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文本内容:
7 电磁感应中的能量转化与守恒[学习目标定位]
1.进一步理解能量守恒定律是自然界普遍遵循的一条规律,楞次定律的实质就是能量守恒在电磁感应现象中的具体表现.
2.通过具体实例理解电磁感应现象中的能量转化.
3.掌握电磁感应中动力学问题的分析.1.垂直于匀强磁场放置、长为L的直导线通过电流为I时,它所受的安培力F=BIL,安培力方向的判断用左手定则.2.牛顿第二定律F=ma,它揭示了力与运动的关系.当加速度a与速度v方向相同时,速度增大,反之速度减小.当加速度a为零时,物体做匀速直线运动.3.做功的过程就是能量转化的过程,做了多少功,就有多少能量发生了转化,功是能量转化的量度.几种常见的功能关系1合外力所做的功等于物体动能的变化.2重力做的功等于重力势能的变化.3弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化.4除了重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于机械能的变化.4.电流通过导体时产生的热量焦耳定律Q=I2Rt.在导线切割磁感线运动而产生感应电流时,产生的电能是通过外力克服安培力做功转化而来的,而这些电能又通过感应电流做功,转化为其他形式的能量.
一、电磁感应中的动力学问题1.电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力作用,所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起,处理此类问题的基本方法是1用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向.2求回路中的电流强度的大小和方向.3分析研究导体受力情况包括安培力.4列动力学方程或平衡方程求解.2.电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题,关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析;周而复始地循环,加速度等于零时,导体达到稳定运动状态.3.两种状态处理导体匀速运动,应根据平衡条件列式分析;导体做匀速直线运动之前,往往做变加速运动,处于非平衡状态,应根据牛顿第二定律或结合功能关系分析.
二、电磁感应中的能量转化与守恒[问题设计]为什么说楞次定律是能量守恒定律在电磁感应中的具体表现?答案 楞次定律表明,感应电流的效果总是阻碍引起感应电流的原因.正是由于“阻碍”作用的存在,电磁感应现象中产生电能的同时必然伴随着其他形式能量的减少,可见,楞次定律是能量转化和守恒定律的必然结果.[要点提炼]1.电磁感应中的能量转化特点外力克服安培力做功,把机械能或其他形式的能转化成电能;感应电流通过电路做功又把电能转化成其他形式的能如内能.这一功能转化途径可表示为2.求解电磁感应现象中能量守恒问题的一般思路1分析回路,分清电源和外电路.2分析清楚有哪些力做功,明确有哪些形式的能量发生了转化.如
①有摩擦力做功,必有内能产生;
②有重力做功,重力势能必然发生变化;
③克服安培力做功,必然有其他形式的能转化为电能,并且克服安培力做多少功,就产生多少电能.3列有关能量的关系式.3.焦耳热的计算技巧1感应电路中电流恒定,焦耳热Q=I2Rt.2感应电路中电流变化,可用以下方法分析
①利用功能关系产生的焦耳热等于克服安培力做的功,即Q=W安.而克服安培力做的功W安可由动能定理求得.
②利用能量守恒,即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少,即Q=ΔE其他.
一、电磁感应中的动力学问题例1 如图1甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为L,M、P两点间接有阻值为R的电阻.一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向下.导轨和金属杆的电阻可忽略,让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦.图11由b向a方向看到的装置如图乙所示,请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图.2在加速下滑过程中,当ab杆的速度大小为v时,求此时ab杆中的电流及其加速度的大小.3求在下滑过程中,ab杆可以达到的速度最大值.解析 1如图所示,ab杆受重力mg,竖直向下;支持力N,垂直于斜面向上;安培力F安,沿斜面向上.2当ab杆速度大小为v时,感应电动势E=BLv,此时电路中电流I==ab杆受到的安培力F安=BIL=根据牛顿第二定律,有ma=mgsinθ-F安=mgsinθ-a=gsinθ-.3当a=0时,ab杆有最大速度vm=.答案 1见解析图2 gsinθ- 3
二、电磁感应中的能量转化与守恒例2 如图2所示,矩形线圈长为L,宽为h,电阻为R,质量为m,线圈在空气中竖直下落一段距离后空气阻力不计,进入一宽度也为h、磁感应强度为B的匀强磁场中.线圈进入磁场时的动能为Ek1,线圈刚穿出磁场时的动能为Ek2,从线圈刚进入磁场到线圈刚穿出磁场的过程中产生的热量为Q,线圈克服磁场力做的功为W1,重力做的功为W2,则以下关系中正确的是 图2A.Q=Ek1-Ek2B.Q=W2-W1C.Q=W1D.W2=Ek2-Ek1解析 线圈进入磁场和离开磁场的过程中,产生的感应电流受到安培力的作用,线圈克服安培力所做的功等于产生的热量,故选项C正确.根据功能的转化关系得,线圈减少的机械能等于产生的热量,即Q=W2+Ek1-Ek2,故选项A、B错误.根据动能定理得W2-W1=Ek2-Ek1,故选项D错误.答案 C1.电磁感应中的动力学问题如图3所示,匀强磁场存在于虚线框内,矩形线圈竖直下落.如果线圈中受到的磁场力总小于其重力,则它在
1、
2、
3、4位置时的加速度关系为 图3A.a1>a2>a3>a4B.a1=a2=a3=a4C.a1=a3>a2>a4D.a1=a3>a2=a4答案 C解析 线圈自由下落时,加速度为a1=g.线圈完全在磁场中时,磁通量不变,不产生感应电流,线圈不受安培力作用,只受重力,加速度为a3=g.线圈进入和穿出磁场过程中,切割磁感线产生感应电流,将受到向上的安培力,根据牛顿第二定律得知,a2<g,a4<g.线圈完全在磁场中时做匀加速运动,到达4处的速度大于2处的速度,则线圈在4处所受的安培力大于在2处所受的安培力,又知,磁场力总小于重力,则a2>a4,故a1=a3>a2>a
4.所以本题选C.
