2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2第2课时复数的乘方与除法运算学案苏教版选修

第2课时　复数的乘方与除法运算学习目标　

1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.

2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.

3.了解i的幂的周期性．知识点一　复数的乘方与inn∈N*的周期性思考　计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测inn∈N*的值有什么规律吗？答案　i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1n∈N*．梳理　1复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有

①zm·zn＝zm＋n.

②zmn＝zmn.

③z1·z2n＝z·z.2虚数单位i的乘方inn∈N*的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.知识点二　复数的除法思考　如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋dia，b，c，d∈R，c＋di≠0相除？答案　通常先把a＋bi÷c＋di写成的形式，再把分子与分母都乘以c－di，化简后可得结果．梳理　把满足c＋dix＋yi＝a＋bic＋di≠0的复数x＋yix，y∈R叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝＝＋i.1．两个复数的积与商一定是虚数．　×　2．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．　√　类型一　i的运算特征例1　计算下列各式的值．11＋i＋i2＋…＋i2015＋i2016；22014＋1－i

2014.解　11＋i＋i2＋…＋i2015＋i2016＝＝＝

1.2∵1－＝1＋＝1＋i，且1±i2＝±2i.∴2014＋1－i2014＝1＋i2014＋[1－i2]1007＝2i1007＋－2i1007＝21007i3－21007i3＝

0.反思与感悟　1虚数单位i的性质

①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－in∈N*．

②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0n∈N*．2复数的乘方运算，要充分使用1＋i2＝2i，1－i2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算．跟踪训练1　计算i2006＋＋i8－

50.解　i2006＋＋i8－50＝i4×501＋2＋[21＋i2]4－25＝i2＋4i4－i25＝－1＋256－i＝255－i.类型二　复数的除法运算例2　1已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是．答案　1＋i解析　＝＝＝1－i，∴复数的共轭复数为1＋i.2计算.解　原式＝＝＝＝＝1－i.反思与感悟　复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.跟踪训练2　已知i是虚数单位，则＝.答案　－1解析　∵＝＝＝－i，∴＝i3·－i＝－i4＝－

1.类型三　复数四则运算的综合应用例3　计算1＋5＋i2－2；

2.解　1＋5＋i2－2＝＋5－1－＝i＋4－i＝

4.2原式＝＝＝＝·2i2·i＝－4i.反思与感悟　1进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．2复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用

①＝＝＝ia，b∈R，b－ai≠0．利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化．

②记忆一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，1±i2＝±2i等．

③设ω＝－＋i，则ω2＋ω＋1＝0，ω3＝

1.跟踪训练3　计算1＋6；

2.解　1原式＝＋i66＝i＋i2＝i－

1.2原式＝＝＝i－

1.1．i为虚数单位，＋＋＋＝.考点　虚数单位i及其性质题点　虚数单位i的运算性质答案　0解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝

0.2．若复数的实部与虚部互为相反数，则b＝.答案　－解析　＝＝，由题意知2－2b－b＋4＝0，得b＝－.3．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝.答案　i解析　z2＝2＝i，则z100＋z50＋1＝z250＋z225＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.4．已知复数z＝1＋aia∈R，i是虚数单位，＝－＋i，则a＝.答案　－2解析　由题意可知＝＝－i＝－＋i，因此＝－.化简得5a2－5＝3a2＋3，所以a2＝4，则a＝±

2.由－＝可知a0，所以a＝－

2.5．化简＋＝.答案　2i解析　原式＝3＋＝i＋i＝2i.1．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式、完全平方公式在复数运算中仍然成立．2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如1＋i2＝2i，1－i2＝－2i，＝－i，＝i，－b＋ai＝ia＋bi．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现“i2＝1”，“i4＝－1”等错误.

一、填空题1．复数＋i3＝.答案　0解析　∵＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.∴原式＝i－i＝

0.2．复数＝.答案　－1解析　原式＝＝－

1.3．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b＝.答案　6解析　＝＝＝，∵是实数，∴6－b＝0，即b＝

6.

4.是z的共轭复数．若z＋＝2，z－i＝2i为虚数单位，则z＝.答案　1－i解析　设z＝a＋bia，b∈R，则＝a－bi，由z＋＝2a＝2，得a＝

1.z－i＝2bi2＝2，得b＝－1，∴z＝1－i.5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z＝，则＝.考点　共轭复数的定义与应用题点　利用定义求共轭复数答案　－1＋i解析　z＝＝＝－1－i，所以＝－1＋i.6．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝.答案　6解析　因为z＝1＋2i，所以＝1－2i.所以·＝z·＋1＝5＋1＝

6.7．复数z满足方程i＝1－i，则z＝.答案　－1＋i解析　＝＝－1－i，∴z＝－1＋i.8．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部为．答案　1解析　∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，∴虚部为

1.9．定义＝ad－bc，若复数z满足＝－1＋2i，则z＝.答案　1＋i解析　＝zi＋i＝－1＋2i，则z＝＝1＋i.10．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝.答案　4－3i解析　∵z1＝－2－3i，z2＝，∴＝＝＝－i2＋i2＝－3＋4ii＝4－3i.11．若fz＝1－z∈C，已知z1＝2＋3i，z2＝5－i，则f＝.答案　－i解析　＝＝－i，故f＝1－＝－i.

二、解答题12．计算2－

20.解　2－20＝[1＋2i·1＋－i5]2－i10＝1＋i2－i10＝1＋2i.13．已知复数z1满足z1－21＋i＝1－ii为虚数单位，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z

2.解　由z1－21＋i＝1－i，得z1＝＋2＝2－i.由复数z2的虚部为2，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝2－ia＋2i＝2a＋2＋4－ai.∵z1·z2∈R，∴4－a＝0，即a＝4，∴z2＝4＋2i.

三、探究与拓展14．已知i是虚数单位，则i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝.答案　4－4i解析　设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8，

①则iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9，

②①－

②得1－iS＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9＝－8i＝－8i.∴S＝＝＝＝4－4i.15．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．解　设虚数z＝x＋yix，y∈R，且y≠0，则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.由已知得∵y≠0，∴解得或∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．。