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2.
2.2 间接证明学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.知识点一 间接证明思考 阅读下列证明过程,若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数.证明假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,∴a2+b2为偶数,∴a2+b2≠c2,这与已知矛盾,∴a,b,c不可能都是奇数.请问上述证法是直接证明吗?为什么?答案 不是直接证明,因为这种证明既不是直接从条件出发,也不是从结论出发.梳理 间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.反证法就是一种常用的间接证明方法.间接证明还有同一法、枚举法等.知识点二 反证法王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想?答案 运用了反证法思想.思考2 反证法解题的实质是什么?答案 否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确.梳理 1反证法证明过程反证法证明时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定即肯定原命题.2反证法证明命题的步骤
①反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真.
②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果.
③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.1.反证法属于间接证明问题的方法. √ 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理. × 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾. √ 类型一 用反证法证明否定性命题例1 已知a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,求证a2+b2+c2+d2+ab+cd≠
1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=
1.因为ad-bc=1,所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0,即a+b2+c+d2+a-d2+b+c2=
0.所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0,则a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾,故假设不成立.所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠
1.反思与感悟 1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.2用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1 已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证,,不成等差数列.证明 假设,,成等差数列,则2=+,∴4b=a+c+
2.
①∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,
②由
②得b=,代入
①式,得a+c-2=-2=0,∴a=c,从而a=b=c.这与已知a,b,c不成等差数列相矛盾,∴假设不成立.故,,不成等差数列.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a,b,c∈02,求证2-ab,2-bc,2-ca不能都大于
1.证明 假设2-ab,2-bc,2-ca都大于
1.因为a,b,c∈02,所以2-a02-b02-c
0.所以≥
1.同理,≥1,≥
1.三式相加,得++3,即33,矛盾.所以2-ab,2-bc,2-ca不能都大于
1.反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂.这时,可用反证法证明,证明时常见的“结论词”与“反设词”如下跟踪训练2 已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd
1.求证a,b,c,d中至少有一个是负数.证明 假设a,b,c,d都不是负数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥
0.∵a+b=c+d=1,∴b=1-a≥0,d=1-c≥0,∴ac+bd=ac+1-a1-c=2ac-a+c+1=ac-a+ac-c+1=ac-1+ca-1+
1.∵ac-1≤0,ca-1≤0,∴ac-1+ca-1+1≤1,即ac+bd≤1,与ac+bd1相矛盾,∴假设不成立,∴a,b,c,d中至少有一个是负数.类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证方程2x=3有且只有一个根.证明 ∵2x=3,∴x=log
23.这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3至少有两个根b1,b2b1≠b2,则=3=3,两式相除得=1,∴b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2矛盾.∴假设不成立,从而原命题得证.反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性.跟踪训练3 若函数fx在区间[a,b]上是增函数,求证方程fx=0在区间[a,b]上至多有一个实根.证明 假设方程fx=0在区间[a,b]上至少有两个实根,设α,β为其中的两个实根.因为α≠β,不妨设αβ,又因为函数fx在[a,b]上是增函数,所以fαfβ.这与假设fα=0=fβ矛盾,所以方程fx=0在区间[a,b]上至多有一个实根.1.证明“在△ABC中至多有一个钝角”,第一步的假设应是________.答案 三角形中至少有两个钝角2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中________________.答案 每一个内角都小于60°3.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是________.填序号
①与已知条件矛盾;
②与假设矛盾;
③与定义、公理、定理矛盾;
④与事实矛盾.答案
①②③④4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设________.答案 a与b相交5.已知平面α和一点P.求证过点P与α垂直的直线只有一条.证明 如图所示,不论点P在α内还是在α外,设PA⊥α,垂足为A或P.假设过点P不止有一条直线与α垂直,如还有另一条直线PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,∴假设不成立,原命题成立.用反证法证题需把握三点1必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.2反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
