2018-2019学年高中数学第三章推理与证明2数学证明学案北师大版选修1-2

§2　数学证明学习目标　

1.理解演绎推理的意义.

2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.

3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一　演绎推理的含义思考　分析下面几个推理，找出它们的共同点．1所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；2一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．答案　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理知识点二　三段论思考　所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案　分为三段．大前提所有的金属都能导电；小前提铜是金属；结论铜能导电．梳理类型一　演绎推理与三段论例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．1平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；2等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；3通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．解　1平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论2等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论3在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2n－1＋3]＝2常数，小前提通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1　1推理“

①矩形是平行四边形；

②正方形是矩形；

③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．填序号2函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为大前提________________________________________________________________________；小前提________________________________________________________________________；结论________________________________________________________________________.答案　1

②2一次函数y＝kx＋bk≠0的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线类型二　三段论的应用例2　如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明　因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论反思与感悟　1用“三段论”证明命题的格式2用“三段论”证明命题的步骤

①理清证明命题的一般思路；

②找出每一个结论得出的原因；

③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2　已知在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证EF∥平面BCD.证明　因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD.结论例3　设函数fx＝，其中a为实数，若fx的定义域为R，求实数a的取值范围．解　若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提因为fx的定义域为R，小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论所以Δ＝a2－4a0，所以0a

4.即当0a4时，fx的定义域为R.引申探究　若例3的条件不变，求fx的单调增区间．解　∵f′x＝，令f′x＝0，得x＝0或x＝2－a.∵0a4，∴当0a2时，2－a0，∴在－∞，0和2－a，＋∞上，f′x0，∴fx的单调增区间为－∞，0，2－a，＋∞．当a＝2时，f′x≥0恒成立，∴fx的单调增区间为－∞，＋∞．当2a4时，2－a0，∴在－∞，2－a和0，＋∞上，f′x0，∴fx的单调增区间为－∞，2－a，0，＋∞．综上所述，当0a2时，fx的单调增区间为－∞，0，2－a，＋∞；当a＝2时，fx的单调增区间为－∞，＋∞；当2a4时，fx的单调增区间为－∞，2－a，0，＋∞．跟踪训练3　已知函数fx＝ax＋a1，证明函数fx在－1，＋∞上是增加的．证明　方法一　定义法任取x1，x2∈－1，＋∞，且x1x2，fx2－fx1＝＋－－＝＋－.因为x2－x10，且a1，所以而－1x1x2，所以x1＋10，x2＋10，所以fx2－fx10，所以fx在－1，＋∞上是增加的．方法二　导数法fx＝ax＋＝ax＋1－.所以f′x＝axlna＋.因为x－1，所以x＋120，所以

0.又因为a1，所以lna0，ax0，所以axlna0，所以f′x

0.故fx＝ax＋在－1，＋∞上是增加的.1．下面几种推理过程是演绎推理的是　　A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝n≥2，由此归纳出{an}的通项公式答案　A解析　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．2．“因为对数函数y＝logax是增函数大前提，又是对数函数小前提，所以是增函数结论．”下列说法正确的是　　A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案　A解析　y＝logax是增函数错误，故大前提错误．3．三段论“

①只有船准时起航，才能准时到达目的港，

②这艘船是准时到达目的港的，

③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是　　A．

①B．

②C．

①②D．

③答案　D4．把“函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提____________；小前提____________；结论____________.答案　二次函数的图像是一条抛物线　函数y＝x2＋x＋1是二次函数　函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明　因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的判别式Δ＝b2－4ac0，那么方程有两个相异实根，大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝－2m2－4m－1＝4m2－4m＋4＝2m－12＋30，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.

一、选择题1．《论语·学路》篇中说“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是　　A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案　C2．正弦函数是奇函数，fx＝sinx2＋1是正弦函数，因此fx＝sinx2＋1是奇函数．以上推理　　A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案　C解析　由于函数fx＝sinx2＋1不是正弦函数．故小前提不正确．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是　　A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案　C解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．4．函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增加的　　A.B．π，2πC.D．2π，3π答案　B解析　y′＝－xsinx．当x∈π，2π时，y′0，∴y＝xcosx－sinx在π，2π上是增加的．5．下面几种推理中是演绎推理的是　　A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点01B．猜想数列，，，……的通项公式为an＝n∈N＋C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为x－a2＋y－b2＝r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为x－a2＋y－b2＋z－c2＝r2答案　A6．在R上定义运算⊗x⊗y＝x1－y．若不等式x－a⊗x＋a1对任意实数x都成立，则　　A．－1a1B．0a2C．－aD．－a答案　C解析　由题意知，x－a⊗x＋a＝x－a[1－x＋a]＝－x2＋x＋a2－a，∴－x2＋x＋a2－a

1.即x2－x－a2＋a＋10对任意实数x都成立，则Δ＝1－4－a2＋a＋10，∴4a2－4a－30，解得－a.

二、填空题7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是“当有意义时，a≥0”；小前提“有意义”；结论是“__________________”．答案　y＝的定义域是[4，＋∞解析　由大前提知，log2x－2≥0，解得x≥

4.8．有一段演绎推理大前提整数是自然数；小前提－3是整数；结论－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．填“大前提”“小前提”“结论”答案　大前提9．已知推理因为△ABC的三边长依次为345，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________________．答案　一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形解析　大前提一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提△ABC的三边长依次为345，满足32＋42＝52；结论△ABC是直角三角形．10．“由a2＋a＋1x3，得x”的推理过程中，其大前提是____________________．答案　不等式两边同乘一个大于0的数，不等号方向不变11．若不等式ax2＋2ax＋20的解集为∅，则实数a的取值范围为__________．答案　

[02]解析　∵不等式ax2＋2ax＋20无解，则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R.∴当a＝0时，2≥0，显然成立；当a≠0时，解得0a≤

2.∴a的取值范围为

[02]．12．若fa＋b＝fafba，b∈N＋，且f1＝2，则＋＋…＋＝________.答案　2014解析　利用三段论．∵fa＋b＝fafba，b∈N＋，大前提令b＝1，则＝f1＝2，小前提∴＝＝…＝＝2，结论∴原式＝＝

2014.

三、解答题13．已知fx＝，先分别求f0＋f1，f－1＋f2，f－2＋f3，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．证明　∵fx＝，∴f0＋f1＝＋＝＋＝.同理可得f－1＋f2＝，f－2＋f3＝.猜想fx＋f1－x＝.设x1＋x2＝1，则fx1＋fx2＝

14.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴旋转．1当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；2当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解　1如图，取AB的中点E，连接CE，DE.因为AC＝BC＝，AB＝2，所以△ABC为等腰直角三角形，所以CE⊥AB.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE平面ADB，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥CE.由已知，得DE＝AB＝，CE＝

1.所以在Rt△CDE中，CD＝＝

2.2当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，所以C，D都在AB的垂直平分线上，所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时，由1知，AB⊥DE，AB⊥CE，又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.

四、探究与拓展15．定义在R上的函数fx满足f－x＝－fx＋4，且fx在2，＋∞上为增函数．已知x1＋x24且x1－2·x2－20，则fx1＋fx2的值　　A．恒小于0B．恒大于0C．可能等于0D．可正也可负答案　A解析　不妨设x1－20，x2－20，则x12，x22，∴2x24－x1，∴fx2f4－x1，即－fx2－f4－x1，从而－fx2－f4－x1＝fx1，∴fx1＋fx

20.定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P。