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课时跟踪训练一两个计数原理及其简单应用时间45分钟题型对点练时间20分钟题组一 分类加法计数理1．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则 A．有29种不同的选法B．有30种不同的选法C．有59种不同的选法D．有29×30种不同的选法[解析] 分两类第一类从甲班选有29种方法，第二类从乙班中选有30种方法．由分类加法计数原理得共有29＋30＝59种不同方法，故选C.[答案] C2．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有 A．1种B．2种C．3种D．4种[解析] 分两类买1本、买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故共有2＋1＝3种购买方式．[答案] C3．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{12345}，n∈{1234567}，则满足题意的椭圆的个数为________．[解析] 因为焦点在y轴上，所以0mn，考虑m依次取12345时，符合条件的n值分别有65432个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝
20.[答案] 20题组二 分步乘法计数原理4．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为 A．8B．6C．5D．3[解析] 从A处到B处的电路接通可分两步第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.[答案] B5．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法 A．8种B．12种C．16种D．24种[解析] 从任一个门进有4种不同走法，从任一个门出也有4种不同走法，故共有4×4＝16种不同走法．[答案] C6．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．[解析] 将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．[答案] 42题组三 两个计数原理的综合应用7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 A．24对B．30对C．48对D．60对[解析] 与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有＝48对．[答案] C8．已知集合A＝{246810}，B＝{13579}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对m，n，问1有多少个不同的数对？2其中所取两数mn的数对有多少个？[解] 1∵集合A＝{246810}，B＝{13579}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对m，n，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．2在1中的25个数对中所取两数mn的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝13有2种结果；当m＝6时，n＝135有3种结果；当m＝8时，n＝1357有4种结果；当m＝10时，n＝13579有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果．9．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．1若小明爸爸任选一个凳子坐下小明不坐，有几种坐法？2若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？[解] 1小明爸爸选凳子可以分两类第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．2小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；小明坐下后，空闲凳子数变成13第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．综合提升练时间25分钟
一、选择题1．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有 A．96种B．24种C．120种D．12种[解析] 先排第1道，有4种排法，第2345道各有4321种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．[答案] A2．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为 A．7B．12C．81D．64[解析] 第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.[答案] D3．在某校的运动会上，小明、小亮与小林三人争夺跳高、跳远、掷标枪、掷铅球四个运动项目的冠军，那么不同的夺冠情况的种数为 A．24B．6C．81D．64[解析] 第一步，跳高冠军可以是三人中的任一人，有3种情况；第二步，跳远冠军可以是三人中的任一人，有3种情况；第三步，掷标枪冠军可以是三人中的任一人，有3种情况；第四步，掷铅球冠军可以是三人中的任一人，有3种情况．根据分步乘法计数原理，得不同的夺冠情况的种数为3×3×3×3＝81，选C.[答案] C
二、填空题4．用数字12组成一个四位数，则数字12都出现的四位偶数有________个．[解析] 由四位数是偶数，知最后一位是
2.在四位数中，当出现1个1时，有122221222212，共3个，当出现2个1时，有112212122112，共3个，当出现3个1时，只有1112这1个四位偶数，故数字12都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7个．[答案] 75．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．[解析] 满足条件的有两类第一类与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；第二类与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个．[答案] 40
三、解答题6．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．1从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？2从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？3从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？[解] 1分为三类从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．2分为三步国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．3分为三类第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．4从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种类是N＝3×2＝
6.7．现有高一四个班的学生34人，其中
一、
二、
三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．1选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？2每班选一名组长，有多少种不同的选法？3推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？[解] 1分四类第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34种．2分四步第
一、
二、
三、四步分别从
一、
二、
三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040种．3分六类，每类又分两步从
一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从
一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从
一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从
二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从
二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从
三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431种．。
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