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xx-2019学年高二数学下学期第二次质量检测试题理本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)第一部分1至2页,第二部分2至4页,共150分考试时间120分钟注意事项请把答案做在答题卡上第一部分(选择题共60分)
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知=x26x+5则函数在点(3,f
(3))处切线的倾斜角为(▲)A.0B.C.D.不存在2.设P是椭圆上一点,是椭圆的焦点,若|PF1|=4,则|PF2|等于(▲)A.4B.5C.6D.
83.设,若=3,则(▲)A.B.C.D.
4.若空间向量=(1,2,0),=(﹣4,0,2),且两向量夹角为θ,则下列结论正确的是(▲)A.cosθ=120°B.⊥C.∥D.||=||
5.函数的单调递增区间为(▲)A.B.C.D.
6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是(▲)A.45°B.60°C.90°D.30°
7.若二次函数y=fx的图象过原点,且它的导数的图象是经过第
二、
三、四象限的一条直线,则y=fx的图象顶点在(▲)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
8.非直角三角形ABC的三内角A,B,C的所对的边分别为a,b,c,则”a<b”是”tanA<tanB”的(▲)A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件
9.设椭圆和双曲线的公共焦点为,是两曲线的一个公共点,则的值等于(▲)A.B.C.D.
10.如图,从上往下向一个球状空容器注水,注水速度恒定不变,直到t0时刻水灌满容器时停止注水,此时水面高度为h0.水面高度h是时间t的函数,这个函数图象只可能是(▲)
10.A.B.C.D.
11.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)分别为曲线上不同的两点,F(1,0),x2=4x1+3,则=(▲)A.2B.3C.D.
412.已知函数是定义在R上的增函数则不等式的解集为(▲)A.B.C.D.第II卷(非选择题90分)
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.定积分___________.
14.如图在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=4,AC=3,一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且|PA|-|PB|的值保持不变若以AB所在直线为x坐标轴,且AB方向为正方向,AB的中垂线为y坐标轴则曲线E的轨迹方程为___________.
15.已知函数有两个零点,则的取值范围是.
16.关于函数,下列说法正确的是.
①是的最大值点
②函数有且只有1个零点
③存在正实数,使得恒成立
④对任意两个不相等的正实数,若,则
三、解答题本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分设函数fx=1求fx在点1,f1处的切线方程.2求函数fx的单调区间.
18.本小题满分12分如图,已知抛物线焦点为,直线经过点且与抛物线相交于,两点
(1)若线段,求线段的中点到y轴的距离.
(2)若线段的中点在直线上,求直线的方程;19.本小题满分12分某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为xx≥0万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为fx万元与gx万元,其中fx=ax-1+2,gx=6lnx+ba>0,b>0.已知投资额为零时收益均为零.1求a,b的值;2如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润.
20.本小题满分12分在四棱锥P-ABCD中,△ABC,△ACD都为等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,△PAC是边长为2的等边三角形,PB=,E为PA的中点.1求证BE⊥平面PAD;2求二面角C-PA-D的余弦值.21.本小题满分12分已知函数(a∈R).
(1)若f(x)存在单调递增区间,请求出a的取值范围.
(2)当a=3,x∈[0,1]时,求证f(x)≤-1;
22.本小题满分12分已知椭圆:的上顶点为,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是曲线上的动点,关于轴的对称点为,点,直线与曲线的另一个交点为与不重合;
①试讨论直线B是否过定点,若过定点求出定点坐标;
②过P作直线PH⊥B,垂足为H试求H的轨迹方程蓬溪县高xx级第四期第二次质量检测数学理科试题答案
一、选择题题号123456789101112答案A.C.D.D.C.B.B.A.A.C.D.A.二.填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上
13.e-
114.-=1(x<0)
15.-<c<
016.
