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文本内容:
1.
1.2 弧度制学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换重点.
2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式重、难点.知识点1 弧度制1.度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角,记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad2.弧度数的计算1正角正角的弧度数是一个正数.2负角负角的弧度数是一个负数.3零角零角的弧度数是0.4如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=.3.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°=2π_rad2πrad=360°180°=π_radπrad=180°1°=rad≈
0.01745rad1rad=°≈
57.30°度数×=弧度数弧度数×°=度数【预习评价】 正确的打“√”,错误的打“×”11弧度就是1°的圆心角所对的弧. 2“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关. 3160°化为弧度制是πrad. 提示 1×,1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.2√,“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.3√,160°=160×rad=πrad.知识点2 扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α0α2π为其圆心角,则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l= l=α·R 扇形的面积S= S=l·R =α·R2 【预习评价】圆的半径是6cm,则圆心角为15°的扇形面积是________.解析 因为15°=,所以面积S=αR2=××36=πcm2.答案 πcm2题型一 角度与弧度的互化及应用【例1】 将下列角度与弧度进行互化120°;2-800°;3;4-π.解 120°=20×=;2-800°=-800×=-π;3=×°=105°;4-π=-π×°=-144°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法1原则牢记180°=πrad,充分利用1°=rad和1rad=°进行换算.2方法设一个角的弧度数为α,角度数为n,则αrad=α·°;n°=n·.【训练1】 1把112°30′化成弧度;2把-化成度.解 1112°30′=°=×=.2-=-×°=-75°.题型二 用弧度制表示角的集合【例2】 用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合不包括边界,如图.解 1以OA为终边的角为+2kπk∈Z,以OB为终边的角为-+2kπk∈Z,所以阴影部分不包括边界内的角的集合为{α|-+2kπα+2kπ,k∈Z}.2终边落在阴影部分不含边界的角的集合是{α|+2kπα+2kπ,k∈Z}.规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤1仔细观察图形.2写出区域边界作为终边时角的表示.3用不等式表示区域范围内的角.【训练2】 已知角α=2010°.1将α改写成β+2kπk∈Z0≤β<2π的形式,并指出α是第几象限的角;2在区间[-5π,0上找出与α终边相同的角.解 12010°=2010×==5×2π+,又π,∴α与终边相同,是第三象限的角.2与α终边相同的角可以写成γ=+2kπk∈Z,又-5π≤γ<0,∴当k=-3时,γ=-π;当k=-2时,γ=-π;当k=-1时,γ=-π.题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用【例3】 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.解 设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=l·r=a-2r·r=-r2+r=-2+.∵r0,l=a-2r0,∴0r,∴当r=时,Smax=.此时,l=a-2·=,∴α==
2.故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积最大,最大值为.规律方法 扇形弧长、面积问题的解决方法1联系半径、弧长和圆心角的有两个公式一是S=lr=|α|r2,二是l=|α|r,如果已知其中两个,就可以求出另一个.2解决此类题目要首先分析已知哪些量,要求哪些量,然后灵活运用公式求解.提醒当扇形周长一定时,求扇形面积的最大值,需把面积S转化为关于R的二次函数,但要注意R的取值范围,特别注意一个扇形的弧长必须满足0l2πR.【训练3】 已知扇形AOB的周长为10cm.1若这个扇形的面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数;2求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.解 设扇形圆心角的弧度数为θ0θ2π,弧长为l,半径为r,面积为S,1依题意有
①代入
