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(三)充分条件与必要条件层级一 学业水平达标1.设p x3,q-1x3,则p是q成立的 A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析选C 因为-13-∞,3,所以p是q成立的必要不充分条件.2.下面四个条件中,使ab成立的充分不必要条件是 A.a≥b+1B.ab-1C.a2b2D.a3b3解析选A 由a≥b+1b,从而a≥b+1⇒ab;反之,如a=4,b=
3.5,则
43.54≥
3.5+1,故aba≥b+1,故A正确.3.已知a,b是实数,则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab0”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选B 因为|a+b|=|a|+|b|⇔a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2⇔|ab|=ab⇔ab≥0,而由ab≥0不能推出ab0,由ab0能推出ab≥0,所以由|a+b|=|a|+|b|不能推出ab0,由ab0能推出|a+b|=|a|+|b|,故选B.4.设φ∈R,则“φ=0”是“fx=cosx+φx∈R为偶函数”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析选A φ=0时,函数fx=cosx+φ=cosx是偶函数,而fx=cosx+φ是偶函数时,φ=π+kπk∈Z.故“φ=0”是“函数fx=cosx+φ为偶函数”的充分不必要条件.5.使|x|=x成立的一个必要不充分条件是 A.x≥0B.x2≥-xC.log2x+10D.2x1解析选B ∵|x|=x⇔x≥0,∴选项A是充要条件.选项C、D均不符合题意.对于选项B,∵由x2≥-x得xx+1≥0,∴x≥0或x≤-
1.故选项B是使|x|=x成立的必要不充分条件.6.如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的___________条件.解析因为逆否命题为假,所以原命题为假,即AB.又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,所以A是B的必要不充分条件.答案必要不充分7.条件p1-x0,条件q xa,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.解析p x1,若p是q的充分不必要条件,则p⇒q,但,也就是说,p对应集合是q对应集合的真子集,所以a
1.答案-∞,18.下列命题
①“x2且y3”是“x+y5”的充要条件;
②b2-4ac0是一元二次不等式ax2+bx+c0解集为R的充要条件;
③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;
④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.其中真命题的序号为______________.解析
①x2且y3时,x+y5成立,反之不一定,如x=0,y=
6.所以“x2且y3”是“x+y5”的充分不必要条件;
②不等式解集为R的充要条件是a0且b2-4ac0,故
②为假命题;
③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,∴a=
2.因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件;
④lgx+lgy=lgxy=0,∴xy=1且x0,y
0.所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然.因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.综上可知,真命题是
④.答案
④9.下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件.1p|x|=|y|,q x=y;2p△ABC是直角三角形,q△ABC是等腰三角形;3p四边形的对角线互相平分,q四边形是矩形;4p圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,q c2=a2+b2r
2.解1∵|x|=|y|x=y,但x=y⇒|x|=|y|,∴p是q的必要不充分条件.2∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形,△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形,∴p是q的既不充分也不必要条件.3∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形,四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,∴p是q的必要不充分条件.4若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,则圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,所以c2=a2+b2r2;反过来,若c2=a2+b2r2,则=r成立,说明x2+y2=r2的圆心00到直线ax+by+c=0的距离等于r,即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,故p是q的充要条件.10.已知命题p对数函数fx=loga-2t2+7t-5a0,且a≠1有意义,q关于实数t的不等式t2-a+3t+a+
20.1若命题p为真,求实数t的取值范围;2若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.解1因为命题p为真,则对数函数的真数-2t2+7t-50,解得1t.所以实数t的取值范围是.2因为命题p是q的充分条件,所以是不等式t2-a+3t+a+20的解集的子集.因为方程t2-a+3t+a+2=0的两根为1和a+2,所以只需a+2≥,解得a≥.即实数a的取值范围为.层级二 应试能力达标1.“0ab”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选A 当0ab时,ab成立,所以是充分条件;当ab时,有ab,不能推出0ab,所以不是必要条件,故选A.2.下列说法正确的是 A.“x0”是“x1”的必要条件B.已知向量m,n,则“m∥n”是“m=n”的充分条件C.“a4b4”是“ab”的必要条件D.在△ABC中,“ab”不是“AB”的充分条件解析选A A中,当x1时,有x0,所以A正确;B中,当m∥n时,m=n不一定成立,所以B不正确;C中,当ab时,a4b4不一定成立,所以C不正确;D中,当ab时,有AB,所以“ab”是“AB”的充分条件,所以D不正确.故选A.3.已知直线l,m,平面α,且m⊂α,则 A.“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件B.“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件C.l∥m⇒l∥αD.l∥α⇒l∥m解析选B 很明显l⊥α⇒l⊥m,l⊥ml⊥α,l∥ml∥α,l∥αl∥m,故选B.4.设p≤x≤1;q x-ax-a-1≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 A.B.C.D.解析选B ∵q a≤x≤a+1,p是q的充分不必要条件,∴或解得0≤a≤.5.已知关于x的方程1-ax2+a+2x-4=0a∈R,则该方程有两个正根的充要条件是________.解析方程1-ax2+a+2x-4=0有两个实根的充要条件是即⇔设此时方程的两根分别为x1,x2,则方程有两个正根的充要条件是⇔⇔1a≤2或a≥
10.答案12]∪[10,+∞6.已知“-1km”是“方程x2+y2+kx+y+k2=0表示圆”的充分条件,则实数m的取值范围是________.解析当方程x2+y2+kx+y+k2=0表示圆时,k2+3-4k20,解得-1k1,所以-1m≤1,即实数m的取值范围是-11].答案-11]7.已知p关于x的方程4x2-2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集,q1-m≤a≤1+m,m
0.若q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解∵q是p的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.对于p,依题意,知Δ=-2a2-4×42a+5=4a2-8a-20≤0,∴-2≤a≤
10.设P={a|-2≤a≤10},Q={a|1-m≤a≤1+m,m0},由题意知PQ,∴或解得m≥9,∴实数m的取值范围是[9,+∞.8.已知数列{an}的前n项和Sn=n+12+l.1证明l=-1是{an}是等差数列的必要条件.2试问l=-1是否为{an}是等差数列的充要条件?请说明理由.解1证明∵a1=S1=4+l,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+
1.∴a2=5,a3=
7.∵{an}是等差数列,则2a2=a1+a3,即2×5=4+l+7,解得l=-
1.故l=-1是{an}是等差数列的必要条件.2当l=-1时,Sn=n+12-1,a1=S1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+
1.又a1=3适合上式,∴an=2n+1n∈N*.又∵an+1-an=2,∴{an}是公差为2,首项为3的等差数列.∴l=-1是{an}是等差数列的充分条件.又由1知l=-1是{an}是等差数列的必要条件,∴l=-1是{an}是等差数列的充要条件.。