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第一章
1.5第2课时定积分的概念A级 基础巩固
一、选择题1.已知fxdx=6,则6fxdx等于 C A.6 B.6b-aC.36D.不确定[解析] 6fxdx=6fxdx=36.故应选C.2.设fx=则fxdx的值是 D A.x2dxB.2xdxC.x2dx+2xdxD.2xdx+x2dx[解析] 由定积分性质3求fx在区间[-11]上的定积分,可以通过求fx在区间[-10]与
[01]上的定积分来实现,显然D正确,故应选D.3.若fxdx=1,gxdx=-3,则[2fx+gx]dx= C A.2B.-3C.-1D.4[解析] [2fx+gx]dx=2fxdx+gxdx=2×1-3=-1.4.2018·临沂高二检测设a=xdx,b=x2dx,c=x3dx,则a、b、c的大小关系为 B A.cabB.abcC.a=bcD.acb5.已知fx=x3-x+sinx,则fxdx的值 A A.等于0B.大于0C.小于0D.不确定[解析] ∵fx为奇函数,由定积分性质知,fxdx=0,选A.6.下列定积分的值等于1的是 D A.xdxB.x+1dxC.dxD.1dx
二、填空题7.由y=sinx、x=
0、x=、y=0所围成的图形的面积可以写成eq\i\in0sinxdx.[解析] 由定积分的几何意义可得.8.2x-4dx=12.[解析] 如图A0,-4,B68,M20,S△AOM=×2×4=4,S△MBC=×4×8=16,∴2x-4dx=16-4=12.
三、解答题9.利用定积分的几何意义,解释下列等式.12xdx=1;2dx=.[解析] 12xdx表示由直线y=2x,直线x=
0、x=
1、y=0所围成的图形的面积,如图所示,阴影部分为直角三角形,所以S△=×1×2=1,故2xdx=1.2dx表示由曲线y=,直线x=-
1、x=
1、y=0所围成的图形面积而y=表示圆x2+y2=1在x轴上方的半圆,如图所示阴影部分,所以S半圆=,故dx=.10.利用定积分的几何意义求eq\i\in–dx.[解析] 由y=可知,x2+y2=1y≥0的图形为半圆,故∫-dx为圆心角120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和.S弓形=××12-×1×1×sinπ=-S矩形ABCD=AB·BC=2××=.∴eq\i\in–dx=+.B级 素养提升
一、选择题1.下列命题不正确的是 D A.若fx是连续的奇函数,则fxdx=0B.若fx是连续的偶函数,则fxdx=2fxdxC.若fx在[a,b]上连续且恒正,则fxdx0D.若fx在[a,b上连续且fxdx0,则fx在[a,b上恒正[解析] 本题考查定积分的几何意义,对A因为fx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.对B因为fx是偶函数,所以图象关于y轴对称,故图象都在x轴下方或上方且面积相等,故B正确.C显然正确.D选项中fx也可以小于0,但必须有大于0的部分,且fx0的曲线围成的面积比fx0的曲线围成的面积大.2.2018·淮南一模求曲线y=x2与y=x所围成的图形的面积S,正确的是 A A.S=x-x2dxB.S=x2-xdxC.S=y2-ydyD.S=y-dy[解析] 根据题意,如图所示,阴影部分为曲线y=x2与y=x所围成的图形,其面积S=S△ABO-S曲边梯形ABO=x-x2dx;故选A.
二、填空题3.已知fx是一次函数,其图象过点34且fxdx=1,则fx的解析式为fx=x+.[解析] 设fx=ax+ba≠0,∵fx图象过34点,∴3a+b=4.又fxdx=ax+bdx=axdx+bdx=a+b=1.解方程组得∴fx=x+.4.2017·兴庆区校级二模由直线y=-x+和曲线y=围成的封闭图形的面积为-2ln2.[解析] 曲线y=-x+,直线y=联立,可得交点坐标为,
2、2,,∴曲线y=-x+,直线y=所围成的封闭图形的面积为S=eq\i\in2-x+-dx=-x2+x-lnx|eq\o\al2=-2ln2.故答案为-2ln2.
三、解答题5.已知函数fx=求fx在区间[-22π]上的积分.[解析] 由定积分的几何意义知x3dx=0,2xdx==π2-4,cosxdx=0,由定积分的性质得fxdx=x3dx+2xdx+cosxdx=π2-4.6.已知x3dx=,x3dx=,x2dx=,x2dx=,求13x3dx;26x2dx;33x2-2x3dx.[解析] 13x3dx=3x3dx=3x3dx+x3dx=3×+=12.26x2dx=6x2dx=6x2dx+x2dx=6×+=126.33x2-2x3dx=3x2dx-2x3dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.C级 能力拔高 画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积.1y=|sinx|,y=0,x=2,x=5.2y=logx,y=0,x=,x=3.[解析] 1曲线所围成的平面区域如图所示.设此面积为S,则S=|sinx|dx或S=sinxdx+-sinxdx=sinxdx-πsinxdx.2曲线所围成的平面区域如图所示.设此面积为S.则S=eq\i\in1logxdx-logxdx.。