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课时跟踪检测
(十六)导数的运算法则层级一 学业水平达标1.已知函数fx=ax2+c,且f′1=2,则a的值为 A.1 B. C.-1 D.0解析选A ∵fx=ax2+c,∴f′x=2ax,又∵f′1=2a,∴2a=2,∴a=
1.2.函数y=x+12x-1在x=1处的导数等于 A.1B.2C.3D.4解析选D y′=[x+12]′x-1+x+12x-1′=2x+1x-1+x+12=3x2+2x-1,∴y′|x=1=
4.3.若y=x2·4x,则y′= A.x2·4x+2xB.2x+x2·4xC.2x+x2ln4·4xD.x+x2·4x解析选C y′=x2′·4x+x24x′=2x·4x+x2·4xln4=2x+x2ln4·4x,故选C.4.曲线y=x3-3x2+1在点1,-1处的切线方程为 A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5解析选B 因为点1,-1在曲线y=x3-3x2+1上,所以该点处切线的斜率为k=y′|x=1=3x2-6x|x=1=3-6=-3,∴切线方程为y+1=-3x-1,即y=-3x+
2.5.设曲线fx=ax-lnx在点1,f1处的切线与y=2x平行,则a= A.0B.1C.2D.3解析选D f′x=a-,由题意得f′1=2,即a-1=2,所以a=
3.6.2017·全国卷Ⅰ曲线y=x2+在点12处的切线方程为________.解析设y=fx,则f′x=2x-,所以f′1=2-1=
1.所以在12处的切线方程为y-2=1×x-1,即y=x+
1.答案y=x+17.已知函数fx=f′cosx+sinx,则f的值为________.解析∵f′x=-f′sinx+cosx,∴f′=-f′×+,得f′=-
1.∴fx=-1cosx+sinx.∴f=
1.答案18.若曲线fx=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a=________.解析因为f′x=sinx+xcosx,所以f′=sin+cos=
1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-,所以根据题意得1×=-1,解得a=
2.答案29.求下列函数的导数.1y=-lnx; 2y=x2+1x-1;3y=; 4y=.解1y′=-lnx′=′-lnx′=-.2y′=[x2+1x-1]′=x3-x2+x-1′=x3′-x2′+x′-1′=3x2-2x+
1.3y′==.4y′==.10.已知函数fx=,gx=alnx,a∈R.若曲线y=fx与曲线y=gx相交且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.解f′x=,g′x=x>0,由已知得解得a=,x=e2,所以两条曲线交点的坐标为e2,e.切线的斜率为k=f′e2=,所以切线的方程为y-e=x-e2,即x-2ey+e2=
0.层级二 应试能力达标1.函数y=sinxcosx+1的导数是 A.cos2x-cosx B.cos2x+sinxC.cos2x+cosxD.cos2x+cosx解析选C y′=sinx′cosx+1+sinxcosx+1′=cosxcosx+1+sinx-sinx=cos2x+cosx,故选C.2.若函数fx=ax4+bx2+c满足f′1=2,则f′-1等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0解析选B ∵f′x=4ax3+2bx为奇函数,∴f′-1=-f′1=-
2.3.曲线y=x2ex在点11处切线的斜率等于 A.2eB.eC.3eD.1解析选C 函数的导数为f′x=2xex+x2ex=exx2+2x.当x=1时,f′1=3e,即曲线y=x2ex在点11处切线的斜率k=f′1=3e,故选C.4.若fx=x2-2x-4lnx,则f′x>0的解集为 A.0,+∞B.-10∪2,+∞C.2,+∞D.-10解析选C ∵fx=x2-2x-4lnx,∴f′x=2x-2->0,整理得>0,解得-1<x<0或x>2,又因为fx的定义域为0,+∞,所以x>
2.5.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0=________.解析由题知y′1=,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为,3x-2x0+2,所以=3,所以x0=
1.答案16.已知函数fx=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=x垂直的切线,则实数m的取值范围是________.解析∵fx=ex-mx+1,∴f′x=ex-m,∵曲线C存在与直线y=x垂直的切线,∴f′x=ex-m=-2成立,∴m=2+ex>2,故实数m的取值范围是2,+∞.答案2,+∞7.偶函数fx=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P01,且在x=1处的切线方程为y=x-2,求fx的解析式.解∵fx的图象过点P01,∴e=
1.又∵fx为偶函数,∴f-x=fx.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0,d=
0.∴fx=ax4+cx2+
1.∵函数fx在x=1处的切线方程为y=x-2,∴切点为1,-1.∴a+c+1=-
1.∵f′1=4a+2c,∴4a+2c=
1.∴a=,c=-.∴函数fx的解析式为fx=x4-x2+
1.8.设抛物线C y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.1求k的值;2过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.解1设点P的坐标为x1,y1,则y1=kx1,
①y1=-x+x1-4,
②由
①②,得x+x1+4=
0.∵点P为切点,∴Δ=2-16=0,得k=或k=.当k=时,x1=-2,y1=-
17.当k=时,x1=2,y1=
1.∵点P在第一象限,∴所求的斜率k=.2过点P作切线的垂线,其方程为y=-2x+
5.
③将
③代入抛物线方程,得x2-x+9=
0.设Q点的坐标为x2,y2,即2x2=9,∴x2=,y2=-4,∴Q点的坐标为.。