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活页作业二十三 方程的根与函数的零点时间45分钟 满分100分
一、选择题每小题5分，共25分1．函数fx＝x2－3x－4的零点是 A．1，－4 B．4，－1C．13D．不存在解析函数fx＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的两根4与－
1.答案B2．函数fx＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是 A．－2，－1B．－10C．01D．12解析f0＝－10，f1＝20，且函数fx＝3x＋x－2的图象在01上连续不断．答案C3．已知函数fx的图象是连续不断的，有如下的x，fx对应值表x1234567fx
123.
521.5－
7.
8211.57－
53.7－
126.7－
129.6那么函数fx在区间
[16]上的零点至少有 A．2个 B．3个C．4个 D．5个解析由表可知f2·f30，f3·f40，f4·f
50.∴fx在
[16]上至少有3个零点．故选B.答案B4．已知x0是函数fx＝2x－logx的零点，若0x1x0，则fx1的值满足 A．fx10B．fx10C．fx1＝0D．fx10与fx10均有可能解析由于fx在0，＋∞上是增函数，所以fx1fx0＝
0.答案B5．已知函数fx＝－log2x，在下列区间中，包含fx的零点的区间是 A．01B．12C．24D．4，＋∞解析法一对于函数fx＝－log2x，因为f2＝2＞0，f4＝－
0.5＜0，根据零点的存在性定理知选C.法二在同一坐标系中作出函数hx＝与gx＝log2x的大致图象，如图所示，可得fx的零点所在的区间为24．答案C
二、填空题每小题5分，共15分6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断
①在－2，－1内有实数根；
②在－10内有实数根；
③在12内有实数根；
④在－∞，＋∞内没有实数根．其中正确的有________．填序号解析设fx＝x3＋x2－2x－1，则f－2＝－1＜0，f－1＝1＞0，f0＝－1＜0，f1＝－1＜0，f2＝7＞0，则fx在－2，－1，－1012内均有零点，即
①②③正确．答案
①②③7．方程lgx＋x－1＝0有________个实数根．解析由原方程得lgx＝－x＋1，问题转化为函数y＝lgx的图象与函数y＝－x＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根．答案18．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则a的取值范围是________．解析∵二次函数y＝x2－2ax＋a－1的开口向上，又其一个零点大于1，另一个零点小于1，∴当x＝1时，其函数值小于零，即12－2a×1＋a－1＜
0.∴a＞
0.答案a＞0
三、解答题每小题10分，共20分9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．1fx＝x2＋x＋2；2fx＝；3fx＝3x＋1－7；4fx＝log52x－3．解1令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，所以方程无实数根．所以fx＝x2＋x＋2不存在零点．2因为fx＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－
6.3令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点是log
3.4令log52x－3＝0，解得x＝2，所以函数的零点是
2.10．已知函数fx＝－3x2＋2x－m＋
1.1当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．2若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．解1函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋121－m＞0，可解得m＜.由Δ＝0，可解得m＝；由Δ＜0，可解得m＞.故当m＜时，函数有两个零点；当m＝时，函数有一个零点；当m＞时，函数无零点．2因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝
1.
一、选择题每小题5分，共10分1．函数fx＝x3－x的零点个数是 A．0B．1C．2D．无数个解析作出y＝x3与y＝x的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数fx只有一个零点．故选B.答案B2．若方程x＝log2x的解为x1，方程－x＝log2x的解为x2，则x1x2的取值范围为 A．01B．1，＋∞C．12D．[1，＋∞解析由已知，得x1＝log2x1，－x2＝log2x2，在同一坐标系中，画出函数y＝x，y＝－x及y＝log2x的图象，如图所示．观察图象可知，x1＞10＜x2＜1，∴0＜x1＜，－x2＜－，即0＜log2x1＜，log2x2＜－，两式相加，得log2x1＋log2x2＜0，∴log2x1x2＜0，即0＜x1x2＜
1.答案A
二、填空题每小题5分，共10分3．若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是k，k＋1，则整数k＝______.解析方程为log3x＋x－3＝0，设fx＝log3x＋x－3，∵f2＝log32－10，f3＝10，即f2·f30，∴函数在23内存在零点．∴k＝
2.答案24．函数fx＝log2x－x＋2的零点的个数为________．解析令fx＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－
2.令y1＝log2x，y2＝x－
2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数fx＝log2x－x＋2有两个零点．答案2
三、解答题每小题10分，共20分5．已知函数fx＝ax2－4x＋
2.1若f2－x＝f2＋x，求fx的解析式．2已知a≤1，若函数y＝fx－log2在区间
[12]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．解1因为f2－x＝f2＋x，所以fx的对称轴为x＝2，即－＝2，即a＝
1.所以fx＝x2－4x＋
2.2因为y＝fx－log2＝ax2－4x＋5－log2x，设rx＝ax2－4x＋5，sx＝log2xx∈
[12]，则原命题等价于两个函数rx与sx的图象在区间
[12]内有唯一交点，当a＝0时，rx＝－4x＋5在区间
[12]内为减函数，sx＝log2xx∈
[12]为增函数，且r1＝1＞s1＝0，r2＝－3＜s2＝1，所以函数rx与sx的图象在区间
[12]内有唯一交点．当a＜0时，rx图象开口向下，对称轴为x＝＜0，所以rx在区间
[12]内为减函数，sx＝log2xx∈
[12]为增函数，则由⇒⇒－1≤a≤1，所以－1≤a＜
0.当0＜a≤1时，rx图象开口向上，对称轴为x＝≥2，所以rx在区间
[12]内为减函数，sx＝log2xx∈
[12]为增函数，则由⇒⇒－1≤a≤1，所以0＜a≤
1.综上所述，实数a的取值范围为[－11]．6．已知函数fx＝x2－k－2x＋k2＋3k＋5有两个零点．1若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；2若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．解1∵－1和－3是函数fx的两个零点，∴－1和－3是方程x2－k－2x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．则解得k＝－
2.2若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－k－2x＋k2＋3k＋5＝0的两根，∴则∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是，即α2＋β2的取值范围为.。
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