一、填空题1.下面关于反证法的说法正确的有________.填序号
①反证法的应用需要逆向思维;
②反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定;
③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾;
④使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,论证一种即可.答案
①②解析 反证法是一种间接证明方法,利用逆向思维且否定结论时,一定要全面否定,不能只否定一点,故
①②正确,使用反证法必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,否则证明是不完全的,故
④错误,反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾,故
③错误.2.命题“a,b是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”用反证法证明时应假设为__________________________.答案 a≠1或b≠1解析 “a=b=1”是“a=1且b=1”,又“p且q”的否定为“綈p或綈q”,所以“a=b=1”的否定为“a≠1或b≠1”.3.有下列叙述
①“ab”的反面是“ab”;
②“x=y”的反面是“xy或xy”;
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”.其中正确叙述的序号为________.答案
②解析
①错,应为a≤b;
②对;
③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上.4.已知平面α∩平面β=直线a,直线b⊂α,直线c⊂β,b∩a=A,c∥a,求证b与c是异面直线,若利用反证法证明,则应假设________________.答案 b与c共面解析 “异面”的否定为“共面”.5.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1a,b是常数,且ab,那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个.答案 0解析 假设存在序号和数值均相等的项,即存在n,使得an=bn.但若ab,n∈N*,则恒有anbn,从而an+2bn+1恒成立,所以不存在n,使得an=bn.6.若a,b,c,d都是有理数,,都是无理数,且a+=b+,则a与b,c与d之间的数量关系为________.考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 a=b,c=d解析 假设a≠b,令a=b+mm是不等于零的有理数,于是b+m+=b+,所以m+=,两边平方整理得=.左边是无理数,右边是有理数,矛盾,因此a=b,从而c=d.7.用反证法证明命题“若x2-a+bx+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设_______________.答案 x=a或x=b8.设a,b,c都是正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于0”的________条件.填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”答案 充要解析 PQR0有两种情况,P,Q,R同时大于0或P,Q,R中有两项都小于0,第三项大于
0.若P=a+b-c0,Q=b+c-a0,R=c+a-b0,则a+bc,b+ca,则b0,与b是正实数相矛盾,故不可能同时有两项都小于0,只能有P,Q,R都大于
0.9.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲我没有偷;乙丙是小偷;丙丁是小偷;丁我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是________.答案 甲解析 假如甲我没有偷是真的,则乙丙是小偷;丙丁是小偷是假的;丁我没有偷就是真的,与他们四人中只有一人说真话矛盾.假如甲我没有偷是假的,则丁我没有偷就是真的,乙丙是小偷,丙丁是小偷是假的,成立.∴可以判断偷珠宝的人是甲.10.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误;
②所以一个三角形不能有两个直角;
③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为__________.填序号答案
③①②11.已知等差数列{an}的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则算错的数应为________.答案 S4=56解析 显然S1是正确的.假设后三个数均未算错,则a1=8,a2=12,a3=16,a4=29,这四项不成等差数列,但可知前三项成等差数列,故a4有误,应为20,故S4算错了,S4应为
56.
二、解答题12.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证a,b,c中至少有一个是大于0的.证明 假设a,b,c都不大于0,则a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0,而a+b+c=++=x2-2x+y2-2y+z2-2z+π=x-12+y-12+z-12+π-3,∴a+b+c
0.这与a+b+c≤0矛盾,∴假设不成立,故a,b,c中至少有一个是大于0的.13.已知fx=ax+a1,求证方程fx=0没有负数根.证明 假设x0是fx=0的负数根,则x00且x0≠-1,且=-,又01,∴0-1,解得x02,这与x00矛盾,故方程fx=0没有负数根.
三、探究与拓展14.若下列两个方程x2+a-1x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是____________________.答案 -∞,-2]∪[-1,+∞解析 若两方程均无实根,则Δ1=a-12-4a2=3a-1-a-10,∴a-1或a.Δ2=2a2+8a=4aa+20,∴-2a0,故-2a-
1.∴若两个方程至少有一个方程有实根,则a≤-2或a≥-
1.15.设{an}是公比为q的等比数列.1推导数列{an}的前n项和公式;2设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.考点 反证法及应用题点 反证法的应用1解 设数列{an}的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,
②由
①-
②得,1-qSn=a1-a1qn,所以Sn=,综上所述,Sn=2证明 假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,ak+1+12=ak+1ak+2+1,a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,因为a1≠0,所以2qk=qk-1+qk+
1.因为q≠0,所以q2-2q+1=0,所以q=1,这与已知矛盾.所以假设不成立,故数列{an+1}不是等比数列.结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n-1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n+1个p且q綈p或綈q。