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文本内容:
第一章
2.2
2.
2.2反证法A级 基础巩固
一、选择题1.设a、b、c∈-∞,0,则a+,b+,c+ C A.都不大于-2 B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2[解析] 假设都大于-2,则a++b++c+-6,但a++b++c+=a++b++c+≤-2+-2+-2=-6,矛盾.2.2018·湖北期中已知a,b,c∈0,+∞,则下列三个数a+,b+,c+ D A.都大于6B.至少有一个不大于6C.都小于6D.至少有一个不小于6[解析] 设a+,b+,c+都小于6,则a++b++c+<18,利用基本不等式可得a++b++c+≥2+2+2=8+4+6=18,这与假设所得结论矛盾,故假设不成立,故下列三个数a+,b+,c+至少有一个不小于6,故选D.3.2017·青岛高二检测有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说“甲、丙都未获奖.”丙说“我获奖了.”丁说“是乙获奖.”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是 C A.甲B.乙C.丙D.丁[解析] 若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.4.2017·济南高二检测设实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于 B A.0B.C.D.1[解析] 三个数a、b、c的和为1,其平均数为,故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于,则a+b+c1,与已知矛盾.5.设a、b、c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的 C A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件[解析] 若P0,Q0,R0,则必有PQR0;反之,若PQR0,也必有P0,Q0,R0.因为当PQR0时,若P、Q、R不同时大于零,则P、Q、R中必有两个负数,一个正数,不妨设P0,Q0,R0,即a+bc,b+ca,两式相加得b0,这与已知b∈R+矛盾,因此必有P0,Q0,R0.6.若m、n∈N*,则“ab”是“am+n+bm+nanbm+ambn”的 D A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析] am+n+bm+n-anbm-ambn=anam-bm+bnbm-am=am-bman-bn0⇔或,不难看出ab⇒/am+n+bm+nambn+anbm,am+n+bm+nambn+bman⇒/ab.
二、填空题7.2018·思明区校级期中用反证法证明某命题时,对于“已知a1+a2+a3+a4>100,求证a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25”.正确的反设为a1,a2,a3,a4都不大于25.[解析] 根据反证法的步骤,则应先假设a1,a2,a3,a4都不大于25.故答案为a1,a2,a3,a4都不大于25.8.完成反证法证题的全过程.题目设a1,a2,…,a7是12,…,7的一个排列,求证乘积p=a1-1a2-2…a7-7为偶数.证明假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=0.但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.[解析] 假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,因为奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=0.但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.
三、解答题9.2016·吉林高二检测已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数.[解析] 假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以a+bc+d=1,又a+bc+d=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与已知ac+bd1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数.10.2017·深圳高二检测设函数fx=ax2+bx+ca≠0中,a,b,c均为整数,且f0,f1均为奇数.求证fx=0无整数根.[解析] 假设fx=0有整数根n,则an2+bn+c=0,由f0为奇数,即c为奇数,f1为奇数,即a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,又an2+bn=-c为奇数,所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,所以an-a为奇数,即n-1a为奇数,所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.所以fx=0无整数根.B级 素养提升
一、选择题1.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为 C A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线[解析] 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.2.2018·龙岩期中“已知函数fx=x2+ax+aa∈R,求证|f1|与|f2|中至少有一个不小于.”用反证法证明这个命题时,下列假设正确的是 B A.假设|f1|≥且|f2|≥B.假设|fx|且|f2|C.假设|f1|与|f2|中至多有一个不小于D.假设|f1|与|f2|中至少有一个不大于[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.假设|f1|<且|f2|<,故选B.
二、填空题3.2018·嘉峪关校级期中已知x,y∈R且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在反证法证明时假设应为x≤1且y≤1.[解析] ∵x,y中至少有一个大于1,∴其否定为x,y均不大于1,即x≤1且y≤1,故答案为x≤1且y≤1.4.2018·天心区校级模拟已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+=2++…+时,若已证假设n=kk≥2为偶数时命题为真,则还需要用归纳假设再证 B A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2k+2时等式成立[解析] 若已证假设n=kk≥2,k为偶数时命题为真,因为n只能取偶数,所以还需要证明n=k+2成立.故选B.
三、解答题5.如图所示,在△ABC中,ABAC,AD为BC边上的高,AM是BC边上的中线,求证点M不在线段CD上.[证明] 假设点M在线段CD上,则BDBM=CMCD,且AB2=BD2+AD2,AC2=AD2+CD2,所以AB2=BD2+AD2BM2+AD2CD2+AD2=AC2,即AB2AC2,所以ABAC.这与ABAC矛盾,故假设错误.所以点M不在线段CD上.6.设fx=x2+bx+c,x∈[-11],证明b-2时,在其定义域范围内至少存在一个x,使|fx|≥成立.[证明] 假设不存在x∈[-11]使|fx|≥.则对于x∈[-11]上任意x,都有-fx成立.当b-2时,其对称轴x=-1,fx在x∈[-11]上是单调递减函数,∴⇒b-与b-2矛盾.∴假设不成立,因此当b-2时在其定义域范围内至少存在一个x,使|fx|≥成立.C级 能力拔高 已知数列{an}满足a1=,=,anan+10n≥1;数列{bn}满足bn=a-an≥1.1求数列{an}、{bn}的通项公式;2证明数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.[解析] 1由题意可知,1-a=1-a.令cn=1-a,则cn+1=cn.又c1=1-a=,则数列{cn}是首项为c1=,公比为的等比数列,即cn=·n-1,故1-a=·n-1⇒a=1-·n-1.又a1=0,anan+10,故an=-1n-1.bn=a-a=[1-·n]-[1-·n-1]=·n-1.2用反证法证明.假设数列{bn}存在三项br,bs,btrst按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为,公比为的等比数列,于是有brbsbt,则只可能有2bs=br+bt成立.∴2·s-1=r-1+t-1,两边同乘以3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s.由于rst,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.。