还剩9页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2.
2.2 反证法学习目标
1.了解间接证明的基本方法——反证法.
2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.
3.结合已学过的数学实例,理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤,体会反证法在数学证明中的作用.
4.通过具体实例,体会直接证明与间接证明的区别和联系.知识点一 反证法的定义思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中,可以作为条件使用的是
①结论的否定;
②已知条件;
③公理、定理、定义等;
④原结论.A.
①②B.
②③C.
①②③D.
①②④答案 C梳理 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法,反证法是间接证明的一种基本方法.知识点二 反证法的理论依据思考 反证法解题的实质是什么?答案 否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确.梳理 由四种命题的相互关系可知,原命题“若p,则q”与命题“若非q,则非p”互为逆否命题,具有同真同假性,即等价性.根据这一结论,要证原命题“若p,则q”为真,可以改证逆否命题“若非q,则非p”为真,这种证明方法即为反证法.也就是说,若非q即否定结论,假设结论的反面成立,则非p经过推理论证,得出与题设条件相矛盾的结论,从而根据等价性原则,肯定原命题成立.知识点三 反证法的一般步骤思考 1反证法常见的主要矛盾有哪些?2反证法适用范围主要有哪些方面?答案 1常见的主要矛盾有三类与已知条件矛盾,与假设矛盾自相矛盾,与定义、定理、公理及事实矛盾.2一般地,以下几种情况宜用反证法结论本身是以否定形式出现的命题,结论是以“至多”“至少”形式出现的命题,关于唯一性、存在性的问题,或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等.梳理 反证法的证题步骤1反设假设所要证明的结论不成立,即假设结论的反面成立.2归谬由“反设”出发,通过正确的推理,得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定理、公理、定义、事实矛盾等.3结论因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而证明了结论成立.1.反证法属于间接证明问题的方法. √ 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理. × 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾. √ 类型一 反证法概念的理解例1 反证法是 A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 A解析 反证法是先否定结论,在此基础上,经过正确的推理,最后得出矛盾,从而证明了原命题成立.反思与感悟 对于反证法,其实质是先否定结论,根据否定后的结论,连同题目条件,推出矛盾,从而侧面说明原命题成立.跟踪训练1 1命题“在△ABC中,若∠A∠B,则ab”的结论的否定应该是 A.abB.a≤bC.a=bD.a≥b2用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理数根,则a,b,c中存在偶数”时,下列假设正确的是________.填序号
①假设a,b,c都是偶数;
②假设a,b,c都不是偶数;
③假设a,b,c至多有一个是偶数;
④假设a,b,c至多有两个是偶数.考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 1B 2
②解析 1“ab”的否定应为“a=b或ab”,即“a≤b”.2“a,b,c中存在偶数”的反面就是“a,b,c中没有偶数”,即“a,b,c都不是偶数”.类型二 反证法的应用命题角度1 证明一般性命题例2 用反证法证明已知a,b均为有理数,且和都是无理数,求证+是无理数.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设+为有理数,易知+-=a-b,由a0,b0,得+0,∴-=.∵a,b为有理数,且+为有理数,∴为有理数,即-为有理数,∴++-为有理数,即2为有理数,从而也应为有理数,这与为无理数矛盾.∴+是无理数.反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤第一步,写出与命题结论q相矛盾的假设綈q;第二步,由綈q出发,应用正确的推理,得出矛盾;第三步,断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题.跟踪训练2 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证,,不成等差数列.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设,,成等差数列,则+=2,即a+c+2=4b.又b2=ac,即b=,∴a+c+2=4,∴-2=0,即=,从而a=b=c,这与a,b,c不成等差数列矛盾,故,,不成等差数列.命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题例3 若x,y均是正实数,且x+y2,求证2和2中至少有一个成立.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设2和2都不成立,∴≥2且≥
2.又∵x,y都是正实数,∴相加得2+x+y≥2x+y,∴x+y≤2,与x+y2矛盾,∴假设不成立,原命题结论正确.反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表跟踪训练3 已知函数fx在区间[a,b]上是增函数,求证方程fx=0在区间[a,b]上至多有一个实根.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设方程fx=0在区间[a,b]上至少有两个实根α,β,即fα=fβ=0,且α≠β,不妨设αβ,∵fx在区间[a,b]上单调递增,∴fαfβ,这与fα=fβ=0矛盾,∴fx=0在区间[a,b]上至多有一个实根.命题角度3 证明否定性命题例4 已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证,,不可能构成等差数列.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设,,成等差数列,则=+,∴2ac=bc+ab.
①又a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
②∴2ac=ba+c=b·2b,∴b2=ac.