2.电磁感应中的能量转化与守恒如图4所示,两根光滑的金属导轨,平行放置在倾角为θ的斜面上,导轨的左端接有电阻R,导轨自身的电阻可忽略不计.斜面处在一匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向上.质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab,在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑,且上升的高度为h,在这一过程中 图4A.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零B.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和C.恒力F与安培力的合力所做的功等于零D.恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热答案 AD解析 金属棒匀速上滑的过程中,对金属棒受力分析可知,有三个力对金属棒做功,恒力F做正功,重力做负功,安培力阻碍相对运动,沿斜面向下,做负功.匀速运动时,所受合力为零,故合力做功为零,A正确;克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能,电能又等于R上产生的焦耳热,故外力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热,D正确.3.电磁感应中的动力学及能量综合问题足够长的平行金属导轨MN和PK表面粗糙,与水平面之间的夹角为α,间距为L.垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度为B,MP间接有阻值为R的电阻,质量为m的金属杆ab垂直导轨放置,其他电阻不计.如图5所示,用恒力F沿导轨平面向下拉金属杆ab,使金属杆由静止开始运动,杆运动的最大速度为vm,ts末金属杆的速度为v1,前ts内金属杆的位移为x,重力加速度为g求图51金属杆速度为v1时加速度的大小;2整个系统在前ts内产生的热量.答案 12-mv解析 1设金属杆和导轨间的动摩擦因数为μ,当杆运动的速度为vm时,有F+mgsinα--μmgcosα=0当杆的速度为v1时,有F+mgsinα--μmgcosα=ma解得a=2ts末金属杆的速度为v1,前ts内金属杆的位移为x,由能量守恒得焦耳热Q1=Fx+mgxsinα-μmgxcosα-mv.=-mv题组一 电磁感应中的动力学问题
1.如图1所示,在一匀强磁场中有一U形导线框abcd,线框处于水平面内,磁场与线框平面垂直,R为一电阻,ef为垂直于ab的一根导体杆,它可在ab、cd上无摩擦地滑动.杆ef及线框中导线的电阻都可不计.开始时,给ef一个向右的初速度,则 图1A.ef将减速向右运动,但不是匀减速B.ef将匀减速向右运动,最后停止C.ef将匀速向右运动D.ef将往返运动答案 A解析 ef向右运动,切割磁感线,产生感应电动势和感应电流,会受到向左的安培力而做减速运动,直到停止,但不是匀减速,由F=BIl==ma知,ef做的是加速度减小的减速运动.故A正确.
2.如图2所示,有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道,间距为l,上端接有可变电阻R,下端足够长,空间有垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下,经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋于一个最大速度vm,除R外其余电阻不计,则 图2A.如果B变大,vm将变大B.如果α变大,vm将变大C.如果R变大,vm将变大D.如果m变小,vm将变大答案 BC解析 金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E=Blv,在闭合电路中形成电流I=,因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用,F=BIl=,先用右手定则判定感应电流方向,再用左手定则判定出安培力方向,如图所示.根据牛顿第二定律,得mgsinα-=ma,当a=0时,v=vm,解得vm=,故选项B、C正确.
