×r2×8=π解得r2=7从而r=.答案:
16.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中EF是棱AB上的一条线段且EF=bba.若Q是CD上的动点则三棱锥QD1EF的体积为 . 解析:==S△QEF·DD1=×b×a×a=a2b.答案:a2b
三、解答题本大题共5小题共70分
17.本小题满分14分如图正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a连接A′C′A′DA′BBDBC′C′D得到一个三棱锥.求:1三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值;2三棱锥A′BC′D的体积.解:1因为ABCDA′B′C′D′是正方体所以A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D=a所以三棱锥A′BC′D的表面积为4××a××a=2a
2.而正方体的表面积为6a2故三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值为=.2三棱锥A′ABDC′BCDDA′D′C′BA′B′C′是完全一样的.故=V正方体-4=a3-4××a2×a=.
18.本小题满分14分已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形侧面是全等的等腰梯形且侧面面积等于上、下底面面积之和求棱台的高和体积.解:如图所示在三棱台ABCA′B′C′中O′O分别为上、下底面的中心DD′分别是BCB′C′的中点则DD′是等腰梯形BCC′B′的高所以S侧=3××20+30·DD′=75DD′.又A′B′=20cmAB=30cm则上、下底面面积之和为S上+S下=×202+302=325cm
2.由S侧=S上+S下得75DD′=325所以DD′=cm.又因为O′D′=×20=cmOD=×30=5cm所以棱台的高h=O′O===4cm由棱台的体积公式可得棱台的体积为V=S上+S下+=×325+×20×30=1900cm
3.
19.本小题满分14分养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐供融化高速公路上的积雪之用已建的仓库的底面直径为12m高4m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库以存放更多食盐现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m高不变;二是高度增加4m底面直径不变.1分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;2分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;3哪个方案更经济些解:1如果按方案一仓库的底面直径变为16m则仓库的体积V1=Sh=×π×2×4=m
3.如果按方案二仓库的高变为8m则仓库的体积V2=Sh=×π×2×8==96m
3.2如果按方案一仓库的底面直径变为16m半径为8m棱锥的母线长为l==4m则仓库的表面积S1=π×8×4=32πm2如果按方案二仓库的高变为8m.棱锥的母线长为l==10m则仓库的表面积S2=π×6×10=60πm
2.3因为V2V1S2S1所以方案二比方案一更加经济.
20.本小题满分14分如图某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6cm圆柱筒高为2cm.1这种“浮球”的体积是多少cm3结果精确到
0.12要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶如果每平方米需要涂胶100克那么共需胶多少克解:1因为半球的直径是6cm可得半径R=3cm所以两个半球的体积之和为V球=πR3=π·27=36πcm
3.又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18πcm
3.所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈
169.6cm
3.2根据题意上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36πcm2又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12πcm2所以1个“浮球”的表面积为S==πm
2.因此2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×π=12πm
2.因为每平方米需要涂胶100克所以共需要胶的质量为100×12π=1200π克.
21.本小题满分14分已知圆柱OO1的底面半径为2高为
4.1求从下底面圆周上一点出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;2若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一求截面面积;3在2的条件下设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ较大部分为Ⅱ求VⅠ∶VⅡ体积之比.解:1将侧面沿过该点的母线剪开铺平得到一个矩形邻边长分别是4π和4则从下底面圆周上一点出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长
4.2连接OAOB因为截面ABCD将底面圆周截去所以∠AOB=90°因为OA=OB=2所以AB=2而截面ABCD是矩形且AD=4所以S矩形ABCD=
8.3依题知V圆柱=Sh=16π三棱柱AOBDO1C的体积是8则VⅠ+8=V圆柱=4π所以VⅠ=4π-8而VⅡ=V圆柱-VⅠ=12π+8于是VⅠ∶VⅡ=.。