③由
②,得4b2=a+c2,把
③代入上式得4ac=a+c2,∴a-c2=0,∴a=c.把a=c代入
②得b=a,故a=b=c,∴公差为0,这与已知矛盾.∴,,不可能成等差数列.反思与感悟 证明否定性问题常用反证法,例如证明异面直线,可以先假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.跟踪训练4 设0a10b10c1,求证1-ab,1-bc,1-ca不可能同时大于.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设1-ab,1-bc,1-ca都大于,则1-ab,1-bc,1-ca,所以1-ab·1-bc·1-ca,即1-aa·1-bb·1-cc.因为1-aa≤2=,1-bb≤2=,1-cc≤2=,所以1-aa·1-bb·1-cc≤,这与1-aa·1-bb·1-cc矛盾.所以假设不成立,所以原结论成立.1.以下各数不能构成等差数列的是 A.345B.,,C.369D.,,考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 B解析 假设,,成等差数列,则2=+,即12=7+2,此等式不成立,故,,不能构成等差数列.2.异面直线在同一个平面上的射影不可能是 A.两条平行直线B.两条相交直线C.一个点与一条直线D.同一条直线考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 D解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A与B1C1是两条异面直线,它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC,故排除C;BA1与B1C1是两条异面直线,它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC,故排除B;BA1与C1D1是两条异面直线,它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD,故排除A.故选D.3.由四种命题的关系可知,反证法的实质是通过________来证明原命题的正确性.考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 逆否命题4.用反证法证明命题“若a,b是实数,且|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”时,应作的假设是________________.考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 a≠1或b≠1解析 结论“a=b=1”的含义是a=1且b=1,故其否定应为“a≠1或b≠1”.5.证明方程2x=3有且仅有一个实根.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 ∵2x=3,∴x=,∴方程2x=3至少有一个实根.设x1,x2是方程2x=3的两个不同实根,则由
①-
②得2x1-x2=0,∴x1=x2,这与x1≠x2矛盾.∴方程2x=3有且仅有一个实根成立.用反证法证题要把握三点1必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.2反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 B2.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为 A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都是奇数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 D解析 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有2个偶数”.3.命题“关于x的方程ax=ba≠0的解是唯一的”的结论的否定是 A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 D解析 “唯一”的意思是“有且只有一个”,其反面是“没有或至少有两个”.4.已知α∩β=l,a⊂α,b⊂β,若a,b为异面直线,则 A.a,b都与l相交B.a,b中至少有一条与l相交C.a,b中至多有一条与l相交D.a,b都不与l相交考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 B解析 逐一从假设选项成立入手分析,易得B正确.5.“集合M不是集合N的子集”的充要条件是 A.若x∈M,则xD∈/NB.若x∈N,则x∈MC.存在x1∈M,使得x1∈N,且存在x2∈M,x2D∈/ND.存在x0∈M,使得x0D∈/N考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 D解析 若集合M是集合N的子集,则对任意的x∈M,都有x∈N,因此该命题的否定为若存在x0∈M,使得x0D∈/N,则M不是N的子集.6.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 C解析 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故选C.7.若实数a,b,c满足a+2b+c=2,则 A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c中至少有一个不小于考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 D解析 假设a,b,c均小于,则a+2b+c+1+=2,与已知矛盾,故假设不成立,所以a,b,c中至少有一个不小于.8.有下列叙述
①“ab”的反面是“ab”;
②“x=y”的反面是“xy或xy”;
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有 A.0个B.1个C.2个D.3个考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 B解析
①错,应为a≤b;
②对;
③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;
④错,应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.
二、填空题9.用反证法证明命题“若x2-a+bx+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设__________.考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 x=a或x=b10.设a,b是两个实数,给出下列条件
①a+b=1;
②a+b=2;
③a+b2;
④a2+b
22.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.填序号考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案
③11.用反证法证明命题“若a,b∈N,ab能被2整除,则a,b中至少有一个能被2整除”,那么反设的内容是____________________________.考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 a,b都不能被2整除解析 根据用反证法证明数学命题的步骤,应先假设要证命题的否定成立,而要证命题的否定为“a,b都不能被2整除”.
三、解答题12.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证a,b,c中至少有一个是大于0的.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设a,b,c都不大于0,则a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0,而a+b+c=++=x2-2x+y2-2y+z2-2z+π=x-12+y-12+z-12+π-3,∴a+b+c
0.这与a+b+c≤0矛盾,∴假设不成立,∴a,b,c中至少有一个是大于0的.13.已知p3+q3=2,求证p+q≤
2.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设p+q2,则p2-q,将其两边立方,得p32-q3=8-12q+6q2-q
3.将p3+q3=2代入上式,得6q2-12q+60,即6q-120,与q-12≥0矛盾,故p+q≤
2.
四、探究与拓展14.若两个方程x2+a-1x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是________.考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 -∞,-2]∪[-1,+∞解析 假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得-2a-
1.所以a的取值范围是-∞,-2]∪[-1,+∞.15.对于直线l y=kx+1,是否存在这样的实数k,使得l与双曲线C3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=axa为常数对称?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.考点 反证法及应用题点 反证法的应用解 假设存在实数k,使得A,B关于直线y=ax对称,设Ax1,y1,Bx2,y2,则由⇒3-k2x2-2kx-2=
0.
④由
②③得ax1+x2=kx1+x2+2,
⑤由
④知x1+x2=,代入
⑤整理得ak=3,与
①矛盾.故不存在实数k,使得A,B关于直线y=ax对称.原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有不存在至少有两个至多有n-1个至少有n+1个。