3.如图3所示,空间某区域中有一匀强磁场,磁感应强度方向水平,且垂直于纸面向里,磁场上边界b和下边界d水平.在竖直面内有一矩形金属线圈,线圈上下边的距离很短,下边水平.线圈从水平面a开始下落.已知磁场上、下边界之间的距离大于水平面a、b之间的距离.若线圈下边刚通过水平面b、c位于磁场中和d时,线圈所受到的磁场力的大小分别为Fb、Fc和Fd,则 图3A.FdFcFbB.FcFdFbC.FcFbFdD.FcFbFd答案 D解析 线圈从a到b做自由落体运动,在b处开始进入磁场切割磁感线,产生感应电流,受到安培力作用,由于线圈的上下边的距离很短,所以经历很短的变速运动而完全进入磁场,在c处线圈中磁通量不变不产生感应电流,不受安培力作用,但线圈在重力作用下依然加速,因此线圈在d处离开磁场切割磁感线时,产生的感应电流较大,故该处所受安培力必然大于b处.综合分析可知,选项D正确.
4.如图4所示,在平行水平地面的有理想边界的匀强磁场上方,有三个大小相同的,用相同的金属材料制成的正方形线框,线框平面与磁场方向垂直.A线框有一个缺口,B、C线框都闭合,但B线框导线的横截面积比C线框大.现将三个线框从同一高度由静止开始同时释放,下列关于它们落地时间说法正确的是 图4A.三个线框同时落地B.三个线框中,A线框最早落地C.B线框在C线框之后落地D.B线框和C线框在A线框之后同时落地答案 BD解析 A线框由于有缺口,在磁场中不能形成电流,所以下落时不受安培力作用,故下落的加速度一直为g;设正方形边长为l,电阻率为ρ,B、C线框的底边刚进入磁场时的速度为v,则根据牛顿第二定律知mg-Bl=ma,即a=g-其中Rm=ρ·4lSρ密=16l2ρρ密,所以加速度与线框横截面积无关,故两线框的运动情况完全相同,即在A线框之后B、C线框同时落地.选项B、D正确.题组二 电磁感应中的能量转化与守恒5.如图5所示,位于一水平面内的两根平行的光滑金属导轨,处在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨所在的平面,导轨的一端与一电阻相连;具有一定质量的金属杆ab放在导轨上并与导轨垂直.现用一平行于导轨的恒力F拉杆ab,使它由静止开始向右运动.杆和导轨的电阻、感应电流产生的磁场均可不计.用E表示回路中的感应电动势,i表示回路中的感应电流,在i随时间增大的过程中,电阻消耗的功率等于 图5A.F的功率B.安培力的功率的绝对值C.F与安培力的合力的功率D.iE答案 BD
6.如图6所示,边长为L的正方形导线框质量为m,由距磁场H高处自由下落,其下边ab进入匀强磁场后,线圈开始做减速运动,直到其上边dc刚刚穿出磁场时,速度减为ab边刚进入磁场时的一半,磁场的宽度也为L,则线框穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热为 图6A.2mgLB.2mgL+mgHC.2mgL+mgHD.2mgL+mgH答案 C解析 设线框刚进入磁场时的速度为v1,刚穿出磁场时的速度v2=
①线框自开始进入磁场到完全穿出磁场共下落高度为2L.由题意得mv=mgH
②mv+mg·2L=mv+Q
③由
①②③得Q=2mgL+mgH.C选项正确.7.如图7所示,纸面内有一矩形导体闭合线框abcd,ab边长大于bc边长,置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外,线框两次匀速地完全进入磁场,两次速度大小相同,方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场,线框上产生的热量为Q1,通过线框导体横截面积的电荷量为q1;第二次bc边平行于MN进入磁场,线框上产生的热量为Q2,通过线框导体横截面的电荷量为q2,则 图7A.Q1>Q2,q1=q2B.Q1>Q2,q1>q2C.Q1=Q2,q1=q2D.Q1=Q2,q1>q2答案 A解析 根据功能关系知,线框上产生的热量等于克服安培力做的功,即Q1=W1=F1lbc=lbc=lab同理Q2=lbc,又lab>lbc,故Q1>Q2;因q=t=t=,故q1=q
2.因此A正确.
