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第2课时 绝对值不等式的解法学习目标
1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．知识点一 |ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法思考1 |x|≥2说明实数x有什么特征？答案 x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于
2.∴x≥2或x≤－
2.思考2 若|2x－3|≤5，求x的取值范围．答案 {x|－1≤x≤4}．梳理 1含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法
①|x|＜a⇔
②|x|＞a⇔2|ax＋b|≤cc＞0和|ax＋b|≥cc＞0型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.知识点二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法思考 如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？答案 采用零点分段法．即令|x－a|＋|x－b|＝0，得x1＝a，x2＝b，不妨设a＜b|x－a|＋|x－b|＝梳理 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法1利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．2以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．3通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象有时需要考查函数的增减性是解题关键．特别提醒解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．类型一 |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥cc＞0型的不等式的解法例1 解下列不等式1|5x－2|≥8；22≤|x－2|≤
4.解 1由|5x－2|≥8，得5x－2≥8或5x－2≤－8，解得x≥2或x≤－，∴原不等式的解集为.2原不等式等价于由
①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，由
②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤
6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．反思与感悟 |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法1当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.2当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅.3当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.跟踪训练1 解关于x的不等式||x－1|－4|＜
2.解 ||x－1|－4|＜2⇔－2＜|x－1|－4＜2⇔2＜|x－1|＜6⇔⇔⇔⇔－5＜x＜－1或3＜x＜
7.∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}．类型二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤cc＞0型不等式的解法例2 解关于x的不等式|3x－2|＋|x－1|＞
3.解 方法一 分类零点分段讨论法|3x－2|＝0，|x－1|＝0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
①因为当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，所以当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＞3⇔3－4x＞3⇔x＜
0.因此，不等式组的解集为{x|x＜0}．
②因为当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，所以当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＞3⇔2x－1＞3⇔x＞
2.因此，不等式组的解集为∅.
③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，所以当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＞3⇔4x－3＞3⇔x＞.因此，不等式组的解集为.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即{x|x＜0}∪∅∪＝.方法二 构造函数fx＝|3x－2|＋|x－1|－3，则原不等式的解集为{x|fx＞0}．fx＝作出函数fx的图象，如图．它是分段线性函数，函数的零点是0和.从图象可知，当x∈－∞，0∪时，有fx＞
0.所以原不等式的解集是－∞，0∪.反思与感悟 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤cc＞0型不等式的三种解法分区间零点分段讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．跟踪训练2 解不等式|x＋7|－|x－2|≤
3.解 方法一 |x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点坐标为x到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－
1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈－∞，－1]．方法二 令x＋7＝0，得x＝－7，令x－2＝0，得x＝
2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，∴－9≤3成立，∴x＜－
7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－
1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅.∴原不等式的解集为－∞，－1]．方法三 将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，即y＝作出函数的图象，由图象可知，当x≤－1时，y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0，∴原不等式的解集为－∞，－1]．类型三 含绝对值不等式的恒成立问题例3 已知函数fx＝|2x＋1|＋|2x＋a|.1当a＝－3时，求不等式fx≤6的解集；2若关于x的不等式fx＞a恒成立，求实数a的取值范围．解 1∵当a＝－3时，fx＝|2x＋1|＋|2x－3|，∴fx≤6，等价于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，令gx＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，令|2x＋1|＝0，得x＝－，令|2x－3|＝0，得x＝.∴gx＝作y＝gx的图象，如图，∴fx≤6的解集为[－12]．2∵fx＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥|2x＋1－2x＋a|＝|a－1|，∴fxmin＝|a－1|.要使fx＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可．由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，∴a＜，∴a的取值范围是.引申探究若fx＝|2x＋1|－|2x＋a|且fx＜a恒成立，求a的取值范围．解 ∵fx＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|2x＋1－2x＋a|＝|a－1|，∴fxmax＝|a－1|.∵fx＜a恒成立，∴|a－1|＜a，∴－a＜a－1＜a，∴a＞，∴a的取值范围是.反思与感悟 不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题．fx＜a恒成立⇔fxmax＜a，fx＞a恒成立⇔fxmin＞a.跟踪训练3 已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的取值范围．1若不等式有解；2若不等式的解集为R；3若不等式的解集为∅.解 方法一 因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点Px与两定点A－2，B－3距离的差，即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.则|PA|－|PB|max＝1，|PA|－|PB|min＝－
1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤
1.1若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为－∞，1．2若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为－∞，－1．3若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞．方法二 由|x＋2|－|x＋3|≤|x＋2－x＋3|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|x＋3－x＋2|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤
1.1若不等式有解，则m∈－∞，1．2若不等式的解集为R，则m∈－∞，－1．3若不等式的解集为∅，则m∈[1，＋∞.1．不等式|x＋1|＞3的解集是 A．{x|x＜－4或x＞2}B．{x|－4＜x＜2}C．{x|x＜－4或x≥2}D．{x|－4≤x＜2}答案 A解析 |x＋1|＞3，则x＋1＜－3或x＋1＞3，因此x＜－4或x＞
2.2．不等式＞0的解集为 A.B.C.D.答案 C解析 原不等式⇒⇒⇒3．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是 A．－32B．－13C．－41D.答案 C解析 |x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到与－2，－1距离和为5的点是－
41.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是－41．4．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是 A．m＞1B．m≥1C．m＞2D．m≥2答案 C解析 ∵|x－5|＋|x－3|≥|x－5－x－3|＝2，∴m＞
2.5．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥
8.解 1当x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－3x＋2≥8⇔－5x≥9⇔x≤－，∴x≤－.2当－＜x＜时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x≥5，∴x∈∅.3当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇒x≥，∴x≥.∴原不等式的解集为∪.1．解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c1当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可．2当c＜0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即1令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；2把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；3由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；4这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．
一、选择题1．不等式x2－|x|－2＜0x∈R的解集是 A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2或x＞2}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|x＜－1或x＞1}答案 A解析 当x≥0时，不等式化为x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2，所以0≤x＜2；当x＜0时，不等式化为x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1，所以－2＜x＜
0.故原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}．2．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是 A．0B．1C．－1D．2答案 B解析 ∵|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴|a－2|≥a，即a－2≥a或a－2≤－a，∴a≤
1.3．设函数fx＝则使fx≥1的自变量x的取值范围是 A．－∞，－2]∪
[04]B．－∞，－2]∪
[01]C．－∞，－2]∪
[14]D．[－20]∪
[14]答案 A4．关于x的不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 A．－∞，－1]∪[4，＋∞B．－∞，－2]∪[5，＋∞C．
[12]D．－∞，1]∪[2，＋∞答案 A解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|4|＝4，∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥
4.5．当|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是 A．a＞－2B．0＜a≤－2C．a≥－2D．以上都不正确答案 B解析 由|x－2|＜a，得a＞0，且－a＋2＜x＜a＋2，由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－.∴即0＜a≤－2，或无解．∴0＜a≤－
2.
