还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第2课时 计数原理的综合应用
1.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题.
2.会根据实际问题合理分类或分步.探究点1 组数问题 用0,1,2,3,4五个数字,1可以排出多少个三位数字的电话号码?2可以排成多少个三位数?3可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?【解】 1三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125种.2三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第
二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100种.3被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12种排法;另一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.1.[变问法]由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数?解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2×3×3×2=36个.2.[变问法]在本例条件下,能组成多少个能被3整除的四位数?解一个四位数能被3整除,必须各位上数字之和能被3整除,故组成四位数四个数字只能是0,1,2,3或0,2,3,4两类.所以满足题设的四位数共有2×3×3×2×1=36个.解决组数间的方法1明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置末位或首位分类,分类中再按特殊位置或特殊元素优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.2要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.
1.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 A.6 B.9C.12D.24解析选B.根据0的位置进行分类第一类,0在个位有2110,1210,1120,共3个;第二类,0在十位有2101,1201,1102,共3个;第三类,0在百位有2011,1021,1012,共3个,故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为
9.2.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 A.120个B.80个C.40个D.20个解析选C.当十位数字为3时,个位数字和百位数字只能取1,2,能组成2个“伞数”;当十位数字为4时,个位数字和百位数字能取1,2,3,能组成3×2=6个“伞数”;当十位数字为5时,个位数字和百位数字能取1,2,3,4,能组成4×3=12个“伞数”;当十位数字为6时,个位数字和百位数字能取1,2,3,4,5,能组成5×4=20个“伞数”,所以共能组成2+6+12+20=40个“伞数”.探究点2 选抽取与分配问题 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有 A.16种 B.18种C.37种D.48种【解析】 法一直接法以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的一个班级去另外三个工厂,其分配方案共有3×3=9种;第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有3×3×3=27种.综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37种.法二间接法先计算3个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即4×4×4-3×3×3=37种方案.【答案】 C解决抽取分配问题的方法1当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.2当涉及对象数目很大时,一般有两种方法
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.
②间接法去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛,如果每班每项限报1人,则这3名学生的参赛的不同方法有 A.24种B.48种C.64种D.81种解析选A.由于每班每项限报1人,故当前面的学生选了某项之后,后面的学生不能再报,由分步乘法计数原理,共有4×3×2=24种不同的参赛方法.探究点3 涂色种植问题 1如图,要给地图上A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?2将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,求有多少种不同的种植方法.【解】 1法一按A→B→C→D的顺序分步涂色.第一步涂A区域,有4种不同的涂法;第二步涂B区域,从剩下的3种颜色中任选1种颜色,有3种不同的涂法;第三步涂C区域,再从剩下的2种不同颜色中任选1种颜色,有2种不同的涂法;第四步涂D区域,从与B、C区域不同的2种不同颜色中任选1种,有2种不同的涂法.根据分步乘法计数原理,共有4×3×2×2=48种不同的涂法.法二按所用颜色的多少分类涂色.第一类用三种颜色,有4×3×2×1×1=24种不同的涂法;第二类用四种颜色,有4×3×2×1=24种不同的涂法.根据分类加法计数原理,共有24+24=48种不同的涂法.2分别用a、b、c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.i若第三块田放c abc第
四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法.ii若第三块田放a aba第四块有b或c两种方法
①若第四块放c abac第五块有2种方法;
②若第四块放b abab第五块只能种作物c,共1种方法.综上,共有3×2×2×2+2+1=42种方法.解决涂色种植问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法1按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.2以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.3将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数.或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数. 从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的
①②③④各部分,若要求相邻的部分颜色不同,则不同的涂法共有多少种?解依题意,可分两类情况
①④不同色;
①④同色.第一类
①④不同色,则
①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成4步来完成.第一步涂
①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第二步涂
②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第三步涂
③与第四步涂
④时,分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理可得不同的涂法为5×4×3×2=120种.第二类
①④同色,则
①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第一步涂
①④,有5种涂法;第二步涂
②,有4种涂法;第三步涂
③,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得不同的涂法有5×4×3=60种.综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180种.1.2018·苏州模拟有A、B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床,不同的选派方法有 A.6种 B.5种C.4种D.3种解析选C.若选甲、乙二人,可以甲操作A种车床,乙操作B种车床,或甲操作B种车床,乙操作A种车床,共有2种选派方法;若选甲、丙二人,则只有甲操作B种车床,丙操作A种车床这一种选派方法;若选乙、丙二人,则只有乙操作B种车床,丙操作A种车床这一种选派方法.故共有2+1+1=4种不同的选派方法.故选C.2.用0,1,…,9这10个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243B.252C.261D.648解析选B.0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900个三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648个,所以有重复数字的三位数有900-648=252个.3.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为 A.84B.72C.64D.56解析选A.分两种情况
①当A,C同色时,A有4种选法,D有3种选法,B也有3种选法,共有4×3×3=36种涂色方法;
②当A,C不同色时,A有4种选法,C有3种选法,B有2种选法,D也有2种选法,共有4×3×2×2=48种涂色方法.由分类加法计数原理知总的涂色方法种数为36+48=
