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文本内容:
2.
2.2 反证法学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.知识点 反证法王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想?答案 运用了反证法思想.思考2 反证法解题的实质是什么?答案 否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确.梳理 1反证法的概念一般地,由证明p⇒q转向证明綈q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.2反证法常见的几种矛盾
①与假设矛盾.
②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
③与公认的简单事实矛盾例如,导出0=10≠0之类的矛盾.3反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的条件和结论.
②做出与命题结论相矛盾的假设.
③由假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果.
④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.1.反证法属于间接证明问题的方法. √ 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理. × 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾. √ 类型一 用反证法证明否定性命题例1 已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证,,不成等差数列.证明 假设,,成等差数列,则2=+,∴4b=a+c+
2.
①∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,
②由
②得b=,代入
①式,得a+c-2=-2=0,∴a=c,从而a=b=c.这与已知a,b,c不成等差数列相矛盾,∴假设不成立.故,,不成等差数列.反思与感悟 对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明,从正面突破较困难时,可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,推出矛盾,从而达到证题的目的.跟踪训练1 已知正整数,a,b,c满足a2+b2=c
2.求证a,b,c不可能都是奇数.证明 假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.左边=奇数+奇数=偶数,右边=奇数,得偶数=奇数,矛盾.∴假设不成立,∴a,b,c不可能都是奇数.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a,b,c∈02,求证2-ab,2-bc,2-ca不能都大于
1.证明 假设2-ab,2-bc,2-ca都大于
1.因为a,b,c∈02,所以2-a02-b02-c
0.所以≥
1.同理,≥1,≥
1.三式相加,得++3,即33,矛盾.所以2-ab,2-bc,2-ca不能都大于
1.反思与感悟 1用反证法证明“至少”“至多”类命题,可减少讨论情况,目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么,避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.2常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表跟踪训练2 已知a,b,c是互不相等的实数,求证由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点,由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=2b2-4ac≤0,Δ2=2c2-4ab≤0,且Δ3=2a2-4bc≤
0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0,所以a-b2+b-c2+a-c2≤0,所以a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证方程2x=3有且只有一个根.证明 ∵2x=3,∴x=log
23.这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3至少有两个根b1,b2b1≠b2,则=3=3,两式相除得=1,∴b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2矛盾.∴假设不成立,从而原命题得证.反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性.跟踪训练3 求证两条相交直线有且只有一个交点.证明 设两直线为a,b,假设结论不成立,即有两种可能无交点;至少有两个交点.1若直线a,b无交点,那么a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾;2若直线a,b至少有两个交点,设为A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.所以假设不成立,两条相交直线有且只有一个交点.1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中 A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°答案 B3.“ab”的反面应是 A.a≠bB.abC.a=bD.a=b或ab答案 D4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设 A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于cC.a⊥bD.a与b相交答案 D5.已知fx=x2+px+q.1求证f1+f3-2f2=2;2求证|f1|,|f2|,|f3|中至少有一个不小于.证明 1f1+f3-2f2=1+p+q+9+3p+q-24+2p+q=
2.2假设|f1|,|f2|,|f3|中至少有一个不小于不成立,则|f1|,|f2|,|f3|都小于,则|f1|+2|f2|+|f3|
2.因为|f1|+2|f2|+|f3|≥f1+f3-2f2=1+p+q+9+3p+q-8+4p+2q=2,这与|f1|+2|f2|+|f3|2相矛盾,所以假设不成立,原命题成立,所以|f1|,|f2|,|f3|中至少有一个不少于.用反证法证题要把握三点1必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.2反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾;
②与假设矛盾;
③与定义、公理、定理矛盾;
④与事实矛盾.其中正确的为 A.
①②③④B.
①③C.
①③④D.