8.水平放置的光滑平行导轨上放置一根长为L、质量为m的导体棒ab,ab处在磁感应强度大小为B、方向如图8所示的匀强磁场中,导轨的一端接一阻值为R的电阻,导轨及导体棒电阻不计.现使ab在水平恒力F作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动,当通过位移为x时,ab达到最大速度vm.此时撤去外力,最后ab静止在导轨上.在ab运动的整个过程中,下列说法正确的是 图8A.撤去外力后,ab做匀减速运动B.合力对ab做的功为FxC.R上释放的热量为Fx+mvD.R上释放的热量为Fx答案 D解析 撤去外力后,导体棒水平方向只受安培力作用,而F安=,F安随v的变化而变化,故导体棒做加速度变化的变速运动,A错;对整个过程由动能定理得W合=ΔEk=0,B错;由能量守恒定律知,外力做的功等于整个回路产生的电能,电能又转化为R上释放的热量,即Q=Fx,C错,D正确.题组三 电磁感应中的动力学及能量综合问题9.如图9所示,间距为L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置,导轨左端用一阻值为R的电阻连接,导轨上横跨一根质量为m、有效电阻也为R的金属棒,金属棒与导轨接触良好.整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中.现使金属棒以初速度v沿导轨向右运动,若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q.下列说法正确的是 图9A.金属棒在导轨上做匀减速运动B.整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为C.整个过程中金属棒克服安培力做功为mv2D.整个过程中电阻R上产生的焦耳热为mv2答案 C解析 因为金属棒向右运动时受到向左的安培力作用,且安培力随速度的减小而减小,所以金属棒向左做加速度减小的减速运动;根据E==,q=IΔt=Δt=,解得x=;整个过程中金属棒克服安培力做功等于金属棒动能的减少量mv2;整个过程中电路中产生的热量等于机械能的减少量mv2,电阻R上产生的焦耳热为mv
2.10.如图10所示,MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨,其间距为L,导轨弯曲部分光滑,平直部分粗糙,二者平滑连接.右端接一个阻值为R的定值电阻.平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放,到达磁场右边界处恰好停止.已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ,金属棒与导轨间接触良好.则金属棒穿过磁场区域的过程中 图10A.流过金属棒的最大电流为B.通过金属棒的电荷量为C.克服安培力所做的功为mghD.金属棒产生的焦耳热为mgh-μmgd答案 D解析 金属棒下滑到底端时的速度为v=,感应电动势E=BLv,所以流过金属棒的最大电流为I=;通过金属棒的电荷量为q==;克服安培力所做的功为W=mgh-μmgd;电路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功,所以金属棒产生的焦耳热为mgh-μmgd.选项D正确.11.如图11所示,倾角为θ的“U”型金属框架下端连接一阻值为R的电阻,相互平行的金属杆MN、PQ间距为L,与金属杆垂直的虚线a1b
1、a2b2区域内有垂直框架平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B,a1b
1、a2b2间距离为d,一长为L、质量为m、电阻为R的导体棒在金属框架平面上与磁场上边界a2b2距离d处从静止开始释放,最后能匀速通过磁场下边界a1b
1.重力加速度为g金属框架摩擦及电阻不计.求图111导体棒刚到达磁场上边界a2b2时的速度大小v1;2导体棒匀速通过磁场下边界a1b1时的速度大小v2;3导体棒穿越磁场过程中,回路产生的电能.答案 1 232mgdsinθ-解析 1导体棒在磁场外沿斜面下滑,只有重力做功,由机械能守恒定律得mgdsinθ=mv解得v1=2导体棒匀速通过匀强磁场下边界a1b1时,由平衡条件mgsinθ=F安F安=BIL=解得v2=3由能量守恒定律得mgdsinθ-Q=mv-mv解得Q=2mgdsinθ-.
12.如图12所示,固定的光滑平行金属导轨间距为l,导轨电阻不计,上端a、b间接有阻值为R的电阻,导轨平面与水平面的夹角为θ,且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中.质量为m、电阻为r的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上.初始时刻,弹簧恰好处于自然长度,导体棒具有沿轨道向上的初速度v
0.整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触.已知弹簧的劲度系数为k,弹簧的中心轴线与导轨平行.图121求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向;2当导体棒第一次回到初始位置时,速度变为v,求此时导体棒的加速度大小a;3导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为Ep,求导体棒从开始运动直到停止的过程中,电阻R上产生的焦耳热Q.答案 1 b→a2gsinθ-3见解析解析 1初始时刻,导体棒产生的感应电动势E1=Blv0通过R的电流大小I1==电流方向为b→a2回到初始位置时,导体棒产生的感应电动势为E2=Blv感应电流I2==导体棒受到的安培力大小为F=BI2l=,方向沿斜面向上根据牛顿第二定律有mgsinθ-F=ma解得a=gsinθ-3导体棒最终静止,有mgsinθ=kx压缩量x=设整个过程中回路中产生的焦耳热为Q0,根据能量守恒定律有mv+mgxsinθ=Ep+Q0Q0=mv+-Ep电阻R上产生的焦耳热Q=Q0=[mv+-Ep]。