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§2 角的概念的推广学习目标
1.理解正角、负角、零角与象限角的概念重点.
2.掌握终边相同的角的表示方法难点.知识点1 角的概念1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.2按照角的旋转方向,分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,称这样的角为零角【预习评价】 正确的打“√”,错误的打“×”1按逆时针方向旋转所成的角是正角√2按顺时针方向旋转所成的角是负角√3没有作任何旋转就没有角对应×4终边和始边重合的角是零角×5经过1小时时针转过30°×知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边除端点外在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.【预习评价】1.锐角属于第几象限角?钝角又属于第几象限角?提示 锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角.2.第二象限的角比第一象限的角大吗?提示 不一定.如120°是第二象限的角,390°是第一象限的角,但120°<390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.【预习评价】 正确的打“√”,错误的打“×”1终边相同的角一定相等×2相等的角终边一定相同√3终边相同的角有无数多个√4终边相同的角它们相差180°的整数倍×题型一 角的概念的推广【例1】 写出下图中的角α,β,γ的度数.解 要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小,由角的概念可知α=330°,β=-150°,γ=570°.规律方法
1.理解角的概念的三个“明确”2.表示角时的两个注意点1字母表示时可以用希腊字母α,β等表示,“角α”或“∠α”可以简化为“α”.2用图示表示角时箭头不可以丢掉,因为箭头代表了旋转的方向,也即箭头代表着角的正负.【训练1】 1图中角α=________,β=________;2经过10min,分针转了________.解析 1α=-180°-30°=-150°β=30°+180°=210°.2分针按顺时针转过了周角的,即-60°.答案 1-150° 210° 2-60°题型二 终边相同的角【例2】 已知α=-1910°.1把α写成β+k×360°k∈Z0°≤β<360°的形式,并指出它是第几象限角;2求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解 1-1910°=250°-6×360°,其中β=250°,从而α=250°+-6×360°,它是第三象限角.2令θ=250°+k×360°k∈Z,取k=-1,-2就得到满足-720°≤θ<0°的角,即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.所以θ为-110°,-470°.规律方法 将任意角化为α+k·360°k∈Z,且0°≤α<360°的形式,关键是确定k.可用观察法α的绝对值较小时适用,也可用除以360°的方法.要注意正角除以360°,按通常的除法进行,负角除以360°,商是负数,且余数为正值.【训练2】 写出终边在阴影区域内含边界的角的集合.解 终边在直线OM上的角的集合为M={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+2k+1·180°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α=60°+n·180°,n∈Z},所以终边在阴影区域内含边界的角的集合为{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.【探究1】 在四个角-20°,-400°,-2000°,1600°中,第四象限角的个数是 A.0B.1C.2D.3解析 -20°是第四象限角,-400°=-360°-40°与-40°终边相同,是第四象限角,-2000°=-6×360°+160°与160°终边相同,是第二象限角,1600°=4×360°+160°与160°终边相同,是第二象限角,故第四象限角有2个.答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合.解 根据终边相同的角一定是同一象限的角,又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围,再加上360°的整数倍即可.所以表示为第一象限角的集合S={β|β=k·360°+α,0°<α<90°,k∈Z},或S={β|k·360°<β<k·360°+90°,k∈Z}.第二象限角的集合S={β|β=k·360°+α,90°<α<180°,k∈Z},或S={β|k·360°+90°<β<k·360°+180°,k∈Z}.【探究3】 已知α为第二象限角,那么2α,分别是第几象限角?解 ∵α是第二象限角,∴90+k×360°<α<180°+k×360°,180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°,k∈Z.∴2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角.同理45°+×360°<<90°+×360°,k∈Z.当k为偶数时,不妨令k=2n,n∈Z,则45°+n×360°<<90°+n×360°,此时,为第一象限角;当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,则225°+n×360°<<270°+n×360°,此时,为第三象限角.∴为第一或第三象限角.【探究4】 已知α为第一象限角,求180°-是第几象限角.解 ∵α为第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,∴k·180°<<k·180°+45°,k∈Z,∴-45°-k·180°<-<-k·180°,k∈Z,∴135°-k·180°<180°-<180°-k·180°,k∈Z.当k=2nn∈Z时,135°-n·360°<180°-<180°-n·360°,为第二象限角;当k=2n+1n∈Z时,-45°-n·360°<180°-<-n·360°,为第四象限角.∴180°-是第二或第四象限角.规律方法
1.象限角的判定方法1根据图像判定.利用图像实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.2将角转化到0°~360°范围内,在直角坐标平面内,0°~360°范围内没有两个角终边是相同的.2.α,2α,等角的终边位置的确定方法不等式法1利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围.2利用不等式的性质,求出2α,等角的范围.3利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k×120°<<k×120°+30°,k∈Z,可画出0°<<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°如图所示.易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1.-361°的终边落在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 因为-361°的终边和-1°的终边相同,所以它的终边落在第四象限,故选D.答案 D2.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是 A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D解析 直接根据角的分类进行求解,容易得到答案.答案 D3.将-885°化为α+k·360°0°≤α360°,k∈Z的形式是________________.答案 195°+-3×360°4.与-1692°终边相同的最大负角是________.解析 ∵-1692°=-5×360°+108°,∴与108°终边相同的最大负角为-252°.答案 -252°
5.如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°+30°≤αk·360°+105°,k∈Z}.
