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xx-2019学年高二数学下学期入学摸底考试试题文第Ⅰ卷(选择题,共60分)题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.和直线都平行的直线的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.平行、相交或异面
2.直线的倾斜角为()A.B.C.D.
3.“”是“直线与垂直”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.
45.设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为()A.B.C.D.
6.从甲、乙等名同学中选2人参加社区服务,则甲恰被选中的概率为()A.B.C.D.
7.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为()A.B.C.D.
8.直线与圆相切,则的值是()A.或B.或C.或D.或
9.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则()A.B.C.D.
10.设若直线与线段相交,则的取值范围是()A.B.C.D.
11.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是()A.B.C.D.
12.过作圆的切线,直线与轴的交点为抛物线的焦点,与交于,则的中点到的准线的距离为()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题满分90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置上)
13.命题“存在”的否定是
14.在空间直角坐标系中,设,,则
15.已知双曲线的离心率为,焦点为,点在曲线上,若,则
16.已知、是椭圆的左、右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,若为等腰三角形,,则的离心率为
三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内)
17.(本小题满分10分)给定两个命题,命题对于任意实数,都有恒成立;命题方程表示一个圆若“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围
18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,,,为的中点.⑴证明平面;⑵若点在棱上,且,求点到平面的距离.
19.(本小题满分12分)已知圆,点⑴设点是圆上的一个动点,求的中点的轨迹方程;⑵直线与圆交于,求的值
20.(本小题满分12分)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°⑴求证AD⊥BC;⑵求异面直线BC与MD所成角的余弦值;⑶求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
21.(本小题满分12分)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,直线与抛物线交于,若⑴抛物线的方程;⑵若经过的直线交抛物线于,,若,求直线的方程
22.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,点是椭圆上的一个动点,的周长为,且存在点使得为正三角形⑴求椭圆的方程;⑵若是椭圆上不重合的四个点,与相交于点,若的斜率为,求四边形的面积屯溪一中xx–xx高二第二学期开学考试数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案CDACBCBDBCAD
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置上)
13.;
14.;
15.;
16.
三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内)
17.(本小题满分10分)解若真,即对于任意实数,都有恒成立ⅰ)若,即对于任意实数,都有恒成立;ⅱ)若,必须满足由ⅰ)、ⅱ)得真,的取值范围是………………分若真,即方程表示一个圆,只需,即所以真,的取值范围是………………分若“”为真命题,“”为假命题,即一真一假所以的取值范围是………………分
18.(本小题满分12分)⑴因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.由知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.⑵作CH⊥OM,垂足为H.又由
(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.所以OM=,CH==.所以点C到平面POM的距离为.【解析】分析
(1)连接,欲证平面,只需证明即可;
(2)过点作,垂足为,只需论证的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.详解
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.由知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由
(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.所以OM=,CH==.所以点C到平面POM的距离为.
19.(本小题满分12分)解⑴设,则,由于点是圆上的一个动点,有故的中点的轨迹方程为………………分⑵设,则
20.(本小题满分12分)(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(Ⅱ)解取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(Ⅲ)解连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
21.(本小题满分12分)解⑴依题意,设,则故抛物线的方程为⑵若经过的直线的斜率不存在,此时直线与抛物线交于,则关于轴对称,满足,即直线满足题意若经过的直线的斜率存在,设它为,则设,则说明点在线段的中垂线上,即线段的中垂线为即所以直线的方程为故直线的方程为或
22.(本小题满分12分)解⑴设为椭圆的半焦距,依题意有解得故椭圆的方程为………………分⑵,又,则或………………分………………分故四边形的面积为………………分。