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文本内容:
2.2 排序不等式
1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的研究过程.
2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.自学导引设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+…+anbn为两个实数组的顺序积之和简称顺序和,称a1bn+a2bn-1+…+anb1为两个实数组的反序积之和简称反序和.称a1c1+a2c2+…+ancn为两个实数组的乱序积之和简称乱序和.不等式a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn称为排序原理,又称为排序不等式.等号成立反序和等于顺序和⇔a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,排序原理可简记作反序和≤乱序和≤顺序和.基础自测
1.已知a,b,c∈R*,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是 A.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3a2b+b2+c+c2aD.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a解析 不妨设a≥b≥c0,∴a2≥b2≥c2,故顺序和为a3+b3+c3,则a2b+b2c+c2a为乱序和,由排序不等式定理知a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a,故选B.答案 B
2.已知a,b,c∈R*,则a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab的正负情况是 A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析 不妨设a≥b≥c,∴a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc,∴a2-bc≥b2-ac≥c2-ab,由排序不等式定理,a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab≥
0.答案 B
3.设a1,a2,a3,…,an为正数,那么P=a1+a2+…+an与Q=++…++的大小关系是________.解析 假设a1≥a2≥a3≥…≥an,则≥≥…≥≥,并且a≥a≥a≥…≥a,P=a1+a2+a3+…+an=+++…+,是反顺和,Q是乱顺和,由排序不等式定理P≤Q.答案 P≤Q知识点1 利用排序原理证明不等式【例1】已知a,b,c为正数,求证≥abc.证明 根据所需证明的不等式中a,b,c的“地位”的对称性,不妨设a≥b≥c,则≤≤,bc≤ca≤ab.由排序原理顺序和≥乱序和,得++≥++.即≥a+b+c,因为a,b,c为正数,所以abc0,a+b+c0,于是≥abc.
1.已知a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,求证a1b1+a2b2+…+anbn≥a1+a2+…+anb1+b2+…+bn.证明 令S=a1b1+a2b2+…+anbn,则S≥a1b2+a2b3+…+anb1,S≥a1b3+a2b4+…+anb2,……S≥a1bn+a2b1+…+anbn-1将上面n个式子相加,并按列求和可得nS≥a1b1+b2+…+bn+a2b1+b2+…+bn+…+anb1+b2+…+bn=a1+a2+…+anb1+b2+…+bn∴S≥a1+a2+…+anb1+b2+…+bn即a1b1+a2b2+…+anbn≥a1+a2+…+anb1+b2+…+bn.【例2】设a1,a2,…,an是n个互不相同的正整数,求证1+++…+≤a1+++…+.证明 ∵122232…n2,∴….设c1,c2,…,cn是a1,a2,…,an由小到大的一个排列,即c1c2c3…cn,根据排序原理中,反序和≤乱序和,得c1+++…+≤a1+++…+,而c1,c2,…,cn分别大于或等于1,2,…,n,∴c1+++…+≥1+++…+=1++…+,∴1+++…+≤a1++…+.
2.设c1,c2,…,cn为正数组a1,a2,…,an的某一排列,求证++…+≥n.证明 不妨设0a1≤a2≤…≤an,则≥≥…≥.因为,,…,是,,…,的一个排序,故由排序原理反序和≤乱序和得a1·+a2·+…+an·≤a1·+a2·+…+an·.即++…+≥n.知识点2 利用排序原理求最值【例3】设a,b,c为任意正数,求++的最小值.解 不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,≥≥,由排序不等式得,++≥++++≥++上述两式相加得2≥3即++≥.当且仅当a=b=c时,++取最小值.
3.设0a≤b≤c且abc=
1.试求++的最小值.证明 令S=++,则S=++=·bc+·ac+·ab由已知可得≥≥,ab≤ac≤bc∴S≥·ac+·ab+·bc=++又S≥·ab+·bc+·ac=++两式相加得2S≥++≥3·=
3.∴S≥,即++的最小值为.课堂小结排序不等式有着广泛的实际应用,在应用时,一定在认真分析题设条件的基础上观察要证结论的结构特征,从而分析出要用排序原理中反序和≤乱序和,或是乱序和≤顺序和,或者反序和≤顺序和.不少命题的证明可能多次用到排序原理.切比晓夫不等式也可当作定理直接应用.随堂演练
1.利用排序原理证明若a1,a2,…,an为正数,则≥.证明 不妨设a1≥a2≥a3≥…≥an0,则有≤≤…≤由切比晓夫不等式,得≤·,即≤·,∴≥.