二、填空题6．不等式≥1成立的充要条件是________．答案 |a|＞|b|解析 ≥1⇔≥0⇔|a|－|b|·[|a＋b|－|a|－|b|]≥
0.而|a＋b|≥|a|－|b|，∴|a＋b|－|a|－|b|≥
0.∴|a|－|b|＞0，即|a|＞|b|.7．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________.答案 －3解析 ∵|ax－2|＜3，∴－1＜ax＜
5.当a＞0时，－＜x＜，与已知条件不符；当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；当a＜0时，＜x＜－，又不等式的解集为，故a＝－
3.8．已知函数fx＝|x－a|＋a，gx＝4－x2，若存在x0∈R使gx0≥fx0，则a的取值范围是________．答案 解析 若存在x0∈R使gx0≥fx0，则x2＋|x－a|＋a－4≤0有解．当x≥a时，x2＋x－4≤0，显然有解；当x＜a时，x2－x＋2a－4≤0，由Δ＝1－42a－4≥0，解得a≤.故答案为.9．已知函数fx＝|2x－1|＋x＋3，若fx≤5，则x的取值范围是________．答案 [－11]解析 由题意可知，|2x－1|＋x＋3≤5，即|2x－1|≤2－x，所以或解得≤x≤1或－1≤x＜，故x的取值范围是{x}．10．已知集合A＝{x||x－4|＋|x－1|＜5}，B＝{x|a＜x＜6}且A∩B＝2，b，则a＋b＝________.答案 711．已知函数fx＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a＝________.答案 －4或8解析
①当a≤2时，fx＝
②当a＞2时，fx＝由
①②可得fxmin＝f＝＝3，解得a＝－4或
8.
三、解答题12．已知函数fx＝|2x－a|＋|2x＋3|，gx＝|x－1|＋
2.1解不等式|gx|＜5；2若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得fx1＝gx2成立，求实数a的取值范围．解 1由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，即－7＜|x－1|＜3，得不等式的解集为{x|－2＜x＜4}．2因为对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得fx1＝gx2成立，所以{y|y＝fx}⊆{y|y＝gx}．又fx＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－2x＋3|＝|a＋3|，gx＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－
5.故实数a的取值范围为[－1，＋∞∪－∞，－5]．13．已知a＋b＝1，对任意的a，b∈0，＋∞，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，求x的取值范围．解 因为a＞0，b＞0且a＋b＝1，所以＋＝a＋b＝5＋＋≥9，故＋的最小值为9，因为对任意的a，b∈0，＋∞，使＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，所以|2x－1|－|x＋1|≤9，当x≤－1时，2－x≤9，所以－7≤x≤－1；当－1＜x＜时，－3x≤9，所以－1＜x＜；当x≥时，x－2≤9，所以≤x≤
11.综上所述，x的取值范围是[－711]．
四、探究与拓展14．2018·全国Ⅱ设函数fx＝5－|x＋a|－|x－2|.1当a＝1时，求不等式fx≥0的解集；2若fx≤1，求a的取值范围．解 1当a＝1时，fx＝5－|x＋1|－|x－2|＝可得fx≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．2fx≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥
4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＋ax－2≤0时等号成立．故fx≤1等价于|a＋2|≥
4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥
2.所以a的取值范围是－∞，－6]∪[2，＋∞．15．设函数fx＝|x－1|＋|x－2|.1画出函数y＝fx的图象；2若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|fxa≠0，a，b∈R恒成立，求实数x的取值范围．解 1当x≤1时，fx＝－x－1－x－2＝－2x＋3；当1＜x≤2时，fx＝x－1－x－2＝1；当x＞2时，fx＝x－1＋x－2＝2x－
3.所以fx＝图象如图所示．2由|a＋b|＋|a－b|≥|a|fx，得≥fx．又因为≥＝2，所以2≥fx，解不等式2≥|x－1|＋|x－2|，得≤x≤.。
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