②得r2-5r+4=0,解得r1=1,r2=4.当r=1时,l=8cm,此时,θ=8rad2πrad,舍去;当r=4时,l=2cm,此时,θ==rad.2由l+2r=10得l=10-2r,S=lr=10-2r·r=5r-r2=-r-2+0r5.当r=时,S取得最大值,这时l=10-2×=5,∴θ===2rad.课堂达标1.下列命题中,假命题是 A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的,1rad的角是周角的C.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题,故选D.答案 D2.2340°转化为弧度为 A.πB.13πC.D.13解析 2340×=13π,选B.答案 B3.已知半径为1的扇形面积为π,则扇形的圆心角为 A.B.C.D.解析 由S=|α|r2得=×α×12,所以α=.答案 C4.若θ=-5,则角θ的终边在 A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析 2π-5与-5的终边相同,∵2π-5∈0,,∴2π-5是第一象限角,则-5也是第一象限角.答案 D5.已知α=1690°.1把α写成2kπ+βk∈Z,β∈[02π的形式;2求θ,使θ与α终边相同,且θ∈-4π,4π.解 11690°=1440°+250°=4×360°+250°=4×2π+π.2∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+πk∈Z.又θ∈-4π,4π,∴-4π2kπ+π4π,∴-kk∈Z.∴k=-2,-101.∴θ的值是-π,-π,π,π.课堂小结1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系每一个角都有唯一的一个实数即这个角的弧度数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角即弧度数等于这个实数的角与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=πrad”这一关系式.3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度.基础过关1.下列各命题中,真命题是 A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析 根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误,D正确.答案 D2.将-1485°化成α+2kπ0≤α2π,k∈Z的形式是 A.--8πB.π-8πC.-10πD.π-10π解析 -1485°=-5×360°+315°,化为α+2kπ0≤α2π,k∈Z的形式为-10π,选D.答案 D3.扇形的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则 A.扇形的圆心角大小不变B.扇形的圆心角增大到原来的2倍C.扇形的圆心角增大到原来的4倍D.扇形的圆心角减小到原来的一半解析 设扇形原来的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,∴α=,β===α,即扇形的圆心角大小不变.答案 A4.若α∈0,π,且α与角-终边相同,则α=________.解析 -=-2π+,故α=.答案 5.已知两角的和是1弧度,两角的差是1°,则这两个角为________.解析 设这两个角为α,β弧度,不妨设αβ,则解得α=+,β=-.答案 +,-6.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分的角的集合.解 1将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.故满足条件的角的集合为.2若将终边为OA的一个角改写为-,此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成,故满足条件的角的集合为.3将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到,所以满足条件的角的集合为.4与第3小题的解法类似,将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分,所以满足条件的角的集合为.7.把下列角化为2kπ+α0≤α<2π,k∈Z的形式1;2-315°.解 1∵0≤<2π,∴=4π+.2∵-315°=-315×=-=-2π+,∵0≤<2π,∴-315°=-2π+.能力提升8.把-π表示成θ+2kπk∈Z的形式,使|θ|最小的θ值是 A.-πB.-2πC.πD.-π解析 ∵-π=-2π+=2×-1π+,或-=-4π+,且|-|||,∴θ=-π.答案 A9.如图是一个半径为R的扇形,它的周长为4R,则这个扇形所含弓形阴影区域的面积是 A.2-sin1cos1R2B.R2sin1cos1C.R2D.1-sin1cos1R2解析 ∵l=4R-2R=2R,∴α==2.∵S弓形=S扇形-S△=αR2-2Rsin·Rcos=×2×R2-R2sin1·cos1=R21-sin1cos1.答案 D10.已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B=________.解析 如图所示,∴A∩B=[-4,-π]∪[0,π].答案 [-4,-π]∪[0,π]11.已知α是第二象限角,且|α+2|≤4,则α的集合是______ .解析 ∵α是第二象限角,∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,∵|α+2|≤4,∴-6≤α≤2,当k=-1时,-<α<-π,当k=0时,<α≤2,当k为其他整数时,满足条件的角α不存在.答案 -,-π∪,2]12.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R.1若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;2若扇形的周长是30cm,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?解 1设弧长为l,弓形面积为S弓,∵α=60°=,R=10cm,∴l=αR=cm.S弓=S扇-S△=××10-2××10×sin×10×cos=50cm2.2由l+2R=30,∴l=30-2R,从而S=·l·R=30-2R·R=-R2+15R=-2+.∴当半径R=cm时,l=30-2×=15cm,扇形面积的最大值是cm2,这时α==2rad.∴当扇形的圆心角为2rad,半径为cm时,面积最大,为cm2.13.选做题如图,已知一长为dm,宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第四面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积.解 AA1所在圆弧的半径是2dm,圆心角为;A1A2所在圆弧的半径是1dm,圆心角为;A2A3所在圆弧的半径是dm,圆心角为,所以走过的路程是3段圆弧之和,即2×+1×+×=πdm;3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π+×+××=dm2.。