2.已知a,b,c为正数,a≥b≥c.求证++≥++.证明 ∵a≥b≥c0,∴a3≥b3≥c3,∴a3b3≥a3c3≥b3c3,∴≤≤,又a5≥b5≥c5,由排序原理得++≥++顺序和≥乱序和,即++≥++,又∵a2≥b2≥c2,≤≤由乱序和≥反序和得++≥++=++.∴++≥++.基础达标
1.已知a,b,c∈R+则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是 A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2aD.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a解析 根据排序原理,取两组数a,b,c;a2,b2,c2,不妨设a≥b≥c,所以a2≥b2≥c
2.所以a2·a+b2·b+c2·c≥a2b+b2c+c2a.答案 B
2.设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,则a1b+a2+b+…+anb的最小值是 A.1B.nC.n2D.无法确定解析 设a1≥a2≥…≥an>
0.可知a≥a≥…≥a,由排序原理,得a1b+a2b+…+anb≥a1a+a2a+…+ana=n.答案 B
3.已知a,b,c∈R+,则a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab的正负情况是 A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析 设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab0所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab≥
0.答案 B
4.已知a,b,c都是正数,则++≥________.解析 设a≥b≥c>0,所以≥≥.由排序原理,知++≥++,
①++≥++,
②①+
②,得++≥.答案
5.证明切比晓夫不等式中的
2.即,若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,则≤·.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立.证明 不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.则由排序原理得a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2…a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-
1.将上述n个式子相加,得na1b1+a2b2+…+anbn≤a1+a2+…+anb1+b2+…+bn上式两边除以n2,得≤.等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.
6.设a1,a2,…,an为实数,证明≤.证明 不妨设a1≤a2≤…≤an,由切比晓夫不等式得≥·,即≥,∴≤.综合提高
7.设a1,a2,…,an为正数,求证++…++≥a1+a2+…+an.证明 不妨设a1a2…an0,则有aa…a也有…,由排序原理乱序和≥反序和,得++…+≥++…+=a1+a2+…+an.
8.设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证≥.证明 方法一不妨设ABC,则有abc由排序原理顺序和≥乱序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3aA+bB+cC≥A+B+Ca+b+c=πa+b+c∴≥.方法二不妨设ABC,则有abc,由切比晓夫不等式≥·,即aA+bB+cC≥a+b+c,∴≥.
9.设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.证明 不妨设a≥b≥c0,∴a2≥b2≥c2,由排序原理顺序和≥反序和,得a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2bc3+a3≥a2c+c2a三式相加得2a3+b3+c3≥ab2+c2+bc2+a2+ca2+b
2.又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.所以2a3+b3+c3≥6abc,∴a3+b3+c3≥3abc.当且仅当a=b=c时,等号成立.
10.设a,b,c是正实数,求证aabbcc≥abc.证明 不妨设a≥b≥c0,则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得3alga+blgb+clgc≥a+b+clga+lgb+lgc即lgaabbcc≥lgabc,故aabbcc≥abc.
11.设xi,yii=1,2,…,n是实数,且x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,而z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的一个排列.求证xi-yi2≤xi-zi
2.证明 要证xi-yi2≤xi-zi2只需证y-2xiyi≤z-2xizi.因为y=z,∴只需证xizi≤xiyi.而上式左边为乱序和,右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式xi-yi2≤xi-zi2成立.
12.已知a,b,c为正数,且两两不等,求证2a3+b3+c3a2b+c+b2a+c+c2a+b.证明 不妨设abc
0.则a2b2c2,a+ba+cb+c,∴a2a+b+b2a+c+c2b+ca2b+c+b2a+c+c2a+b,即a3+c3+a2b+b2a+b2c+c2ba2b+c+b2a+c+c2a+b,7又∵a2b2c2,abc,∴a2b+b2aa3+b3,b2c+c2bb3+c
3.即a2b+b2a+b2c+c2ba3+2b3+c3,所以有2a3+b3+c3a2b+c+b2a+c+c2a+b.。