②{α|k·360°+210°≤αk·360°+285°,k∈Z}.∴角α的集合应当是集合
①与
②的并集{α|k·360°+30°≤αk·360°+105°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤αk·360°+285°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α2k·180°+105°,k∈Z}∪{α|2k+1180°+30°≤α2k+1180°+105°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α2k·180°+105°,或2k+1·180°+30°≤α2k+1180°+105°,k∈Z}={α|n·180°+30°≤αn·180°+105°,n∈Z}.课堂小结1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”.2.区域角的表示形式并不唯一,如第二象限角的集合,可以表示为{α|90°+k×360°<α<180°+k×360°,k∈Z},也可以表示为{α|-270°+k×360°<α<-180°+k×360°,k∈Z}.基础过关1.下列各组角中,终边相同的是 A.495°和-495°B.1350°和90°C.-220°和140°D.540°和-810°解析 -220°=-360°+140°,∴-220°与140°终边相同.答案 C2.设A={小于90°的角},B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有 A.BCAB.BACC.DA∩CD.C∩D=B解析 锐角、0°~90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围,如下表所示.角集合表示锐角B={α|0°α90°}0°~90°的角D={α|0°≤α90°}小于90°的角A={α|α90°}第一象限角C={α|k·360°αk·360°+90°,k∈Z}答案 D3.若α是第四象限角,则180°-α是 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.答案 C4.已知角α=-3000°,则与角α终边相同的最小正角是______.解析 ∵-3000°=-9×360°+240°,∴与-3000°角终边相同的最小正角为240°.答案 240°5.在-180°~360°范围内,与2000°角终边相同的角是______.解析 因为2000°=200°+5×360°,2000°=-160°+6×360°,所以在-180°~360°范围内与2000°角终边相同的角有-160°,200°两个.答案 -160°,200°6.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.1-150°;2650°;3-950°15′.解 1因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.2因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.3因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.7.写出与25°角终边相同的角的集合,并求出该集合中满足不等式-1080°≤β<-360°的角β.解 与25°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}.令k=-3,则有β=-3×360°+25°=-1055°,符合条件;令k=-2,则有β=-2×360°+25°=-695°,符合条件;令k=-1,则有β=-1×360°+25°=-335°,不符合条件.故符合条件的角有-1055°,-695°.能力提升8.以下命题正确的是 A.第二象限角比第一象限角大B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则ABC.若k·360°αk·360°+180°k∈Z,则α为第一或第二象限角D.终边在x轴上的角可表示为k·360°k∈Z解析 A不正确,如-210°30°.在B中,当k=2n,k∈Z时,β=n·180°,n∈Z.∴AB,∴B正确.又C中,α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上,∴C不正确.显然D不正确.答案 B9.集合M=,P=,则M、P之间的关系为 A.M=PB.MPC.MPD.M∩P=∅解析 对集合M来说,x=2k±1·45°,即45°的奇数倍;对集合P来说,x=k±2·45°,即45°的倍数.答案 B10.已知角α、β的终边相同,那么α-β的终边在________.解析 ∵α、β终边相同,∴α=k·360°+βk∈Z.∴α-β=k·360°,故α-β终边会落在x轴非负半轴上.答案 x轴的非负半轴上11.若α为第一象限角,则k·180°+αk∈Z的终边所在的象限是第________象限.解析 ∵α是第一象限角,∴k为偶数时,k·180°+α终边在第一象限;k为奇数时,k·180°+α终边在第三象限.答案 一或三12.求终边在直线y=x上的角的集合S.解 因为直线y=x是第
一、三象限的角平分线,在0°~360°之间所对应的两个角分别是45°和225°,所以S={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}={α|α=2k·180°+45°,k∈Z}∪{α|α=2k+1·180°+45°,k∈Z}={α|α=n·180°+45°,n∈Z}.13.选做题已知角α、β的终边有下列关系,分别求α、β间的关系式1α、β的终边关于原点对称;2α、β的终边关于y轴对称.解 1由于α、β的终边互为反向延长线,故α、β相差180°的奇数倍如图1,于是α-β=2k-1·180°k∈Z.2在0°~360°内,设α的终边所表示的角为90°-θ,由于α、β关于y轴对称如图2,则β的终边所表示的角为90°+θ.于是α=90°-θ+k1·360°k1∈Z,β=90°+θ+k2·360°k2∈Z.两式相加得α+β=2k+1·180°k∈Z.。