①②答案 A2.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为 A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都是奇数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数”.3.1已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;2已知a,b∈R,|a|+|b|1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于
1.用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1,以下结论正确的是 A.1与2的假设都错误B.1与2的假设都正确C.1的假设正确;2的假设错误D.1的假设错误;2的假设正确答案 D解析 1的假设应为p+q2,2的假设正确.4.有下列叙述
①“x=y”的反面是“xy或xy”;
②“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;
③“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有 A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析
①对;
②错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;
③错,应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.5.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于 A.0B.C.D.1答案 B解析 假设a,b,c都小于,则a+b+c1,故与已知a+b+c=1相矛盾.故选B.6.设a,b,c都是正数,则三个数a+,b+,c+ A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2答案 C解析 假设a+2,b+2,c+2,则++
6.又++=++≥2+2+2=6,这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于
2.
二、填空题7.用反证法证明命题“若x2-a+bx+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设________________.答案 x=a或x=b8.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.
②所以一个三角形不能有两个直角.
③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.上述步骤的正确顺序为________.答案
③①②9.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲我没有偷;乙丙是小偷;丙丁是小偷;丁我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是________.答案 甲解析 假如甲我没有偷是真的,则乙丙是小偷;丙丁是小偷是假的;丁我没有偷就是真的,与他们四人中有一人说真话矛盾.假如甲我没有偷是假的,则丁我没有偷就是真的,乙丙是小偷,丙丁是小偷是假的,成立.∴可以判断偷珠宝的人是甲.10.完成反证法证题的全过程.题目设a1,a2,…,a7是由数字12,…,7任意排成的一个数列,求证乘积p=a1-1a2-2…a7-7为偶数.证明假设p为奇数,则________均为奇数.
①因为7个奇数之和为奇数,故有a1-1+a2-2+…+a7-7为________.
②而a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=________.
③②与
③矛盾,故p为偶数.答案
①a1-1,a2-2,…,a7-7
②奇数
③0解析 由假设p为奇数可知,a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=0为奇数,这与0为偶数相矛盾.11.若下列两个方程x2+a-1x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是____________________.答案 -∞,-2]∪[-1,+∞解析 若两方程均无实根,则Δ1=a-12-4a2=3a-1-a-10,∴a-1或a.Δ2=2a2+8a=4aa+20,∴-2a0,故-2a-
1.若两个方程至少有一个方程有实根,则a≤-2或a≥-
1.
三、解答题12.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证a,b,c中至少有一个是大于0的.证明 假设a,b,c都不大于0,则a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0,而a+b+c=++=x2-2x+y2-2y+z2-2z+π=x-12+y-12+z-12+π-3,∴a+b+c
0.这与a+b+c≤0矛盾,∴假设不成立,故a,b,c中至少有一个是大于0的.13.已知fx=ax+a1,求证方程fx=0没有负数根.证明 假设x0是fx=0的负数根,则x00且x0≠-1,且ax0=-,∴0ax01,∴0-1,解得x02,这与x00矛盾,故方程fx=0没有负数根.
四、探究与拓展14.若a,b,c,d都是有理数,,都是无理数,且a+=b+,则a与b,c与d之间的数量关系为_______________________________________________________________.考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 a=b,c=d解析 假设a≠b,令a=b+mm是不等于零的有理数,于是b+m+=b+,所以m+=,两边平方整理得=.左边是无理数,右边是有理数,矛盾,因此a=b,从而c=d.15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+
3.1求数列{an}的通项an与前n项和Sn;2设bn=n∈N+,求证数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.1解 设公差为d,由已知得∴d=2,故an=2n-1+,Sn=nn+.2证明 由1得bn==n+.假设数列{bn}中存在三项bp,bq,brp,q,r互不相等成等比数列,则b=bpbr,即q+2=p+r+,∴q2-pr+2q-p-r=
0.∵p,q,r∈N+,∴∴2=pr,p-r2=0,∴p=r,这与p≠r矛盾.∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有不存在至少有两个至多有n-1个至少有n+1个。