②④
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.1解由f′x=-ex+ex=ex,则f′1=0又f1=e故fx在点1,f1处的切线方程为y=e……………………………………5分2解由f′x=-ex+ex=ex,由f′x=0,得x=
1.…………………………………………7分因为当x<0时,f′x<0;当0<x<1时,f′x<0;当x>1时,f′x>
0.故fx的单调递增区间是[1,+∞;单调递减区间是-∞,0和0,1].…………………………………………10分18解
(1)线段的中点到y轴的距离等于
9.……………………5分
(2)设,设直线的方程为,…………………………………………………6分与抛物线方程联立得,消元得,所以有,,…………………………9分由题意得;…………………11分故直线的方程是…………………………12分
19.解1由投资额为零时收益为零,可知f0=-a+2=0,解得a=2,…………………………………………2分g0=6lnb=0,解得b=
1.…………………………………………5分2由1可得fx=2x,gx=6lnx+1.设投入经销B商品的资金为x万元0<x≤5,则投入经销A商品的资金为5-x万元,设所获得的收益为Sx万元,则Sx=25-x+6lnx+1=6lnx+1-2x+100<x≤5.…………………………………………8分S′x=-2,令S′x=0,得x=
2.当0<x<2时,S′x>0,函数Sx单调递增;当2<x≤5时,S′x<0,函数Sx单调递减.………………………………10分所以,当x=2时,函数Sx取得最大值,Sxmax=S2=6ln3+6万元.所以,当投入经销A商品3万元,B商品2万元时,他可获得最大收益,收益的最大值约为6ln3+6万元.…………………………………………12分
20.1证明△ABC与△ACD都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,∴∠ACB=∠DAC=45°,AC=BC,∴BC∥AD,AB=BC=,∵E为PA的中点,且AB=PB=,∴BE⊥PA,……………………………………2分在△PBC中,PC2=PB2+BC2,∴BC⊥PB.又∵BC⊥AB,且PB∩AB=B,∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PAB,∴BE⊥BC,又∵BC∥AD,∴BE⊥AD,又∵PA∩AD=A,∴BE⊥平面PAD.…………………………………………6分2由1可知BC,AB,BP两两垂直,以B为原点,BC,AB,BP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A0,,0,B000,C,00,P00,,则=,-,0,=0,-,.设平面PAC的一个法向量为m=x,y,z,则即故取m=111……………………………9分又由1知BE⊥平面PAD,故=0,,为平面PAD的一个法向量,由cos〈m,〉==,故二面角C-PA-D的余弦值.…………………………………………12分
21.解1由f′(x)=ax-ex≥0,当x>0时,解得a≥,令g(x)=,g′(x)=,可得x=1时,函数g(x)取得极小值即最小值,∴a≥g
(1)=e.…………………………………………3分当x<0时,解得a≤,同理可得a<0.综上可得a∈(-∞,0)∪[e,+∞).…………………………………………6分2当a=3时,,则f(x)=3x-ex.令g(x)=f(x),则g(x)=3-ex.当x∈[0,1],有ex∈[1,e].因此g(x)=3-ex>0恒成立.故当x∈[0,1]时,g(x)=f(x)单调递增.又由f
(0)=-1<0,f
(1)=3-e>0,则存在唯一的x0∈(0,1),使得f(x0)=0.…………………………………………9分列表如下x0(0,x0)x0(x0,1)1f(x)-1-0+3-ef(x)-1单调递减极小值单调递增当x∈[0,1]时,.…………11分故由;则当a=3,x∈[0,1]时,f(x)≤-1.……………………………12分
22.解
(1),,,故椭圆方程为………………………4分
(2)
①设直线方程为,设则由消去得,则,……………………………………5分∴,的中点坐标为,直线的斜率所以直线方程为即………………………………………7分若过定点,据椭圆的对称性,则定点应该在x坐标轴上故令,得=;将,,代入上式整理得==即直线与轴的交点为定点………………………………………9分
②又由,取又由
①M为定点;故H的轨迹是以PM为直径的圆的一部份,故方程为+=(-<x<-1).………………………………………12分(若没有给范围,可扣1分)ACB。