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第2课时 复数的乘方与除法运算学习目标
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算,了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.
2.理解复数商的定义,能够进行复数除法运算.
3.了解i的幂的周期性.知识点一 复数的乘方与inn∈N*的周期性思考 计算i5,i6,i7,i8的值,你能推测inn∈N*的值有什么规律吗?答案 i5=i,i6=-1,i7=-i,i8=1,推测i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1n∈N*.梳理 1复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z,z1,z2和m,n∈N*,有
①zm·zn=zm+n.
②zmn=zmn.
③z1·z2n=z·z.2虚数单位i的乘方inn∈N*的周期性i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R,c+di≠0相除?答案 通常先把a+bi÷c+di写成的形式,再把分子与分母都乘以c-di,化简后可得结果.梳理 把满足c+dix+yi=a+bic+di≠0的复数x+yix,y∈R叫做复数a+bi除以复数c+di的商,且x+yi==+i.1.两个复数的积与商一定是虚数. × 2.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减. √ 类型一 i的运算特征例1 计算下列各式的值.11+i+i2+…+i2015+i2016;22014+1-i
2014.解 11+i+i2+…+i2015+i2016===
1.2∵1-=1+=1+i,且1±i2=±2i.∴2014+1-i2014=1+i2014+[1-i2]1007=2i1007+-2i1007=21007i3-21007i3=
0.反思与感悟 1虚数单位i的性质
①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-in∈N*.
②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0n∈N*.2复数的乘方运算,要充分使用1+i2=2i,1-i2=-2i,=-i及乘方运算律简化运算.跟踪训练1 计算i2006++i8-
50.解 i2006++i8-50=i4×501+2+[21+i2]4-25=i2+4i4-i25=-1+256-i=255-i.类型二 复数的除法运算例2 1已知i是虚数单位,则复数的共轭复数是.答案 1+i解析 ===1-i,∴复数的共轭复数为1+i.2计算.解 原式=====1-i.反思与感悟 复数除法一般先写成分式形式,再把分母实数化,即分子、分母同乘以分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需同乘以i.跟踪训练2 已知i是虚数单位,则=.答案 -1解析 ∵===-i,∴=i3·-i=-i4=-
1.类型三 复数四则运算的综合应用例3 计算1+5+i2-2;
2.解 1+5+i2-2=+5-1-=i+4-i=
4.2原式====·2i2·i=-4i.反思与感悟 1进行复数四则混合运算时,要先算乘方,再算乘除,最后计算加减.2复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用
①===ia,b∈R,b-ai≠0.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化.
②记忆一些简单结论如=-i,=i,=-i,1±i2=±2i等.
③设ω=-+i,则ω2+ω+1=0,ω3=
1.跟踪训练3 计算1+6;
2.解 1原式=+i66=i+i2=i-
1.2原式===i-
1.1.i为虚数单位,+++=.考点 虚数单位i及其性质题点 虚数单位i的运算性质答案 0解析 =-i,=i,=-i,=i,∴+++=
0.2.若复数的实部与虚部互为相反数,则b=.答案 -解析 ==,由题意知2-2b-b+4=0,得b=-.3.如果z=,那么z100+z50+1=.答案 i解析 z2=2=i,则z100+z50+1=z250+z225+1=i50+i25+1=-1+i+1=i.4.已知复数z=1+aia∈R,i是虚数单位,=-+i,则a=.答案 -2解析 由题意可知==-i=-+i,因此=-.化简得5a2-5=3a2+3,所以a2=4,则a=±
2.由-=可知a0,所以a=-
2.5.化简+=.答案 2i解析 原式=3+=i+i=2i.1.熟练掌握乘除法运算法则.求解运算时要灵活运用in的周期性.此外,实数运算中的平方差公式、完全平方公式在复数运算中仍然成立.2.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做、会解,更要做到快速解答.在这里需要掌握一些常用的结论,如1+i2=2i,1-i2=-2i,=-i,=i,-b+ai=ia+bi.利用这些结论,我们可以更有效地简化计算,提高计算速度且不易出错.3.在进行复数运算时,要理解好i的性质,切记不要出现“i2=1”,“i4=-1”等错误.
一、填空题1.复数+i3=.答案 0解析 ∵===i,i3=i2·i=-i.∴原式=i-i=
0.2.复数=.答案 -1解析 原式==-
1.3.已知复数z1=3-bi,z2=1-2i,若是实数,则实数b=.答案 6解析 ===,∵是实数,∴6-b=0,即b=
6.
4.是z的共轭复数.若z+=2,z-i=2i为虚数单位,则z=.答案 1-i解析 设z=a+bia,b∈R,则=a-bi,由z+=2a=2,得a=
1.z-i=2bi2=2,得b=-1,∴z=1-i.5.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z=,则=.考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 -1+i解析 z===-1-i,所以=-1+i.6.若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则·=.答案 6解析 因为z=1+2i,所以=1-2i.所以·=z·+1=5+1=
6.7.复数z满足方程i=1-i,则z=.答案 -1+i解析 ==-1-i,∴z=-1+i.8.设复数z1=2-i,z2=1-3i,则复数+的虚部为.答案 1解析 ∵+=+=++i=-+i++i=i,∴虚部为
1.9.定义=ad-bc,若复数z满足=-1+2i,则z=.答案 1+i解析 =zi+i=-1+2i,则z==1+i.10.如果z1=-2-3i,z2=,则=.答案 4-3i解析 ∵z1=-2-3i,z2=,∴===-i2+i2=-3+4ii=4-3i.11.若fz=1-z∈C,已知z1=2+3i,z2=5-i,则f=.答案 -i解析 ==-i,故f=1-=-i.
二、解答题12.计算2-
20.解 2-20=[1+2i·1+-i5]2-i10=1+i2-i10=1+2i.13.已知复数z1满足z1-21+i=1-ii为虚数单位,复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z
2.解 由z1-21+i=1-i,得z1=+2=2-i.由复数z2的虚部为2,设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=2-ia+2i=2a+2+4-ai.∵z1·z2∈R,∴4-a=0,即a=4,∴z2=4+2i.
三、探究与拓展14.已知i是虚数单位,则i+2i2+3i3+…+8i8=.答案 4-4i解析 设S=i+2i2+3i3+…+8i8,
①则iS=i2+2i3+…+7i8+8i9,
②①-
②得1-iS=i+i2+i3+…+i8-8i9=-8i=-8i.∴S====4-4i.15.满足z+是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.解 设虚数z=x+yix,y∈R,且y≠0,则z+=x+yi+=x++i.由已知得∵y≠0,∴解得或∴存在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足条件.。