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课时跟踪检测
(六)椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为 A.6 B.7C.8D.9解析选B 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=
7.2.若椭圆+=1的焦距为2,则m的值为 A.5B.3C.5或3D.8解析选C 由题意得c=1,a2=b2+c
2.当m4时,m=4+1=5;当m4时,4=m+1,∴m=
3.3.命题甲动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2aa0,常数;命题乙P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析选B 利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2aa0,常数,∴甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2aa0,常数是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为仅当2a|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a|AB|时,P点无轨迹,∴甲不是乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件.4.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是 A.a3B.a-2C.a3或a-2D.a3或-6a-2解析选D 由a2a+60得所以所以a3或-6a-
2.5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为 A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1解析选B 由已知2c=|F1F2|=2,∴c=.∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,∴a=
2.∴b2=a2-c2=
9.故椭圆C的标准方程是+=1或+=
1.6.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.解析由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,∴在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=
8.答案87.已知椭圆C经过点A23,且点F20为其右焦点,则椭圆C的标准方程为________________.解析法一依题意,可设椭圆C的方程为+=1ab0,且可知左焦点为F′-20.从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的标准方程为+=
1.法二依题意,可设椭圆C的方程为+=1ab0,则解得b2=12或b2=-3舍去,从而a2=
16.所以椭圆C的标准方程为+=
1.答案+=18.椭圆的两焦点为F1-40,F240,点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为__________.解析如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,∴×8b=12,∴b=
3.又∵c=4,∴a2=b2+c2=
25.∴椭圆的标准方程为+=
1.答案+=19.求符合下列条件的椭圆的标准方程.1过点和;2过点-32且与椭圆+=1有相同的焦点.解1设所求椭圆方程为mx2+ny2=1m0,n0,m≠n.∵椭圆过点和,∴解得∴所求椭圆的标准方程为x2+=
1.2由题意得已知椭圆+=1中a=3,b=2,且焦点在x轴上,∴c2=9-4=
5.∴设所求椭圆方程为+=
1.∵点-32在所求椭圆上,∴+=
1.∴a′2=15或a′2=3舍去.∴所求椭圆的标准方程为+=
1.10.已知椭圆+=1ab0的焦点分别是F10,-1,F201,且3a2=4b
2.1求椭圆的标准方程;2设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解1依题意,知c2=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为+=
1.2由于点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=
4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得cos∠F1PF2==.故∠F1PF2的余弦值等于.层级二 应试能力达标1.下列说法中正确的是 A.已知F1-40,F240,平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B.已知F1-40,F240,平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.平面内到点F1-40,F240两点的距离之和等于点M53到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D.平面内到点F1-40,F240距离相等的点的轨迹是椭圆解析选C A中,|F1F2|=8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A错误;B中,到F1,F2两点的距离之和等于6,小于|F1F2|,这样的轨迹不存在,所以B错误;C中,点M53到F1,F2两点的距离之和为+=4|F1F2|=8,则其轨迹是椭圆,所以C正确;D中,轨迹应是线段F1F2的垂直平分线,所以D错误.故选C.2.椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,已知·=0,则△F1PF2的面积为 A.9 B.12C.10D.8解析选A ∵·=0,∴PF1⊥PF
2.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2且|PF1|+|PF2|=2a.又a=5,b=3,∴c=4,∴
②2-
①,得2|PF1|·|PF2|=36,∴|PF1|·|PF2|=18,∴△F1PF2的面积为S=·|PF1|·|PF2|=
9.3.若α∈,方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是 A.B.C.D.解析选A 易知sinα≠0,cosα≠0,方程x2sinα+y2cosα=1可化为+=
1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以0,即sinαcosα
0.又α∈,所以α.4.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆x+32+y2=1和圆x-32+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.5B.7C.13D.15解析选B 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=
7.5.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为0,-4,则k的值为________.解析易知k≠0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.答案6.已知椭圆C+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.解析取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2|GF1|+|GF2|=4a=
12.答案127.已知点P在椭圆上,且P到椭圆的两个焦点的距离分别为
53.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.解法一设所求的椭圆方程为+=1ab0或+=1ab0,由已知条件得解得所以b2=a2-c2=
12.于是所求椭圆的标准方程为+=1或+=
1.法二设所求的椭圆方程为+=1ab0或+=1ab0,两个焦点分别为F1,F
2.由题意知2a=|PF1|+|PF2|=3+5=8,所以a=
4.在方程+=1中,令x=±c,得|y|=;在方程+=1中,令y=±c,得|x|=.依题意有=3,得b2=
12.于是所求椭圆的标准方程为+=1或+=
1.
8.如图在圆C x+12+y2=25内有一点A10.Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.解如图,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=
5.又A10,C-10,故点M的轨迹是以10,-10为焦点的椭圆,且2a=5,故a=,c=1,b2=a2-c2=-1=.故点M的轨迹方程为+=
1.。