84.4.从1到200的自然数中,各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个?解第一类一位数中除8外符合要求的有8个;第二类两位数中,十位上数字除0和8外有8种情况,而个位数字除8外,有9种情况,有8×9个符合要求;第三类三位数中,百位上数字是1的,十位和个位上数字除8外均有9种情况,有9×9个,而百位上数字是2的只有200符合.所以总共有8+8×9+9×9+1=162个. 知识结构深化拓展解决较为复杂的计数问题综合应用合理分类,准确分步1.处理计数问题,应扣紧两个原理,根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”,要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.2.分类时要满足两个条件1类与类之间要互斥保证不重复;2总数要完备保证不遗漏,也就是要确定一个合理的分类标准.3.分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.特殊优先,一般在后解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置,体现出解题过程中的主次思想. [A 基础达标]1.把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有 A.24种 B.4种C.43种D.34种解析选C.第1封信投到信箱中有4种投法;第2封信投到信箱中也有4种投法;第3封信投到信箱中也有4种投法,只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法.2.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有 A.512个B.192个C.240个D.108个解析选D.能被5整除的四位数,可分为两类一类是末位为0,由分步乘法计数原理,共有5×4×3=60个.另一类是末位为5,由分步乘法计数原理共有4×4×3=48个.由分类加法计数原理得所求的四位数共有60+48=108个.3.2018·福建厦门模拟集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对x,y作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 A.9B.14C.15D.21解析选B.因为P={x,1},Q={y,1,2},且P⊆Q,所以x∈{y,2}.所以当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况;当x=y时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况;共有7+7=14种情况.即这样的点的个数为
14.4.2018·福建漳州长泰一中高二下学期期中从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个,其中一个作为底数,另一个作为真数,则可以得到不同对数值的个数为 A.64B.56C.53D.51解析选C.由于1只能作为真数,则以1为真数,从其余各数中任取一数为底数,对数值均为
0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数,共能组成8×7=56个对数式,其中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复了4次,所以得到不同对数值的个数为1+56-4=
53.故选C.5.2018·湖北八校联考某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择数字可以重复,有位车主上网自编号码,第一个号码从左到右想在数字
3、
5、
6、
8、9中选择,其他号码想在
1、
3、
6、9中选择,则他的车牌号码的所有可能情况有 A.180种B.360种C.720种D.960种解析选D.按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码的所有可能情况有5×3×4×4×4=960种.6.从集合{1,2,3,…,11}中任选2个元素作为椭圆方程+=1中的m和n,则落在矩形区域B={x,y||x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为________.解析根据题意,知当m=1时,n可等于2,3,…,8,共对应7个不同的椭圆;当m=2时,n可以等于1,3,…,8,共对应7个不同的椭圆.同理可得,当m=3,4,5,6,7,8时,各分别对应7个不同的椭圆;当m=9时,n可以等于1,2,…,8,共对应8个不同的椭圆;当m=10时,共对应8个不同的椭圆.综上所述,对应的椭圆共有7×8+8×2=72个.答案727.甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学生,现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有________种推选方法.解析分为三类
①甲班选1名,乙班选1名,根据分步乘法计数原理,有3×5=15种选法;
②甲班选1名,丙班选1名,根据分步乘法计数原理,有3×2=6种选法;
③乙班选1名,丙班选1名,根据分步乘法计数原理,有5×2=10种选法.综上,根据分类加法计数原理,共有15+6+10=31种推选方法.答案318.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则有________种不同的冠军获得情况.解析可先举例说出其中的一种情况,如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙,可见研究的对象是“3门学科”,只有3门学科各产生1名冠军,才算完成了这件事,而4名同学不一定每人都能获得冠军,故完成这件事分三步第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况;第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况;第3步,同理,产生第3个学科冠军,也有4种不同的获得情况.由分步乘法计数原理知,共有4×4×4=43=64种不同的冠军获得情况.答案649.有三项体育运动项目,每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.1学生甲参加了这三个运动项目,但只获得一个奖项,学生甲获奖的不同情况有多少种?2有4名学生参加了这三个运动项目,若一个学生可以获得多项冠军,那么各项冠军获得者的不同情况有多少种?解1三个运动项目,共有六个奖项,由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个.所以甲有6种不同的获奖情况.2每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况,故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4=64种. 10.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.143251是这个数列的第几项?2这个数列的第96项是多少?解将由1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类,共五类,每类组成的数字数为4×3×2×1=24个.1万位数字为4,且比43251小的数的个数有3×2×1+3×2×1+2+1=15个,所以43251是这个数列的第3×24+15+1=88项.2因为96=4×24,所以这个数列的第96项是
45321.[B 能力提升]11.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有 A.24种B.18种C.12种D.6种解析选B.法一直接法若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6种不同的种植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1=6种不同的种植方法.故共有6×3=18种不同的种植方法.法二间接法从4种蔬菜中选出3种种在三块地上,有4×3×2=24种方法,其中不种黄瓜有3×2×1=6种方法,故共有24-6=18种不同的种植方法.12.2018·内蒙古包头一中月考如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有________种.解析由题意,由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法B有4种涂法,C有3种涂法,D有3种涂法,所以共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.答案18013.2018·长沙模拟用1,2,3,4四个数字可重复的排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.1写出这个数列的前11项;2若an=341,求项数n.解1111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133;2比an=341小的数有两类
①首位是1或21××2××31×32×33×
②首位是3故共有2×4×4+1×3×4=44项.因此an=341是该数列的第45项,即n=
45.14.选做题用n种不同颜色为下列两块广告牌着色如图甲、乙,要求在
①,
②,
③,
④四个区域中相邻有公共边界的区域不用同一种颜色.1若n=6,为甲着色时共有多少种不同方法?2若为乙着色时共有120种不同方法,求n的值.解完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为
①,
②,
③,
④着色时各自的方法数,再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.1为
①着色有6种方法,为
②着色有5种方法,为
③着色有4种方法,为
④着色也有4种方法.所以共有着色方法6×5×4×4=480种.2与1的区别在于与
④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是nn-1n-2n-3.由nn-1n-2n-3=120,所以n2-3nn2-3n+2-120=
0.即n2-3n2+2n2-3n-12×10=
0.所以n2-3n-10=
0.所以n=
5.。